◇施銀燕

美國加州教材立體圖形部分的編排特點與啟示

◇施銀燕

與我國各個版本小學數(shù)學教材相同的是，美國加州教材中立體圖形的認識也分兩個階段：第一階段是感性認識，從整體上把握立體圖形的特點；第二階段則是理性認識，從面、棱、頂點幾個要素進行細致的分析，并進一步研究這些立體圖形的表面積和體積。但是，深入到具體內(nèi)容的編排以及同一內(nèi)容的教學方式上，還是能看到與我國教材的差異。從這些差異的背后，能看到兩國數(shù)學教學的不同追求。下面對美國加州教材（以McGraw-Hill公司出版的 California Mathematics）第二階段立體圖形的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、具體教學方式進行分析，以期能對我們的教學有所啟發(fā)。

一 立體圖形的認識：內(nèi)容呈現(xiàn)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化

我國教材中對立體圖形的認識（僅指第二學段）分兩次進行：五年級認識長方體、正方體；六年級認識圓柱和圓錐。到總復(fù)習時才對立體圖形進行整體上的梳理和概括。

而美國教材則將所有立體圖形的認識安排在一個單元完成。首先定義三維圖形，即有長、寬和高這三個維度的圖形。隨后，介紹三維圖形中常用的概念：面、側(cè)面、底面、棱、頂點。（見下圖）

許多常見物體的形狀是三維的，也就是說，它們有長、寬和深（或高）這三個維度。下面是三維圖形里常用的一些術(shù)語。

隨后，根據(jù)圖形是否含有曲面，把圖形分成了兩類：一類是棱柱和棱錐（不含曲面），另一類是圓柱、圓錐和球（含曲面）。

在介紹棱柱特點時，引進了“全等”這一概念。研究棱柱和棱錐特點時，還給出了棱柱和棱錐的命名規(guī)則，即以底面形狀而得名。如底面是長方形的棱柱，稱為“長方柱”；底面是正方形的棱錐，稱為“正方錐”。介紹了棱柱和棱錐的一般特點和命名規(guī)則后，教材中也會出現(xiàn)一些新的棱錐，如五棱錐、八棱錐等立體圖形讓學生來辨認。如：

對于下面每個圖形，先指出底面的形狀，再分類。

無論是哪種立體圖形，描述其特征都離不開前面的那些概念：面、側(cè)面、底面、棱、頂點等。

顯然，美國教材中涉及的立體圖形比我國的要多。曾經(jīng)有人用“一英里寬一英寸深”來形容美國教材寬而淺的特點。從這部分內(nèi)容來看，我們明顯感受到了“寬”，認識的立體圖形更多、更豐富。但是，這個“寬”，在我看來并不導致淺，反而因為“寬”，知識的呈現(xiàn)方式由零散變得有組織，顯得更有結(jié)構(gòu)、更清晰（如下表）。結(jié)構(gòu)化的呈現(xiàn)方式會讓學習負擔更輕，更有利于學生“把書讀薄”。

三維圖形（有三個維度）柱（有兩個全等的底面） 錐（有一個底面）不含曲面含有曲面棱柱（側(cè)面為平行四邊形）圓柱（底面為全等的圓，側(cè)面為曲面）棱錐（側(cè)面為三角形）圓錐（底面為圓，側(cè)面為曲面）

因為認識了各種棱柱和棱錐，更便于學生概括出有序計數(shù)面、棱、頂點的方法，更容易發(fā)現(xiàn)這些數(shù)量之間存在的一般規(guī)律。例如：底面是n邊形的棱柱，面、棱、頂點分別有 n+2、3n、2n 個。學生很容易看出：面數(shù)+頂點數(shù)-棱數(shù)=2。再由這一類圖形推廣到棱錐，甚至其他更為一般的圖形。

二 體積與表面積：內(nèi)容有增有減，強調(diào)基本方法

內(nèi)容上，體積限于棱柱（包括長方體和三棱柱）和圓柱，棱錐和圓錐則不涉及；表面積限于棱柱、棱錐、圓柱，不涉及圓錐。和我國的教材相比，增加了三棱柱的體積，但減少了圓錐的體積；增加了三棱柱、棱錐的表面積。

從教材圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，增加三棱柱體積后，從長方體到三棱柱，再到圓柱，強調(diào)的是體積概念的共性、柱體求體積方法的共性，即始終強調(diào)：體積就是物體包含的單位立方體的個數(shù)；對柱體而言，底面積對應(yīng)著一層擺放單位立方體的個數(shù)，高對應(yīng)擺放的層數(shù)。（如下圖）

