摘要：同為亞洲儒家文化圈的中、新、韓、日四國高中數(shù)學課程，由于相似的文化背景，具有較強的可比性。研究基于四國現(xiàn)行高中數(shù)學課程標準文本，以微積分內(nèi)容標準為例進行比較分析，從內(nèi)容設置、基本內(nèi)容以及內(nèi)容要求三個維度進行研究，進而提出以下建議：我國應在高中數(shù)學課程體系中適當增加微積分內(nèi)容；應適當增加其中積分學內(nèi)容；應適當增加課程廣度、深度；應適當加深認知水平要求。

關鍵詞：數(shù)學課程標準 微積分 內(nèi)容標準 國際比較研究

一、問題的提出

自20世紀80年代后期以來，在不少主要國家的基礎教育改革中，課程標準或教育標準幾乎不約而同地被放到了一個突出位置上；“標準”一詞一時間成了基礎教育改革，尤其是課程改革的關鍵詞[1]。其中，數(shù)學學科作為基礎教育階段的核心學科之一，在國際課程改革中常常首當其沖。數(shù)學本身的社會地位以及數(shù)學作為一門學科的自身特點，為關于數(shù)學的國際比較研究提供了內(nèi)在的必要條件，數(shù)學教育國際比較也因此成為教育國際比較研究的重要領域[2]。

微積分在高中數(shù)學課程中有著重要的地位和作用。微積分的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展及廣泛應用開創(chuàng)了向近代數(shù)學過渡的新時期，它為研究變量與函數(shù)提供了重要的方法和手段[3]。本文將中、新、韓、日四個國家高中數(shù)學課程標準文本中微積分內(nèi)容標準作為研究對象，深入分析四國高中數(shù)學課程中微積分內(nèi)容標準的異同，從而得出一定結論和啟示，以期為我國已經(jīng)啟動的高中數(shù)學課程標準修訂工作提供一定的參考。

二、研究設計

1.研究對象的選取

考慮到文化背景的相似性以及同為數(shù)學教育優(yōu)質(zhì)國家[4]，本文選取中國大陸、新加坡、韓國、日本四個國家現(xiàn)行的高中數(shù)學課程標準為研究對象。

其中，四國課程標準文本的選取如下：中國：2003年教育部制訂的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》[3][5]。新加坡：2011年教育部發(fā)布的《數(shù)學教學大綱》[6]。韓國：2011年教育科學技術部發(fā)布的《數(shù)學教育課程》（高中部分）[7]。日本：2009年文部科學省發(fā)布的《高中數(shù)學學習指導要領》[8]。

為了行文方便，本文中用到以上文本時均簡稱為“某國標準”。

2.研究思路與方法

本文研究主要基于四國高中數(shù)學課程標準文本，針對其中微積分內(nèi)容標準進行比較分析，尋找共性與差異，在國際視野下審視我國高中微積分內(nèi)容的特點以及不足之處，進而在保持我國特色的基礎上，借鑒經(jīng)濟發(fā)達國家以及數(shù)學教育高成就國家的優(yōu)勢，更好地認知自己，進而反思自己，促進我國數(shù)學教育的發(fā)展；主要采用文獻、比較、內(nèi)容分析等教育研究方法。

三、四國高中數(shù)學課程中微積分內(nèi)容標準的比較與分析

1.內(nèi)容設置的比較與分析

我國標準中將微積分內(nèi)容設置在選修1-1的“導數(shù)及其應用”以及選修2-2的“導數(shù)及其應用”中。選修系列1是為那些希望在人文、社會科學方面發(fā)展的學生而設置的，選修系列2則是為那些希望在理工、經(jīng)濟等方面發(fā)展的學生而設置的。系列1、系列2內(nèi)容是選修系列課程中的基本內(nèi)容。其中，選修1-1“導數(shù)及其應用”包括：導數(shù)概念及其幾何意義、導數(shù)的運算、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用、生活中的優(yōu)化問題距離以及數(shù)學文化共5個主題；選修2-2“導數(shù)及其應用”在此基礎上增加了“定積分與微積分基本定理”主題。

新加坡的大部分初等學院或中心學院都采用A-水平課程，學生可以靈活自主地進行課程選擇。A-水平課程中的數(shù)學科目分為Higher1（H1）、Higher2（H2）和Higher3（H3）三個層次。H1教學大綱為希望學習諸如商業(yè)、經(jīng)濟和社會科學等大學課程的學生提供數(shù)學基礎；H2教學大綱為學生學習包括數(shù)學、物理和工程的大學課程做好充分準備，要求更多的數(shù)學內(nèi)容；H3數(shù)學教學大綱提供給在追求學科更好水平和更深程度方面具有天資和激情的學生一個機會。H1層次“微積分”包括：微分學、積分學；H2層次包括：微分學、邁克勞林級數(shù)、積分法、定積分以及微分方程；H3層次包括H2層次中的“微積分”以及“微分方程模型”。

