用糾纏態(tài)表象導(dǎo)出復(fù)雜量子介觀電路的特征頻率

笪　誠(chéng),范洪義

用糾纏態(tài)表象導(dǎo)出復(fù)雜量子介觀電路的特征頻率

笪誠(chéng)1,2,范洪義1,3

（1. 巢湖學(xué)院數(shù)理工程研究中心, 安徽合肥 238000; 2. 巢湖學(xué)院機(jī)械與電子工程學(xué)院, 安徽合肥 238000; 3. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)材料科學(xué)與工程系, 合肥 230026)

以討論有互感和共用電容的兩回路介觀電路的量子化為例，我們提出復(fù)雜量子介觀電路的特征頻率的概念。在給出該電路正確的量子Hamilton 算符后，用糾纏態(tài)表象求出了系統(tǒng)在恒穩(wěn)電路狀態(tài)下的能量量子化公式以及特征頻率，發(fā)現(xiàn)互感越大，特征頻率越高。文中同時(shí)也得到了系統(tǒng)的波函數(shù)和零點(diǎn)能，這在經(jīng)典框架中是無從顧及的。

糾纏態(tài)表象；介觀電路；正則變換；特征頻率

0　引 言

隨著微電子學(xué)和納米技術(shù)的飛速發(fā)展，尤其是許多高新技術(shù)諸如隧道掃描顯微鏡（STM）等的發(fā)展和應(yīng)用，電路集成度的大幅度提高及電子器件的日益小型化，其集成單元間的空間尺寸已達(dá)原子量級(jí)。顯而易見，當(dāng)荷電粒子的非相干長(zhǎng)度達(dá)到費(fèi)米波長(zhǎng)量級(jí)時(shí)，以粒子的整體平均運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)的經(jīng)典器件的物理學(xué)將不再適用，或者說當(dāng)電子輸運(yùn)尺度達(dá)到電子兩次非彈性碰撞之間的尺度時(shí)必須考慮電路和器件的量子效應(yīng)[1]，由此對(duì)介觀物理量的量子特性的研究變得越來越重要，這對(duì)于進(jìn)一步設(shè)計(jì)微小電路，壓低噪聲影響具有重要的指導(dǎo)意義。

上個(gè)世紀(jì)80年代，Louisell首先考慮了LC單回路的量子化，獲得了真空態(tài)的量子噪聲[2]。進(jìn)入本世紀(jì)以來，有很多文章研究復(fù)雜介觀電路的量子化、噪聲和量子漲落[3-10]，如顧永建發(fā)展了一種有源RLC電路的量子化方案并研究了壓縮真空態(tài)下介觀RLC電路中電流和電荷的量子漲落[4]；王繼鎖等人基于介觀電路中電荷應(yīng)是量子化的這一基本事實(shí)，給出了介觀電感耦合電路的量子理論和庫(kù)侖阻塞條件，并討論了該介觀電感耦合電路的量子漲落[6]；汪仲清利用熱場(chǎng)動(dòng)力學(xué)的方法研究了介觀RLC電路在具有熱噪聲的真空態(tài)下電荷和磁通（電流）的量子漲落,從而得到了有限溫度下這一電路在熱真空態(tài)下的量子漲落與溫度的關(guān)系[8]；龍超云等人給出耗散介觀電容耦合電路的量子化，并在此基礎(chǔ)上研究電荷和電流在能量本征態(tài)下的量子漲落[10]。但以往的研究都沒有討論復(fù)雜電路作為一個(gè)整體的特征頻率。其原因是在經(jīng)典電路理論的框架內(nèi)沒有量子效應(yīng)，人們只需根據(jù)基爾霍夫定律求出電路的電流、電壓和阻抗損耗就可以了。本文中，我們討論有互感M和共用電容C的兩回路介觀電路的量子化。在給出其正確的量子Hamilton 算符后，用糾纏態(tài)表象求出了系統(tǒng)在恒穩(wěn)電路狀態(tài)下的量子化能級(jí)公式以及特征頻率

這表明特征頻率隨著互感增大而增大；當(dāng)互感為零時(shí)，即兩個(gè)回路的電感徹底分離，互不影響，此時(shí)特征頻率變?yōu)?/p>

1　描述系統(tǒng)的Lagrange量、Hamilton量和正則變換

考慮如圖1所示的有互感和共有電容的兩回路介觀電路，兩個(gè)電感之間有互感，電路的一端有電源,

圖1　有互感和共有電容的兩回路介觀電路

從兩個(gè)回路的電流方程可以看出拉氏函數(shù)為[11]

K代表漏磁程度，K越大表明漏磁越小，通常K<1。由式(1)得到

根據(jù)Lagrange方程

對(duì)于回路1來說我們就有

同理，回路2的Lagrange方程為

這與用Kirchhoff定理[12]得出的回路的動(dòng)力學(xué)方程一致。說明(1)式確定的系統(tǒng)拉氏量是正確的。qi的正則動(dòng)量為

