胡二琴，趙　勇，陳　瑩

(1.華中科技大學(xué)系統(tǒng)工程研究所，湖北武漢430074；2.湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢430068；3.深圳大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，廣東深圳518060)

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序貫拍賣(mài)中報(bào)價(jià)排序信息披露的研究

胡二琴1，2，趙勇1，陳瑩3

(1.華中科技大學(xué)系統(tǒng)工程研究所，湖北武漢430074；2.湖北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢430068；3.深圳大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，廣東深圳518060)

研究了兩場(chǎng)拍賣(mài)間報(bào)價(jià)排序的披露對(duì)投標(biāo)人報(bào)價(jià)以及拍賣(mài)人收益的影響.首先，基于博弈理論分析了報(bào)價(jià)排序披露策略下投標(biāo)人的均衡報(bào)價(jià)策略.其次，從投標(biāo)人報(bào)價(jià)與拍賣(mài)人收益的角度將排序披露策略與獲勝價(jià)、獲勝者身份披露策略進(jìn)行了比較.最后，比較了每種披露策略下兩場(chǎng)拍賣(mài)間的拍賣(mài)人收益.結(jié)論表明：披露獲勝者身份對(duì)拍賣(mài)人最有利；而披露報(bào)價(jià)排序時(shí)，投標(biāo)人會(huì)通過(guò)降低第1場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)去換取第2場(chǎng)拍賣(mài)中的信息優(yōu)勢(shì)，從而導(dǎo)致拍賣(mài)人收益最低.

序貫拍賣(mài)；披露策略；報(bào)價(jià)排序；收益比較

1　引　言

由于定價(jià)靈活、交易自由和參與成本低等特點(diǎn)，網(wǎng)上拍賣(mài)近年來(lái)已成為商品銷(xiāo)售與采購(gòu)的一種重要渠道[1].中國(guó)拍賣(mài)行業(yè)協(xié)會(huì)發(fā)布的《2013年中國(guó)拍賣(mài)行業(yè)經(jīng)營(yíng)狀況分析及2014年展望》指出，2013年是中國(guó)拍賣(mài)行業(yè)名副其實(shí)的“網(wǎng)上拍賣(mài)發(fā)展年”，網(wǎng)上拍賣(mài)成交金額超過(guò)200億元.網(wǎng)上拍賣(mài)不受拍賣(mài)時(shí)間與空間的限制，交易雙方在虛擬市場(chǎng)中相遇，雙方間的信息不對(duì)稱(chēng)進(jìn)一步加劇.與傳統(tǒng)拍賣(mài)相比，網(wǎng)上拍賣(mài)中投標(biāo)人面臨更大的信息不確定性，而拍賣(mài)人則擁有更多關(guān)于拍賣(mài)品或市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)特性等對(duì)投標(biāo)人有用的信息，拍賣(mài)人該不該披露、該如何披露這些信息一直是拍賣(mài)理論界與實(shí)踐界關(guān)注的熱點(diǎn)[25].

