摘要：對(duì)牟合方蓋法計(jì)算球體積教學(xué)中出現(xiàn)的三個(gè)難點(diǎn)——牟合方蓋的由來(lái)、抽象牟合方蓋的理解及牟合方蓋體積的計(jì)算進(jìn)行逐個(gè)突破，以期對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)有啟發(fā)和借鑒作用。

關(guān)鍵詞：球體積 牟合方蓋 數(shù)學(xué)史

一、問(wèn)題的提出

球體積公式是高中數(shù)學(xué)基本內(nèi)容，不同的推導(dǎo)方法常常會(huì)達(dá)到不同的教育效果。有的教師通過(guò)切片求極限的方法得出球體積公式，培養(yǎng)了學(xué)生極限思想。有的教師利用球面小錐體結(jié)合球表面積公式推得球體積公式，培養(yǎng)了學(xué)生近似求和的思想。有的教師借此機(jī)會(huì)探尋古今中外的方法，向?qū)W生展示人類智慧的成果。比如，教師通過(guò)截面原理（祖暅原理）的引入，驗(yàn)證得出半球體積等于同底等高圓柱體挖去同底等高圓錐體的體積（公理法）。這種處理方式盡管介紹了中國(guó)古代的重要原理，卻舍棄了知識(shí)生動(dòng)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，未能充分展現(xiàn)其教學(xué)功能和文化功能。若能進(jìn)一步引入中國(guó)古代計(jì)算球體積的重要立體——牟合方蓋，利用牟合方蓋計(jì)算球體積，不僅可以讓學(xué)生經(jīng)歷古人“以方套圓，化圓為方”的求解歷程，拓展學(xué)生的思維，還是一次增強(qiáng)民族自豪感的文化教育和愛(ài)國(guó)教育。有教師嘗試向?qū)W生講授上述各種推導(dǎo)方法，從課后學(xué)生的問(wèn)卷調(diào)查[1]來(lái)看，牟合方蓋法“太深?yuàn)W，難以理解，自己根本不可能想到，即使勉強(qiáng)看懂了，也無(wú)法掌握”。何以古人一千多年前的推導(dǎo)方法不能為學(xué)生接受？學(xué)生在理解上遇到哪些困難？只有知道了這些，教師才能更好地進(jìn)行針對(duì)性的教學(xué)設(shè)計(jì)。

二、牟合方蓋法計(jì)算球體積的教學(xué)難點(diǎn)及其對(duì)策

有學(xué)者將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)分為四種方式：附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式。[2]對(duì)于“深?yuàn)W，難以理解”的牟合方蓋法，教師首先應(yīng)該理解史料，并按照學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際找到教學(xué)中的難點(diǎn)，才能進(jìn)行創(chuàng)造性的教學(xué)設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)史料更好地融入教學(xué)，最大化地發(fā)揮其教育功能。

難點(diǎn)1：構(gòu)造牟合方蓋的緣由

球體積的計(jì)算是古代幾何學(xué)中的一個(gè)難題。為了獲得球體積的精確公式，東西方都竭盡了好幾代人的智慧，利用當(dāng)時(shí)所有的科學(xué)成果，創(chuàng)造出許多重要的數(shù)學(xué)方法和精巧的幾何構(gòu)造物。在西方有古希臘阿基米德的力學(xué)方法和17世紀(jì)意大利人卡瓦列利的不可分量方法，而在東方則有我國(guó)劉徽所構(gòu)造的牟合方蓋。牟合方蓋不是自然無(wú)形體的摹寫，而是為論證的需要構(gòu)造出來(lái)的特殊形狀的幾何體。因而，它的發(fā)明是以深刻的數(shù)學(xué)思想與方法為指導(dǎo)的，此數(shù)學(xué)思想即截面原理，就是我們現(xiàn)在所說(shuō)的“祖暅原理”。

古人對(duì)截面原理早有深刻理解。從《九章算術(shù)》“商功章”各求積術(shù)的編排順序來(lái)看，作者有意將所有圓體安排在相應(yīng)方體之后，即按方堢壔（方柱體）與圓堢壔（圓柱體）、方亭（方臺(tái)）與圓亭（圓臺(tái)）、方錐與圓錐的順序敘述。古人先計(jì)算方體體積，進(jìn)而利用截面原理，通過(guò)“方體體積∶圓體體積=截面方形面積∶截面圓面積”得出圓體體積（如圖1）。

