劉春艷

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談線段和差型問題的解法

劉春艷

平面幾何的證明問題中，有一類題目是關于線段的和差問題，即證明兩條線段的和（差）等于另一條線段，如果不能直接證明，往往需要添加輔助線，而最常見的添加方法即為截長補短.現(xiàn)在我們就具體例題體會一下.

例1（2015·北京西城區(qū)模擬）問題背景：

（1）如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系.小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G，使DG= BE，連接AG，首先證明△ABE≌△ADG，然后證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是________.

圖1

圖2

探索延伸：

【分析】（1）延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF= FG，即可解題；

（2）延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題.

解：（1）結論應是EF=BE+DF.

在△ABE和△ADG中，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF

=∠BAD-∠EAF

=120°-60°=60°=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

∵在△AEF和△GAF中，

∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF.

故答案為EF=BE+DF.

（2）結論EF=BE+DF仍然成立.

理由如下：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG.

∵∠B+∠ADC=180°，

又∠ADC+∠ADG=180°，

∴∠B=∠ADG.

在△ABE和△ADG中，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF

=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

∵在△AEF和△AGF中，

∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF.

【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題求證△AEF≌△AGF是解題的關鍵.

圖3

圖4

例2（2015·甘肅模擬）已知平行四邊形ABCD的對角線交于點O，點P是直線BD上任意一點（異于B、O、D三點），過P點作平行于AC的直線交直線AD于點E，交直線BA于點F，當點P在線段BD上時，易證：AC=PE+PF（如圖3所示）.當點P在線段BD的延長線上（如圖4所示）和當點P在線段DB的延長線上（如圖5所示）兩種情況時，探究線段AC、PE、PF之間的數(shù)量關系，并對圖5的結論進行證明.

圖5

【分析】如圖6，延長FE交BC的延長線于點G，可證得PF=PG，再證明四邊形ACGE為平行四邊形可得AC=EG，可得到AC=PFPE；如圖7，延長CB交EF于點G，可證得PG= PF，可得到AC=PE-PF.

解：當P在BD的延長線上時，AC=PFPE，證明如下：

如圖6，延長FE交BC的延長線于點G.

圖6

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AO=CO，∴PF=PG，

∴EG=PG-PE=PF-PE，

又∵AE∥CG，AC∥EG，

∴四邊形ACGE為平行四邊形，

∴AC=EG，∴AC=PF-PE.

當P在DB的延長線上時，AC=PE-PF，證明如下：

如圖7，延長CB交EF于點G.

圖7

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AO=CO，∴PG=PF，

∴EG=PE-PG=PE-PF，

又∵AC∥EG，AE∥CG，

∴四邊形AEGC為平行四邊形，

∴EG=AC，∴AC=PE-PF.

【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵，平行四邊形的性質(zhì)即平行四邊形的對邊平行且相等，平行四邊形的對角相等，平行四邊形的對角線互相平分.

小試身手

（2014·鞍山，有刪減）在直角△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=45°，點F為直線AD上任意一點，過點A作直線AC⊥BF，垂足為點E，直線AC交直線BD于點C.過點F作FG∥BD，交直線AB于點G.

（1）如圖8，點F在邊AD上，則線段FG，DC，BD之間滿足的數(shù)量關系是________；

（2）如圖9，點F在邊AD的延長線上，則線段FG，DC，BD之間滿足的數(shù)量關系是____________，證明你的結論.

圖8

圖9

【提示】（1）首先證明△BDF≌△ADC，得出DF=DC，然后證明FG=AF，即可得出結論.

（2）過點B作BH⊥GF于點H，由△ABD和△AGF都是等腰直角三角形，得出AD= BD，AF=FG，再證明△ADC≌△BDF，得出DC=DF，即可得出結論.

（作者單位：江蘇省鹽城市明達中學）