含有參數(shù)的二次函數(shù)最值問題

程國云

二次函數(shù)y=a（x-m）2+n，x∈[t，s]求最值的問題是高中數(shù)學教學中一大難點，也是高考重點考查的問題之一。一般地，解決此類問題的基本思路：根據(jù)對稱軸相對定義域區(qū)間的位置，利用分類討論思想方法。為做到分類時不重不漏，可畫對稱軸相對于定義域區(qū)間的簡圖分類。

①表示對稱軸在區(qū)間[t，s]的左側，②表示對稱軸在區(qū)間[t，s]內且靠近區(qū)間的左端點，③表示對稱軸在區(qū)間內且靠近區(qū)間的右端點，④表示對稱軸在區(qū)間[t，s]的右側。然后根據(jù)口訣“開口向上，近則小、遠則大”；“開口向下，近則大、遠則小”即可快速求出最值。

含參數(shù)的二次函數(shù)求最值的問題大致分為三種題型，無論哪種題型都圍繞著對稱軸與定義域區(qū)間的位置關系進行分類討論。

題型一：“動軸定區(qū)間”型的二次函數(shù)最值

例1 已知函數(shù)g（x）=-x2+2tx-t+1在區(qū)間[0，1]上的最大值G（t）及最小值H（t）；求最大值G（t）及最小值H（t）的表達式。

解析：g（x）=-x2+2tx-t+1=-（x-t）2+（t2-t+1），

顯然g（x）的對稱軸為x=t，

由化簡后的表達式可知g（x）的圖像開口向下，函數(shù)在對稱軸處取得最高點，則x∈[0，1]。

①若t≤0，則函數(shù)g（x）在[0，1]上遞減，故有G（t）=-t+1；H（t）=t

②若t≥1，則函數(shù)g（x）在[0，1]上遞增，故有G（t）=t；H（t）=-t+1

③若t∈[0，1]，可知當x=t時取最大值：G（t）=t2-t+1

上述為二次項系數(shù)小于0的情況，用同樣的方法還可以求二次項系數(shù)大于0的情況。

例如，已知函數(shù)g（x）=x2-2tx+t-1在區(qū)間[0，1]的最大值G（t）及最小值H（t），求最大值G（t）及最小值H（t）的表達式。在這里就不詳解了。

評注：此類題屬于“動軸定區(qū)間”型的二次函數(shù)最值，解決此類問題的關鍵是討論對稱軸相對于定義域區(qū)間的位置，討論時做到不重不漏。

題型二：“動區(qū)間定軸”型的二次函數(shù)最值

例2 求函數(shù)f（x）=x2-2x+3在x∈[k，k+2]上的最值。

解：f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2

∴此函數(shù)圖像開口向上，對稱軸x=1

①當k>1時，k距對稱軸x=1最近，k+2距x=1最遠，

∴當x=k時，ymin=-k2+3，x=k+2時，ymax=k2+2k+3

②當0

∴當x=1時，ymin=2，x=k+2時，ymax=k2+2k+3

③當-1

∴當x=1時，ymin=2，x=k時，ymax=k2-2k+3

④當k≤-1時，k+2距對稱軸x=1最近，k距x=1最遠，

∴當x=k+2時，ymin=k2+2k+3；x=k時，ymax=k2-2k+3

評注：此題屬于“動軸動區(qū)間”型的二次函數(shù)最值，解決的關鍵是討論對稱軸與定義域區(qū)間的位置更便于我們分類討論，然后依據(jù)口訣，很快就可解決問題。

最后，我們在用分類討論方法解題中要注意兩個原則：一是分類不重不漏；二是一次分類只能按已確定的同一標準進行。