類似地，在計(jì)算球體積時(shí)，古人仍試圖利用截面原理，只是還缺一個(gè)重要的輔助工具，即球的方體“外套”。這個(gè)外套的體積較易求得，進(jìn)而利用截面積之比求得球體積。

我們不妨來(lái)重溫劉徽創(chuàng)造牟合方蓋的過(guò)程。圖2中，圓柱與正方體的截面面積比始終為？仔∶4，按照這種思路給球套的外套也應(yīng)有這種截面性質(zhì)。劉徽發(fā)現(xiàn)以圓柱套球，圓與外方仍有兩面不切合（圖3（1）），如要達(dá)到四面都切合，則按垂直方向再套上一個(gè)圓柱即可，經(jīng)過(guò)一番思考，劉徽終于發(fā)明了球的牟合方蓋（圖3（2）為半個(gè)牟合方蓋）。

劉徽發(fā)明牟合方蓋，正是古人“以方套圓，化圓為方”的解題思路，而最終能由方求圓則依賴截面原理這一重要公理。如果教師能在呈現(xiàn)牟合方蓋前講以上這些作為鋪墊，學(xué)生就能對(duì)“為什么要引入牟合方蓋”有所體會(huì)。

難點(diǎn)2：如何理解抽象的牟合方蓋

一般的教學(xué)材料中呈現(xiàn)的牟合方蓋有兩種情形（如圖4）：通過(guò)圖4（1）正方體中兩垂直圓柱的公共部分，或者圖4（2）中兩根垂直的相同圓柱的公共部分，來(lái)得出圖4（3）中的牟合方蓋。無(wú)論（1）圖還是（2）圖，要讓學(xué)生想象出相交公共部分是（3）都不是一件容易的事情。這時(shí)學(xué)生就會(huì)感覺(jué)牟合方蓋太抽象，不易理解。有些教師可能會(huì)求助于3D多媒體，有些教師可能會(huì)求助于實(shí)物制作。其實(shí)，教師不妨沿用劉徽創(chuàng)造出牟合方蓋的思想，即截面以正方形外切圓形，讓學(xué)生想象牟合方蓋的外觀。如圖5所示，讓學(xué)生想象一刀一刀平行地切球體，得到一個(gè)個(gè)大小不同的圓，以圓的外切正方形代替圓，保證這些正方形中心重合，對(duì)角線疊合，這樣就形成了牟合方蓋的外形（這里教師也可以讓學(xué)生畫出牟合方蓋的三維圖來(lái)加深理解）。

經(jīng)歷過(guò)這番想象與操作后，再向?qū)W生介紹圖3和圖4，學(xué)生更能接受牟合方蓋的形象。這里教師需要對(duì)學(xué)生提出更進(jìn)一步的要求，以便為計(jì)算牟合方蓋體積做準(zhǔn)備。球內(nèi)切牟合方蓋，相切于哪些部分？教師可通過(guò)平面的方圓相切圖幫助學(xué)生理解，相切部分在牟合方蓋的面上，正好是球的兩個(gè)垂直大圓。

難點(diǎn)3：如何計(jì)算牟合方蓋的體積

劉徽指出，在每一高度上的水平截面圓與其外切正方形的面積之比都等于？仔∶4，因此球體積與牟合方蓋體積之比也應(yīng)該等于？仔∶4。牟合方蓋的體積怎么求呢？最終劉徽沒(méi)有能夠解決，他說(shuō)“敢不闕疑，以俟能言者”，他提出問(wèn)題，等待后人來(lái)解題。盡管劉徽沒(méi)有推證出球體積公式，但他為后人指出了解決球體積的正確方向。