三棱柱的底面為三角形，下圖表明，三棱柱的體積也是底面積B與高H的乘積。

把一個圓柱形的罐頭放在方格紙上，仿照右圖，把底面描下來。

1.估計底層擺放的小立方體個數(shù)（不是整個的小立方體也要考慮）。

2.如果每層都是1cm高，這個圓柱里能擺多少層。

3.猜想：這個圓柱形罐頭的體積是多少？

對比我國的教材：長方體體積公式是用擺單位立方體來探索的；圓柱的體積公式，則是把圓柱沿著底面直徑切開轉(zhuǎn)化成長方體得出的；圓錐的體積公式，是通過倒水或倒沙等實驗，依據(jù)等底等高圓柱和圓錐體積的關(guān)系得到的。求三種圖形的體積，便是三種方法。

我國的教材里始終強調(diào)的是更為上位的 “轉(zhuǎn)化”思想。但即使學生有轉(zhuǎn)化的需求，因為一圖一法，如何實現(xiàn)轉(zhuǎn)化還是有相當大的難度的；相比較而言，美國教材強調(diào)的更為基本，學生也更容易遷移。

美國教材中沒有編排圓錐的體積，這一點同樣值得我們思考。在小學階段，圓錐的體積公式只能依賴猜測、實驗、觀察得出結(jié)論，對學生“為什么”的追問，老師很難解釋?，F(xiàn)在想來，教材中不編排圓錐的體積計算自有它的好處。只是通過倒水得到的結(jié)論，叫作猜測可能更為合適。既然如此，何必作為一個既定結(jié)論讓學生反復(fù)記憶訓練呢？如果可能的話，我建議圓錐體積可以作為圓柱體積之后的一節(jié)開放性的探索課，但對于結(jié)論和結(jié)論的應(yīng)用可不作要求。

教材的一加一減，可以看出其背后不同的價值取向。我們強調(diào)應(yīng)用、解決實際問題（實際生活中有大量需要計算圓錐體積的問題），而美國教材更強調(diào)其背后的基本原理。

美國教材中，表面積的內(nèi)容則分兩次進行編排。第一次是結(jié)合組合圖形面積的教學，進行展開圖與表面積的探索，包括三棱柱、三棱錐、四棱錐等的表面積，但并沒有總結(jié)出計算公式，又一次體現(xiàn)了“廣”的特點。第二次，則是在學習了勾股定理之后，有一些數(shù)據(jù)需要根據(jù)勾股定理來求出。在這個階段，還總結(jié)出了長方體和圓柱的表面積計算公式。我認為，結(jié)合展開圖進行各種立體圖形表面積的探索是比較好的，但給出公式似乎沒有必要。

三 淡化計算，強化推理

美國教材中包含不少需要推理的問題，如：

【挑戰(zhàn)】兩張同樣的長方形紙，分別沿著長和寬卷成圓柱。哪個圓柱的體積更大？解釋你的結(jié)論。

【開放式問題】畫一個圓柱，要求：底面半徑比右面圓柱的更大，而體積卻更小，并標上數(shù)據(jù)。

這些問題不提供數(shù)據(jù)，答案不唯一，過程方法更為多樣，能讓不同層次的學生參與探索，強調(diào)每個學生用自己的已有知識去講道理。

與重視推理相對的是，教材對計算有所淡化。幾乎所有求圓柱表面積和體積的問題，都不要求算出準確結(jié)果，只要求結(jié)果保留一位小數(shù)；或者改變問題呈現(xiàn)方式，從而通過估計或者推理就能得出結(jié)論。如：

求圓柱的體積，結(jié)果保留一位小數(shù)。

V=πr2h

V=π×（5）2×（8.3）

V≈3.14×（5）2×（8.3）

V≈651.6

哪個選項最接近這個麥片桶的容積（單位：立方英寸）？

A.32 B.42.78 C.75.92 D.86.55

熟悉小學高年級數(shù)學的老師都有這樣的感受，那就是“圓柱與圓錐”這一單元，學生對相應(yīng)的概念、公式、方法都已經(jīng)掌握，卻總在計算上出錯。新課程改革之后，對整數(shù)、小數(shù)計算的要求已經(jīng)降低，但到學習圓柱、圓錐這部分內(nèi)容時，計算難度并沒有降下來。圓柱、圓錐的教學中，如果我們能讓學生從計算中解放出來，學生的空間想象能力、推理能力等目標就能更好地得到落實。

（作者單位：北京第二實驗小學）