☉浙江省象山中學 張宗余

MPCK視角下優(yōu)化策略的三個維度

☉浙江省象山中學 張宗余

數(shù)學教學內容知識（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，簡稱MPCK）作為數(shù)學教師知識結構的核心，對教師的專業(yè)成長具有決定性作用，MPCK的研究也因此成為數(shù)學教育界的一個研究熱點.筆者結合學習的心得與自身實踐，從幾個案例出發(fā)，重點剖析教師如何在教學過程，采取一定的策略，達到優(yōu)化數(shù)學教師MPCK的目的.

一、數(shù)學教學內容知識（MPCK）的理論綜述

1.數(shù)學教學內容知識（MPCK）的解釋

數(shù)學教學內容知識（MPCK）是關于某一特定的數(shù)學內容該如何進行表述、呈現(xiàn)和解釋，以使學生更容易接受和理解的知識.香港學者黃毅英等提出數(shù)學教學內容知識（MPCK）由以下三部分的組成：（1）數(shù)學學科知識簡稱MK）；（2）一般教學法知識（簡稱PK），指超出學科內容之外的關于課堂組織管理的主要原則和策略；（3）有關數(shù)學學習的知識（簡稱CK），包括學習者，學習背景、學習環(huán)境、教育目標與價值、教育情境等知識，并建構出MPCK的結構圖（圖1）.顯然，MPCK是數(shù)學教師從事專業(yè)教學所應具備的核心知識.

圖1

2.研究數(shù)學教學內容知識（MPCK）的意義

數(shù)學知識具有客觀實在性，數(shù)學教師的任務是從教學的角度組織與使用這些數(shù)學知識，目的是幫助學生正確理解與掌握相關的數(shù)學.現(xiàn)階段的研究表明：教師在數(shù)學教與學的過程中，對數(shù)學的某一特定內容上的自我優(yōu)化和指導大部分是由他們的教學內容知識（CK）、學科知識（MK）、教學法知識（PK）等共同決定.但是一些基本的數(shù)學知識表面上看非常簡單，由于教師自身對知識缺乏理性思考，向學生解釋清楚卻十分困難，教師的認識和教學實踐之間的關系也同樣需要進行更多的MPCK理論支持與動態(tài)研究，以揭示數(shù)學教師個體獨有的知識類型，并且促使數(shù)學教師對學科知識和教學知識不斷進行建構、融合.

3.從一道數(shù)學習題的不同解法管窺MPCK

案例1 設α，β∈R，且（α-1）3+2016（α-1）=-1，（β-1）3+2016（β-1）=1，求α+β的值.

初中教師的解法剖析：

解：令（α-1）=m，（β-1）=n，

原式化為m3+2016m=-1，n3+2016n=1.相加分解得（m+n）（m2-mn+n2+2016）=0.因為m2-mn+n2+2016＞0，所以m+n=0，即（α-1）+（β-1）=0，故α+β=2.

高中教師的解法剖析：

解：令f（x）=x3+2016x，易知f（x）是奇函數(shù).因為f（α-1）=-1，f（β-1）=1，所以f（α-1）=-f（β-1）=f（1-β），又因為f（x）是單調遞增函數(shù)，所以α-1=1-β，即α+β=2.

由于初、高中學生的認知水平和思維水平的不同，教師在綜合運用MPCK上顯然有明顯的區(qū)別.初中階段雖然對立方和公式的掌握與因式分解不作要求或要求降低，但經(jīng)驗豐富的教師知道它對于初中解題和將來與高中數(shù)學課程的銜接等方面所起到的重要作用，因此大都會在學習因式分解階段以將此類知識點作為一種解題技能補充滲透給學生.高中教師則利用奇偶函數(shù)的特點和函數(shù)的單調性啟發(fā)學生構造函數(shù)f（x）=x3+2016x，f（x）是單調遞增函數(shù)，f（α-1）=f（1-β），必有（α-1）=（1-β）.方程根的估計過程中，有經(jīng)驗的教師會適當引導學生復習函數(shù)零點存在性定理，并描繪出f（x）的大致圖像，滲透高等代數(shù)的解題思想方法.

