一次函數(shù)與分類討論

鮑聰曉

編者按：在一次函數(shù)的有關(guān)問題中，常常需要進行分類討論，既有因k，b的正負性引起的。也有因?qū)嶋H問題的要求引起的。所以在解一次函數(shù)的題目對，一定要慎重思考，避免以偏概全，漏掉特殊情況。下面這篇文章對一次函數(shù)中的分類討論進行了較細致的歸納。

我們經(jīng)常會把一些需要研究的問題根據(jù)題目的特點和要求分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決。這種按不同情況分類。然后再逐一研究的數(shù)學(xué)思想，稱為分類討論思想。在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常要用到分類討論思想。

一、一次函數(shù)概念中的分類討論

一般地，如果y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0），那么y叫作x的一次函數(shù)。

例1 當m=____時，y=（m-3）x^2m+1-4x+5是關(guān)于x的一次函數(shù)。

分析：本題考查一次函數(shù)的定義，解題的

關(guān)鍵是把握一次函數(shù)定義的特征：①k不為0；②x的指數(shù)為1；③b可取任意實數(shù)。

解：（1）當m-3=0，即m=3時，y=-4x+5，是一次函數(shù)：

（2）當2m+1=1，即m=0時，y=-7x+5，是一次函數(shù)。

綜上，m=0或m=3。

例2 已知直線y=-2x+m不經(jīng)過第三象限，則m的取值范圍是____。

解：（1）當m=0時，直線y=-2x經(jīng)過第二、四象限和原點，不經(jīng)過第三象限；

（2）當m>0時，直線y=-2x+m經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限。

綜上，m≥0。

二、一次函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用中的分類討論

一次函數(shù)y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0），當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減小。

例3 已知y是x的一次函數(shù)。若自變量x的取值范圍是-2≤x≤3時，相應(yīng)的函數(shù)值的范圍是一4≤y≤1，求這個一次函數(shù)的解析式。