韓國數(shù)學課程包括兩個部分：第一部分是共同課程（從一年級到九年級），要求所有的學生必須學習相同的必修課程；第二部分是選擇課程（高中一年級到三年級），可以學習有“基本、一般、深化”層次的課程內(nèi)容，建立有區(qū)別的數(shù)學課程體系。每個選修科目相對獨立。其中，微積分內(nèi)容作為兩個單獨科目“微積分Ⅰ”、“微積分Ⅱ”設置在“一般科目”模塊中，微積分Ⅰ是理解數(shù)學Ⅰ和數(shù)學Ⅱ課程內(nèi)容的學生可以選修的模塊；微積分Ⅱ是理解了微積分Ⅰ課程內(nèi)容的學生可以選修的模塊，適合于想升入大學學習以微積分內(nèi)容為基礎的自然系列（理科）或工學系列（工科）的領域的學生。另有部分內(nèi)容設置在“深化課程”模塊的“高級數(shù)學Ⅱ”中。

日本高中數(shù)學課程設置為：數(shù)學Ⅰ、數(shù)學Ⅱ、數(shù)學Ⅲ、數(shù)學A、數(shù)學B、數(shù)學應用。其中，微積分內(nèi)容數(shù)學Ⅱ、數(shù)學Ⅲ科目中，數(shù)學Ⅱ是用來學習高中數(shù)學核心內(nèi)容和培養(yǎng)廣泛的數(shù)學資質(zhì)和能力，在發(fā)展和擴充數(shù)學Ⅰ的內(nèi)容的同時，又考慮進一步學習數(shù)學Ⅲ。數(shù)學Ⅲ是針對那些對數(shù)學有濃厚興趣、欲進一步深入學習數(shù)學的學生以及將來從事需要數(shù)學專業(yè)的學生而開設。

綜上所述，四個國家高中數(shù)學課程中微積分的內(nèi)容設置大致都是分為兩個層次：基礎和深化層次。基礎層次主要是針對今后準備在人文、社會科學方面發(fā)展的學生而設置的，例如我國的選修系列1-1、新加坡的H1課程、韓國的微積分Ⅰ課程以及日本的數(shù)學Ⅱ課程中的微積分內(nèi)容；深化層次則主要是針對今后準備在理工等方面發(fā)展的學生而設置的，例如我國的選修系列2-2、新加坡的H2課程、韓國的微積分Ⅱ課程以及日本的數(shù)學Ⅲ課程中的微積分內(nèi)容。值得一提的是，新加坡還專門針對“有數(shù)學天賦并對數(shù)學懷有熱情的學生”而設置了H3課程。

2.基本內(nèi)容的比較與分析

（1）基本內(nèi)容分布概況

本文以各國標準文本中內(nèi)容標準最小整句（內(nèi)容條目）作為基本單位進行編碼，從微積分內(nèi)容在整個高中數(shù)學課程中的比重以及微積分內(nèi)容在微分學、積分學以及其他三個方面的比重分別進行統(tǒng)計與分析。

一方面，四國標準中微積分內(nèi)容在整個高中數(shù)學課程中的比重各不相同。

我國文科數(shù)學課程內(nèi)容標準共有內(nèi)容條目144條，其中微積分內(nèi)容9條，占高中全部課程內(nèi)容的6%；理科數(shù)學課程內(nèi)容標準共有內(nèi)容條目159條，其中微積分內(nèi)容11條，占高中全部課程內(nèi)容的7%。而其他三國中微積分內(nèi)容比重最高的是新加坡H3課程，高達44%；比重最低的是日本課程，也達19%。由此可見，我國微積分內(nèi)容在四國高中數(shù)學課程中比重明顯偏少。

另一方面，四國標準中微積分內(nèi)容在三個子內(nèi)容領域（微分學、積分學、其他）中分布也各不相同。

可以發(fā)現(xiàn)：我國文科微積分內(nèi)容中微分學比重最高（89%），同時也是唯一不包含積分學內(nèi)容的；我國理科微分學比重僅次于文科比重（73%），積分學比重相比于其他三國也是最低的（9%）。對于其他三國而言，微分學比重最高的是韓國（68%），比重最低的是新加坡H3（19%）；積分學比重最高的是新加坡H1（44%），比重最低的是韓國（23%）。

進一步分析，我國微積分內(nèi)容明顯傾向于微分學，文科甚至不涉及積分學；而理科的積分學相比其他國家也為最少，雖然涉及到“其他”，也僅僅是有關微積分歷史的數(shù)學文化類內(nèi)容以及微積分基本定理。