二、優(yōu)化教師MPCK的三個有效維度

數(shù)學教學內容知識（MPCK）是一種能夠把科學形態(tài)的數(shù)學有效地轉化為教育形態(tài)的知識.在日常數(shù)學教學中，教師不斷地運用MPCK指導課堂教學，評估教學過程，呈現(xiàn)數(shù)學背景，體現(xiàn)數(shù)學本質等.可見針對教師開展MPCK的研究，對有效促進教師數(shù)學教學內容知識（MPCK）的重要性.

1.優(yōu)化MPCK有效維度一：高觀點下審視的初等數(shù)學

德國著名數(shù)學家克萊因說過“只有在高等數(shù)學的理論體系中，才能深刻地理解初等數(shù)學”.在中學數(shù)學教學的過程中，由于學生的心智發(fā)展水平和學習特點還處于發(fā)展階段，因此對于教材中的一些問題只是作簡單的闡述，并不需要進行探究和討論.但作為知識擁有者和傳授者的教師本身，問題的掌握不可能僅局限于中學那種膚淺的理解層次，而應該在可研究的問題上從高觀點、數(shù)學史的發(fā)展角度去剖析教材與數(shù)學問題，高處著眼，低處入手，深入淺出地對其進行探究和挖掘內涵，溝通基本概念間的相互聯(lián)系，揭示問題的本質含義.

在講課中某老師給出了如下的優(yōu)異方法，對cosα+2sinα=-兩邊求導（把α看作未知數(shù)），即得到-sinα+2cosα=0，兩邊同除以cosα，于是tanα=2.

容易驗證，上述方法中得到的答案是正確的，但是上述方法是否正確，為什么能對等式兩邊求導？對等式兩邊求導意味著什么？這種求導的方法能否解決一類問題，如：已知msinα+ncosα=c，求tanα.即是說，這種解法具有共性嗎？對于原問題，為什么對兩邊求導的方法也能夠求得正確答案呢？是巧合？還是另有原因？

易知，在等式mcosα+nsinα=c中，如果其右邊的常數(shù)c是函數(shù)mcosx+nsinx的最值±，那么用求導的方法是可行的.顯然，要解釋這個原因，就要清楚這里的求導意味著什么？根據(jù)導數(shù)的定義，如果要求函數(shù)y=（fx）的極值，只需對函數(shù)y=（fx）求導，并由f′（x）=0得到相應的x值，代入函數(shù)y=（fx）即可求出極值.至此“真相大白”了.正是由于在等式mcosα+nsinα=±中，其右邊的常數(shù)±是函數(shù)y=mcosx+nsinx的極值，而對等式mcosα+nsinα=±兩邊求導時，得到的tanα的值，正好是mcosα+nsinα取得極值±時需要滿足的條件.

所以只有了解初等數(shù)學與高等數(shù)學之間的聯(lián)系，適當掌握一些高等數(shù)學知識，中學教師才能了解和懂得怎樣克服教學中的不足，這對于教學中保證數(shù)學的嚴謹性是有用的.同時，如果教師能夠從高觀點下審視和研究自己在教學實踐中遇到的疑難問題，勇于探索、樂于學習、不斷反思，這對自己的MPCK發(fā)展無疑是十分有利的.

2.優(yōu)化MPCK有效維度二：按有意義的順序來組織和呈現(xiàn)教學內容

數(shù)學概念、數(shù)學命題的產(chǎn)生有其必要性.要實現(xiàn)教師數(shù)學知識課堂教學的有效轉化，促進MPCK的生成與發(fā)展，就必須建立在對數(shù)學知識深刻反思的基礎上，按照“知識的發(fā)生、發(fā)展過程”來呈現(xiàn)內容，不是把知識簡單地擺在學生面前.如教師在概念教學時，切忌直截了當?shù)鼐投x而講定義，應更多地從概念而產(chǎn)生和形成的過程中為學生提供思維情境，讓他們通過觀察，比較、概括，由特殊到一般，由具體到抽象.下面是等差數(shù)列的概念引出的教學過程：

案例3 人教A版必修5“等差數(shù)列”案例.