對(duì)Lagrange量作Legendre變換，注意到式(10)，得到Hamilton量

這里

以下我們只考慮穩(wěn)恒電路的情況，即假定電流已經(jīng)達(dá)到恒定，外源的貢獻(xiàn)(t)q1ε正好抵消電路中產(chǎn)生的焦耳熱。所以在下面的討論中我們可以認(rèn)為系統(tǒng)的量子化哈密頓量不顯含時(shí)間t

我們的目的是求其能量量子化公式、零點(diǎn)能及特征頻率，因?yàn)閜1p2與q1q2項(xiàng)都會(huì)引起量子糾纏，我們將用糾纏態(tài)表象來實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。

2　兩個(gè)互為共軛的糾纏態(tài)表象

令

這里已取===.引入一個(gè)雙模Fock空間，其產(chǎn)生（湮滅）算符為。引入態(tài)矢量

我們可以證明它是p1+p2及q1-q2的共同本征態(tài)，[p1+p2，q1-q2]=0。事實(shí)上，用a1,a2分別作用于上有

由此導(dǎo)出

可見η的實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)q1-q2和p1+p2的本征值?？梢杂糜行蛩惴麅?nèi)的積分技術(shù)（IWOP技術(shù)）和:簡(jiǎn)捷地證明滿足完備性[13-16]

由式(17)及(21)得到

定義

則有

由此給出

考慮到

利用式(35)和(36)有

于是

因此

3 用糾纏態(tài)表象求解有互感和共有電容的兩回路介觀電路的能級(jí)

現(xiàn)在我們?cè)诩m纏態(tài)表象內(nèi)求解有互感和共有電容的兩回路介觀電路的特征頻率。由式(36)可得

則有

系統(tǒng)的Hamilton量可以寫為

再由式(43)可導(dǎo)出

待求，則由

可得關(guān)于Ψn的微分方程

再令Ψn形為

則方程(50)中的前兩項(xiàng)可寫為

再由

代入方程(50)可得n?所滿足的方程

把上式與量子簡(jiǎn)諧振子定態(tài)方程

4　討論和分析

分別為孤立單回路1和單

回路2的特征頻率，這也是所期望的。

圖2　零互感有共有電容的兩回路介觀電路

通過對(duì)此復(fù)雜電路的量子化，我們引入了整個(gè)電路的量子特征頻率的概念并用糾纏態(tài)表象求出了它。同時(shí)系統(tǒng)在糾纏態(tài)表象內(nèi)的波函數(shù)可結(jié)合式(48)、(51)及諧振子的波函數(shù)[17]

而給出

其中,Hn為Hermite多項(xiàng)式。此文的討論還有望推廣到其它電路。

附錄A1

為了進(jìn)一步驗(yàn)證方程(60)中特征頻率的正確性，我們?cè)賹?13)式中的Hamilton量對(duì)角化。

我們采用不久前提出的不變本征算符方法（見文獻(xiàn)[18]）來完成這一任務(wù)。文獻(xiàn)[18]給出了對(duì)角化一般形式二次型Hamilton量的步驟。對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)式(62)和式(13)中的Hamilton量，我們寫下對(duì)應(yīng)的L矩陣和M矩陣

根據(jù)文獻(xiàn)[18]，正則變換后的簡(jiǎn)正坐標(biāo)和動(dòng)量為

于是變換后的哈密頓量

可見等效的簡(jiǎn)正頻率為

與我們用糾纏態(tài)表象計(jì)算出來的結(jié)果一致。

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Obtaining Characteristic frequencies of complex quantum mesoscopic circuit through the entangled state representation

DA Cheng1,2, FAN Hongyi1,3
(1.The Interdisciplinary Center for Study on Maths, Physics and Engineering, Chaohu University,Hefei, 238000, China; 2.School of Mechanical and Electronic Engineering, Chaohu University, Hefei, 238000, China; 3.Department of Material Science and Engineering, University of Science and Technology of China, Hefei, 230026, China)

By discussing quantization of a two-loop quantum mesoscopic circuit in which a capacitance is sharing and mutual inductance exists between two inductances, we propose the conception of characteristic frequency for complex electric circuit in the context of quantum mechanics. In the steady case of the circuit, after the quantum Hamilton operator is correctly deduced, and by using the entangled state representation we derive the energy quantization formula and the characteristic frequency of the system. It shows that the greater the mutual inductance, the higher the characteristic frequency. At the same time, the wave function and zero point energy are also obtained, which are impossible to be taken into account in the classical framework of the system.

entangled state representation, mesoscopic circuit, canonical transformation, characteristic frequency

0413.1

A

2095-8382(2016)03-073-08

10.11921/j.issn.2095-8382.20160316

2016-04-07

安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：KJ2016A504）；安徽省高等學(xué)校省級(jí)質(zhì)量工程教學(xué)研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2015jyxm327）；巢湖學(xué)院博士科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：KYQD—201407）

笪誠(chéng)（1974-），男，博士，講師，安徽桐城人,主要研究方向：量子光學(xué)、量子力學(xué)。