兩百年后，劉徽的問(wèn)題終于被祖沖之和他的兒子祖暅解決了。我們來(lái)簡(jiǎn)單回顧他們的解決方法，考慮到牟合方蓋的對(duì)稱性，祖暅計(jì)算其1/8體積，將其放于小正方體中考慮（圖6）。祖暅不直接求1/8牟合方蓋體積，轉(zhuǎn)而求小正方體中扣除1/8牟合方蓋后的剩余體積。常規(guī)說(shuō)來(lái)，剩余立體形狀不規(guī)則，更不易求。但是祖暅利用截面原理，發(fā)現(xiàn)剩余部分體積應(yīng)等于一個(gè)“陽(yáng)馬”（一棱垂直于底面，且底面為正方形的棱錐，圖7（3）中椎體O-ABCD即為一個(gè)倒置的陽(yáng)馬）的體積，而陽(yáng)馬體積又等于小正方體體積的1/3，從而得出1/8牟合方蓋的體積為小正方體體積的2/3。

在講圖6的水平截面之前，教師有必要與學(xué)生一起對(duì)圖6作深入觀察。學(xué)生應(yīng)能理解弧AE，AG實(shí)則為大圓周長(zhǎng)的1/4，AF為牟合方蓋的棱的一部分。明確這些之后，教師可與學(xué)生一起討論圖6立體的水平截面（見(jiàn)圖7）。

三、進(jìn)一步地反思

教學(xué)中引入數(shù)學(xué)史料可以有多種教學(xué)功能，不僅可以拓展學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，而且可以讓學(xué)生在“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的過(guò)程中感悟其中的數(shù)學(xué)思想及精髓，為鍛煉學(xué)生思維提供絕佳契機(jī)。在經(jīng)歷了古人的探索過(guò)程后，教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思。

思考一：牟合方蓋的體積計(jì)算還有其他方法嗎

祖暅在計(jì)算牟合方蓋體積時(shí)利用了對(duì)稱性，首先計(jì)算1/8的體積。教師可以鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)此方法作進(jìn)一步拓展。能不能首先計(jì)算1/4或者1/2的體積呢？如何借助截面原理構(gòu)造新的立體呢？以1/2牟合方蓋（圖8（1））為例，設(shè)球半徑為r，則高h(yuǎn)處的截面面積為4（r2-h2）。教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比思想，得出形如圖8（2）的新立體—與1/2牟合方蓋同底等高的柱體挖去一個(gè)同底等高的倒方錐。顯然，兩副圖中陰影部分面積相同。進(jìn)而借助新立體求得1/2牟合方蓋的體積。

思考二：球體積公式的推導(dǎo)能否簡(jiǎn)化

中國(guó)古人計(jì)算球體積利用了其外套“牟合方蓋”間接求得。教師可引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)化推導(dǎo)過(guò)程，如果不利用牟合方蓋，是否可以直接利用截面原理得出球體積公式？考慮半個(gè)球體，若球半徑為r，截面高為h處的水平截面圓面積為？仔（r2-h2），這時(shí)構(gòu)造的新立體截面積等于兩圓之差（如圖9），該新立體為與半球同底等高的圓柱內(nèi)挖掉一個(gè)同底等高的圓錐。這就是我們通常在教科書上看到的推導(dǎo)方法。

經(jīng)過(guò)這樣一些步驟的改進(jìn)，學(xué)生不僅可以知曉古人的計(jì)算方法，贊嘆古人的聰明才智；更能通過(guò)自己的智慧改進(jìn)古人的方法，拓展思維，求簡(jiǎn)求優(yōu)。

通過(guò)上述推導(dǎo)過(guò)程得出球體積公式，相信學(xué)生對(duì)截面原理會(huì)有更深刻地理解，對(duì)于中國(guó)古代計(jì)算球體積過(guò)程中的重要?jiǎng)?chuàng)造——牟合方蓋的產(chǎn)生及體積計(jì)算會(huì)有更深入的體會(huì)。這里我們只是對(duì)牟合方蓋法教學(xué)中可能遇到的難點(diǎn)進(jìn)行分析，以期對(duì)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)有借鑒作用。而合適的教學(xué)融入方式，則有待教師作進(jìn)一步的嘗試與探究。

參考文獻(xiàn)

[1] 任明駿.關(guān)于球體積公式教學(xué)各異的調(diào)查與分析[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2005（4）.

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[3] 李繼閔.《九章算術(shù)》及其劉徽注研究[M].太原：山西人民教育出版社，1990.

[作者：王萍萍（1981-），女，江蘇蘇州人，蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院講師，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系在讀博士研究生。]

【責(zé)任編輯 郭振玲】