T：從情景的表格中抽象出一般數(shù)列（表格略）.

設計意圖1：直觀感知的學習.從現(xiàn)實數(shù)據(jù)中抽象出數(shù)學數(shù)字，觀察數(shù)字的表征，感受數(shù)字的變化規(guī)律.

T：同學們能用數(shù)學語言來描述上述數(shù)列的共同特征嗎？

S1：后一項與它的前一項的差等于常數(shù).（描述1）

T：反例：1，3，5，6，12，這樣的數(shù)列特征和上述數(shù)列一樣么？

S：不一樣，要加上同一常數(shù)，

S2：每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)（描述2）

T：反例：1，3，4，5，6，7，這樣的數(shù)列特征和上述數(shù)列一樣么？

S：不一樣，必須從第二項起.

S3：從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù).（描述3）

（把學生的回答寫在黑板上，通過反例的說明，讓學生深刻地理解這四組數(shù)列的共同特征：①同一常數(shù)，②從第二項起）

設計意圖2：描述性定義的學習.在直觀認識的基礎之上教師引導學生用文字語言描述，通過正反例的舉證，不斷完善定義.

S4：an-an-1=d.

T：等價么？

S5：應加上d是常數(shù)，且n≥2，n∈N*.

設計意圖3：形式化定義的學習.教師要求學生用符號語言來定義，再到圖形語言的描述，讓學生充分進行討論，注意文字描述與符號描述的嚴謹性，逐步加深對數(shù)學概念的理解.同時注重對數(shù)學知識的反思，實現(xiàn)數(shù)學學科知識（MPCK）的課堂教學轉化，以相應的數(shù)學知識為基礎，按知識的發(fā)生、發(fā)展過程來呈現(xiàn).教師擁有的數(shù)學學科知識是課堂靈活運用的基礎，只有具備豐富的數(shù)學學科知識，且具備良好的表達能力，又善于從學生的角度進行思考，才能夠產(chǎn)生高效的教學策略，才能夠使用不同的教學表征促進學生對數(shù)學知識的了解.

3.優(yōu)化MPCK有效維度三：促進學生思維參與的教學對話

我們認為教學是“教與學”的統(tǒng)一體，是學生的知識現(xiàn)狀與教學目標之間的差距不斷縮短，學生不斷獲得發(fā)展的一種動態(tài)過程.因此，在教學過程中教師需要了解學生的學習情況（包括學生的已有認知基礎、學習難點、學習誤區(qū)、學習困惑、學習錯誤、思維方式和學習態(tài)度等）.在教學過程中通過教學對話能更真實、更深入了解到學生的學習情況.教師在教學對話中注重激發(fā)學生的思維，激發(fā)思維是促進學生思維參與的先決條件.教師在教學對話中通過追問、反問和側問來回應學生，促使學生深入思考問題，同時提升他們的思維參與度.

案例4 人教A版必修2“3.1直線的傾斜角與斜率”教學案例.

尤其值得注意的是，王鉆清在進行追問時，直接關注的是我們人類的生存和卑鄙墮落的人性，以至創(chuàng)世的存在。他的詩歌上至天空、宇宙、下至大地和海洋，其開闊的思維和宏大的想象空間，在當代詩壇上可說是獨樹一幟，極具辨識度的。但無論怎樣海闊天空，精騖八極，心游萬仞，王鉆清的“大時空詩”，卻始終能夠巧妙地處理好詩歌寫作的宏大與細微的關系。其最終的落腳點，依然要回到人類的生存現(xiàn)狀和對時間未來的思考：

先創(chuàng)設教學情境，導出坐標法研究方式，探究1：一點能否確定一條直線，通過觀察過一點P作無數(shù)條直線的區(qū)別和幾何畫板的動畫，思考能不能用一個幾何量描述直線的傾斜程度，然后引出傾斜角的概念；探究2：還有什么量能描述直線的傾斜程度，引導學生聯(lián)系坡度比，給出斜率的概念，再討論兩點間斜率公式.但課堂上在引出探究1和觀察后，出人意料的事發(fā)生了，一位女同學站起來回答“可以用斜率描述”，學生的回答出乎了教師的預設.如何處理學生這一“突發(fā)性問題”，下面是筆者運用較成功的一次“教學對話”.