（2）微分學的基本內(nèi)容

導數(shù)的概念是微積分的核心概念之一，它有著極其豐富的實際背景和廣泛的應用。我國標準選修1-1、2-2中的微積分內(nèi)容均是以“導數(shù)及其應用”主題呈現(xiàn)的，包括導數(shù)概念及其幾何意義、導數(shù)的運算、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用以及生活中的優(yōu)化問題舉例四個部分。但是2-2要求比1-1要求高。比如，在“導數(shù)的運算”中，1-1僅要求“能根據(jù)導數(shù)定義，求函數(shù)y=c，y=x，y=x2，y=■的導數(shù)”，2-2除了要求上述四類函數(shù)，還要求簡單三次函數(shù)y=x3以及無理函數(shù)y=■的導數(shù)。又如，在“導數(shù)在研究函數(shù)中的應用”中，2-2在1-1內(nèi)容的基礎上還增加了“體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性”。

新加坡標準H1課程中，微分學內(nèi)容主要包括導數(shù)概念及其幾何意義，函數(shù)y=xn、y=ex、y=lnx以及它們與常數(shù)的乘積、和、差的導數(shù)，求復合函數(shù)的導數(shù)，導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，利用圖形計算器求給定點處導數(shù)的數(shù)值解，導數(shù)的實際應用等。H2課程中，微分學內(nèi)容要求比H1要高，較之H1增加了二次導函數(shù)大于0（小于0）的圖釋，導函數(shù)與原函數(shù)圖像的關系；隱函數(shù)和含參數(shù)函數(shù)的求導等。H3中微分學內(nèi)容由H2中相關內(nèi)容組成，但是要求和嚴密性比H2更高一個層次。

韓國標準中微分學內(nèi)容主要包括微積分Ⅰ中的數(shù)列的極限、函數(shù)的極限與連續(xù)、多項函數(shù)的微分法（導數(shù)、導數(shù)的應用）等，微積分Ⅱ中的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的微分、微分法（各種微分法、導數(shù)的應用）等，高級數(shù)學Ⅱ中的微分的應用（柯西中值定理）、二元函數(shù)的極限和連續(xù)、偏微分及其偏微分的應用等。

日本標準中微分學內(nèi)容主要包括數(shù)學Ⅱ中的微分系數(shù)與導數(shù)、導數(shù)的應用，數(shù)學Ⅲ中的極限（數(shù)列的極限、函數(shù)的極限）、導數(shù)（函數(shù)的四則運算的導數(shù)、復合函數(shù)的導數(shù)、三角函數(shù)·指數(shù)函數(shù)·對數(shù)函數(shù)的導數(shù)）、導數(shù)的應用等。

綜上所述，四國均提及的基本知識包括：導數(shù)概念及其幾何意義、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則、簡單復合函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用等，都是圍繞微分學核心概念“導數(shù)”的基礎知識。我國微分學課程比較注重導數(shù)在生活中的應用，四國中僅有我國和新加坡在標準中有明文顯示。然而，就內(nèi)容廣度、深度來說，我國微分學內(nèi)容都不及其他三個國家。

（3）積分學的基本內(nèi)容

我國標準中選修1-1沒有積分學的相關內(nèi)容；選修2-2提出“初步了解定積分的概念，為以后進一步學習微積分打下基礎”，進一步要求“通過實例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念”。

新加坡標準中H1課程積分學內(nèi)容主要包括：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的積分，積分的四則運算法則；簡單復合函數(shù)的積分；定積分；定積分的計算；利用圖形計算器求定積分的數(shù)值解等。H2、H3課程積分學內(nèi)容主要包括：一些特殊形式的函數(shù)積分，積分方法（換元積分法、分部積分法）；定積分的概念；定積分的計算；含參數(shù)曲線所圍面積的計算；旋轉(zhuǎn)立體圖形體積的計算；使用圖形計算器求解定積分的數(shù)值解等。

韓國標準中積分學內(nèi)容主要包括：不定積分的含義，積分的四則運算法則，窮竭法計算面積和體積，定積分的含義，不定積分與定積分的關系，定積分的應用（曲邊圖形的面積）；積分方法，定積分的應用（立體圖形的體積）；極坐標方程表示的由曲線圍成的領域的面積；旋轉(zhuǎn)體的體積；旋轉(zhuǎn)面的面積；瞬間、質(zhì)量中心等。

日本標準中積分學內(nèi)容主要包括：不定積分與定積分的含義、積分的四則運算法則、利用定積分求面積；積分方法；求曲線圖形的面積和立體圖形的體積以及曲線的長度等。

