邱家榮（云南省呈貢區(qū)第一中學(xué)）

遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式求法

邱家榮
（云南省呈貢區(qū)第一中學(xué)）

以各種類型的遞推數(shù)列為模型，類比、化歸到等差數(shù)列、等比數(shù)列，然后求出遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，以期提高學(xué)生適應(yīng)高考的能力，提升學(xué)生解題的思維品質(zhì)。

遞推數(shù)列；等差數(shù)列；等比數(shù)列

在最近幾年全國各地的高考試題中，絕大多數(shù)數(shù)列考題都考查了遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解。遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把問題化歸為兩個(gè)基本數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列的問題來求解。把數(shù)學(xué)運(yùn)用于實(shí)踐，有意識(shí)地從這兩個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和解題能力。

1.型如an+1=an+f（n）的通項(xiàng)求法：將已知化為an+1-an=f（n）用累加求解。

注：當(dāng)f（n）為常數(shù)d時(shí)，型如一就為等差數(shù)列。

例1.已知數(shù)列｛an｝滿足a1=2，an+1=an+2n+3（n∈N*），求an．

分析：由遞推關(guān)系an+1=an+2n+3?an+1-an=2n+3有：

故：an=n2+2n-1（n∈N*）

例2.已知數(shù)列｛an｝滿足a1=3且an+1=2n+1an，求an

例3.已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

分析：轉(zhuǎn)化成兩種基本數(shù)列利用兩法求解。

解：∵an+1=2an+1（n∈N*），

∴an+1+1=2（an+1），

∴｛an+1｝是以a1+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

∴an+1=2n

即an=2n-1（n∈N*）

（1）派生一，型如：an+1=can+An+B（其中A，B，c為常數(shù)）的通項(xiàng)求法：將已知化為an+1+λ1（n+1）+λ2=c（an+λ1n+λ2）可得｛an+λ1n+λ2｝是等比數(shù)列。

例4.已知a1=2且an+1=4an+6n-5求｛an｝的通項(xiàng)公式。

解：因an+1=4an+6n-5可化為an+1+2（n+1）-1=4（an+2n-1）

則｛an+2n-1｝是首項(xiàng)為a1+2-1=3，公比為4的等比數(shù)列，

所以an+2n-1=3·4n-1

即an=3·4n-1-2n+1

（2）派生二，型如：an+1=man+An2+Bn+C（其中m、A、B、C為常數(shù)）的通項(xiàng)求法：將已知化為an+1+λ1（n+1）2+λ2（n+1）+λ3=m（an+ λ1n2+λ2n+λ3）可得｛an+λ1n2+λ2n+λ3｝是等比數(shù)列。

例5.已知a1=2且an+1=3an+2n2-6n+7求｛an｝的通項(xiàng)公式。

解：因an+1=3an+2n2-6n+7可化為：

an+1+（n+1）2-2（n+1）+3=3（an+n2-2n+3）

得｛an+n2-2n+3｝是首項(xiàng)為a1+12-2+3=4，公比為3的等比數(shù)列。

則an+n2-2n+3=4·3n-1

即an=4·3n-1-n2+2n-3

（3）派生三，型如：an+1=can+dn（其中c、d為不相等的常數(shù)）的通項(xiàng)求法：將已知化為an+1+λdn+1=c（an+λdn）可得｛an+λdn｝是等比數(shù)列。

例6.已知數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為a1=1且an+1=2an+3n，求通項(xiàng)an。

解：因an+1=2an+3n可化為an+1-3n+1=2（an-3n）

得｛an-3n｝是首項(xiàng)為a1-3=-2公比為2的等比數(shù)列

則an-3n=-2·2n-1。

即an=3n-2n

例7.已知，數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)a1=2且an+1=2an+3·2n，求通項(xiàng)an。

即an=（3n-1）2n-1

6.型如：an+1=c（其中c＞0，an＞0）的通項(xiàng)求法：將已知兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為lgan+1=2lgan+lgc用第3種形式求解。

［練習(xí)］

3．已知數(shù)列｛an｝中，a1=1，a2=3且an+2=3an+1-2an，則an=_______；

6.設(shè)數(shù)列｛an｝首項(xiàng)為1，an+1-an=2an+1an，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。

7.設(shè)數(shù)列｛a｝n首項(xiàng)為2，an+1=100，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。

［1］黃愛民.十類遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法［J］.高中生，2006（10）：12-13.

［2］吳懷芳.求數(shù)列通項(xiàng)的幾種常見類型［J］.試題與研究，2005（9）.

［3］陳云烽.遞推數(shù)列通項(xiàng)的求解［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007（6）.

·編輯李琴芳