對話1：“斜率是什么？”如果學生按照課本的定義回答斜率是傾斜角α的正切值，教師在追問傾斜角α是什么？自然將學生研究的視角回到教學預設上來.但是學生的回答又一次出乎教師的預設，學生說：“斜率k=，其中x、x、y，y表示點的坐標.”顯然學生的回答

1212使教師的教學預設又一次落空，再繼續(xù)下去必然打亂之前的教學設計.

對話2：“你是怎么獲得的？”學生說：“書上有的.”課堂學生哄然大笑.此時教師將板書，放棄了原先的教學設計.

對話3：“我們說兩點確定一條直線，對所有的直線都存在k嗎？”讓學生共同討論，并結合幾何畫板演示，明確只要確定兩點，當x1≠x2時都有k的存在.

對話5：“能不能用坡度（比）來表示傾斜程度呢？坡度（比）能滿足我們研究直線的需要嗎？它有哪些局限性？”引導學生回憶起坡度問題，通過坡度比與斜率的對比，不斷完善斜率的概念.

對話6：“所以我們有繼續(xù)研究斜率k的必要，斜率k取值與P1（x1，y1），P2（x2，y2）先后有關嗎？”通過幾何畫板，在點不斷的運動過程中，引導學生理解“坡度”實際就是“α的正切值”，從而引入傾斜角的概念.

對話是一種課堂教學手段，它能反映教師的教學策略和教學機智.通過對話，讓設計的教學活動有利于學生交往過程的開展，讓每位學生都參與、思考，都有機會把他們的思維呈現(xiàn)出來，我們的教學才能真正有效.其實蘇教版教材就是先給出公式，再給出斜率的概念，再在研究中給出傾斜角的概念.

今天，我們在強調教學方式變革的同時，對于數(shù)學知識內涵的理解，本質的把握亦不容輕視.事實上，數(shù)學教師對數(shù)學知識的反思是數(shù)學教師不斷優(yōu)化MPCK的過程，是不斷進行創(chuàng)造性教學的過程，是不斷理解學生思維的過程.當然，在反思的過程中，應該采取溯本求源和刨根問底的態(tài)度，不迷信權威和課本，不片面或孤立地看問題，注意用高等數(shù)學的知識與方法進行解讀，提高自身數(shù)學素養(yǎng)，從一般教師向高水平教師轉化.

（感謝英國南安普敦大學數(shù)學與科學教育研究中心主任范良火教授指導.）

1.張紅，孫立坤，李昌勇.高觀點下的初等數(shù)學與數(shù)學教師MPCK的優(yōu)化案例剖析［J］.數(shù)學通報，2009（7）.

2.胡典順.MPCK的發(fā)展路徑：學會反思——基于若干案例的思考［J］.數(shù)學通訊，2012（10）.

3.胡典順，何穗.MPCK視角下的指數(shù)函數(shù)的單調性［J］.數(shù)學通報，2012（4）.

4.李渺.優(yōu)秀教師課堂MPCK的特點——基于兩則教學案例的比較研究［J］.數(shù)學通報，2013（4）.

5.張宗余.追問——應對課堂生成性問題的有效方法［J］.數(shù)學教學，2013（12）.

6.張宗余，鈕晶瑩.等差數(shù)列概念課教學［J］.數(shù)學教學，2004（7）.

7.賀明榮.淺析MPCK視角下的解題教學［J］.中學數(shù)學（上），2013（19）.