綜上所述，我國文科沒有積分學內(nèi)容要求，理科要求僅僅在于“初步了解定積分的概念”。而其他三國均有的微分學基本內(nèi)容包括：積分的四則運算法則，簡單函數(shù)的積分，積分方法，定積分的概念及其幾何意義，定積分的計算，旋轉(zhuǎn)立體圖形體積的計算等。就內(nèi)容的廣度和深度而言，我國積分學內(nèi)容均不及其他三個國家。例如，新加坡標準還要求含參數(shù)曲線所圍區(qū)域面積的計算，重視圖形計算器的使用。韓國標準還要求極坐標方程表示的曲線圍成的面積、旋轉(zhuǎn)曲面的面積等內(nèi)容。

（4）其他相關內(nèi)容

本研究中的其他內(nèi)容是指除了以上微分學、積分學內(nèi)容之外的其他微積分相關內(nèi)容。我國標準中其他相關內(nèi)容主要是關于數(shù)學文化的要求（收集有關微積分創(chuàng)立的時代背景和有關人物的資料，并進行交流；體會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價值）以及2-2中的微積分基本定理。

新加坡標準中其他相關內(nèi)容主要包括邁克勞林級數(shù)和微分方程。韓國標準中其他內(nèi)容主要包括級數(shù)、微積分基本定理以及微分方程。日本標準中其他內(nèi)容主要包括無窮等比級數(shù)。

可以發(fā)現(xiàn)，我國課程的特點是注重數(shù)學文化在微積分課程中的滲透，在內(nèi)容標準中明確提出了數(shù)學文化的要求。然而，涉及到其他相關內(nèi)容的廣度和深度的要求則較低，僅在2-2中提出了微積分基本定理。其他三個國家均在級數(shù)理論方面提出了要求，新加坡、韓國內(nèi)容還涉及微分方程。

3.內(nèi)容要求的比較與分析

本研究主要針對微積分課程目標領域中“知識與技能”部分根據(jù)行為動詞，進行統(tǒng)計。為了方便比較與分析，以我國標準中對于認知水平的劃分為基準，將其分為3個水平：知道/了解/模仿（A水平），理解/獨立操作（B水平）、掌握/應用/遷移（C水平）。

注：新加坡標準僅以“內(nèi)容要求”組織行文，并沒有認知層面的要求。

可以發(fā)現(xiàn)，我國微積分內(nèi)容A水平比重偏高（文科22%，理科36%），而韓國和日本都沒有超過15%；同時，我國微積分內(nèi)容C水平比重偏低（文科11%，理科9%），而韓國為17%，日本為33%。

四、思考與建議

首先，我國微積分內(nèi)容應在高中數(shù)學課程體系中適當增加。微積分是全面認識數(shù)學價值的一個較好載體。隨著科技的進步和社會的發(fā)展，我們都應對微積分基本思想有所了解?？v觀新加坡、韓國、日本三國，微積分內(nèi)容占高中數(shù)學課程內(nèi)容最低的是19%，而我國僅占7%，從課程內(nèi)容比例上有所失衡。

其次，我國微積分內(nèi)容應適當增加其中積分學內(nèi)容。積分學與微分學同為數(shù)學分析的分支學科，積分與導數(shù)一樣，同為微積分的核心概念。我國文科微積分中不含積分學內(nèi)容，理科微積分中積分學內(nèi)容也僅占9%。僅僅是通過實例，從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念?？v觀新加坡、韓國、日本三國，微積分中積分學內(nèi)容最少的占23%，最多的占44%。其內(nèi)容也涵蓋了不定積分與定積分、積分方法、積分的應用等。

再次，我國微積分內(nèi)容應適當增加課程廣度深度。無論在課程廣度還是深度上，我國微積分內(nèi)容均在四國中偏低。例如，我國微分學主要涉及導數(shù)概念及其幾何意義、基本初等函數(shù)的求導公式、導數(shù)的四則運算法則、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用等圍繞導數(shù)的基本知識，但是其他三國中還涉及到函數(shù)凹凸性的探討，隱函數(shù)、含參數(shù)函數(shù)求導，甚至涉及到偏微分。又如，我國其他相關內(nèi)容僅包括數(shù)學文化、微積分基本定理，但是其他三國中還涉及級數(shù)理論、微分方程等。

最后，我國微積分內(nèi)容應適當加深認知水平要求。相比韓國、日本，我國A水平認知要求比重偏高，而C水平認知要求比重偏低。但是韓國、日本主要集中在B、C水平的認知要求上。

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[8] 日本文部科學省.高等學校學習指導要領解說——數(shù)學篇[S].大阪：大阪書籍株式會社，2009.

[作者：嚴虹（1980-），女，江蘇南京人，貴州師范大學副教授，現(xiàn)為北京師范大學在讀博士生。]

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