大量相同或相似的物品序貫售出，同一批投標(biāo)人在多個(gè)市場(chǎng)階段重復(fù)競(jìng)爭(zhēng)是許多產(chǎn)品市場(chǎng)(如商品批發(fā)市場(chǎng)、藥品采購(gòu)市場(chǎng))中的一類(lèi)常見(jiàn)現(xiàn)象.在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，由于沒(méi)有面對(duì)面接觸，以ID代替真實(shí)身份進(jìn)行交易，投標(biāo)人通常并不清楚對(duì)手的人數(shù)、身份、價(jià)值或成本等信息.但是投標(biāo)人擁有跨階段學(xué)習(xí)的能力，僅從前期拍賣(mài)結(jié)束后披露出的獲勝信息中也能推斷出對(duì)手的一些信息，并用來(lái)規(guī)劃后期的報(bào)價(jià)策略.拍賣(mài)人獲勝信息的披露方式?jīng)Q定了投標(biāo)人能獲取從前期拍賣(mài)中獲取多少信息.比如，若拍賣(mài)結(jié)束后披露所有報(bào)價(jià)，則投標(biāo)人不僅可以觀察到對(duì)手的人數(shù)，還可從報(bào)價(jià)中反推出所有對(duì)手的價(jià)值或成本信息.但是若拍賣(mài)人只是私下通知每個(gè)投標(biāo)人是否獲勝，則投標(biāo)人對(duì)對(duì)手信息仍一無(wú)所知.而理性的投標(biāo)人在前期拍賣(mài)中就會(huì)預(yù)期到信息披露效應(yīng)，并調(diào)整報(bào)價(jià)策略以求獲取對(duì)手的信息或者阻止對(duì)手獲取自身信息.這使得投標(biāo)人的報(bào)價(jià)策略不同于單場(chǎng)拍賣(mài)時(shí)的報(bào)價(jià)策略.拍賣(mài)人的收益顯然也會(huì)受到影響.因此，在重復(fù)競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下如何披露獲勝信息也是拍賣(mài)機(jī)制設(shè)計(jì)的重要環(huán)節(jié).針對(duì)網(wǎng)上序貫采購(gòu)拍賣(mài)中供應(yīng)商通常不清楚對(duì)手人數(shù)這一特點(diǎn)，Arora等[6]比較了披露獲勝價(jià)與披露所有報(bào)價(jià)兩種策略下的采購(gòu)成本.而針對(duì)供應(yīng)商不清楚對(duì)手成本類(lèi)型這一特征，Thomas[7]，Kannan[8]和Timothy等[9]分別在供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)中立與風(fēng)險(xiǎn)厭惡的假定下，比較了披露獲勝價(jià)與披露所有報(bào)價(jià)兩種策略下的采購(gòu)成本.在投標(biāo)人不確定對(duì)手價(jià)值類(lèi)型且勝者退出的假定下，Jeitschko[10]發(fā)現(xiàn)披露獲勝價(jià)時(shí)投標(biāo)人會(huì)在第1場(chǎng)拍賣(mài)中降低報(bào)價(jià)去獲取對(duì)手信息(即抽取效應(yīng))，而Kannan[11]和Ding等[12]指出當(dāng)披露所有報(bào)價(jià)時(shí)投標(biāo)人在第1場(chǎng)拍賣(mài)中會(huì)冒充其他類(lèi)型投標(biāo)人以阻止對(duì)手獲取自己的信息(即欺騙效應(yīng)).這些研究主要分析了披露獲勝價(jià)與披露所有報(bào)價(jià)這兩種披露策略.而現(xiàn)實(shí)中可行的披露策略遠(yuǎn)不止這兩種，而且披露報(bào)價(jià)往往會(huì)泄露投標(biāo)人的價(jià)值或成本等重要信息，而在醫(yī)藥、高科技產(chǎn)品生產(chǎn)中這類(lèi)信息的機(jī)密性是至關(guān)重要的.如美國(guó)藥品采購(gòu)拍賣(mài)結(jié)束后，只會(huì)披露獲勝者身份.不披露具體報(bào)價(jià)、只披露報(bào)價(jià)排序也是近年來(lái)實(shí)際拍賣(mài)中被廣泛采用的一種披露策略.但是目前關(guān)于排序披露策略的理論研究比較有限.Elmaghraby等[13]發(fā)現(xiàn)在單場(chǎng)公開(kāi)采購(gòu)拍賣(mài)中，與披露所有報(bào)價(jià)相比，披露報(bào)價(jià)排序使得供應(yīng)商無(wú)法立即獲取對(duì)手的完全信息，導(dǎo)致供應(yīng)商失去耐心從而競(jìng)價(jià)更加激烈、采購(gòu)成本更低.那么，在重復(fù)競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下報(bào)價(jià)披露排序是否也能成為拍賣(mài)人的最優(yōu)披露策略是一個(gè)尚待研究的問(wèn)題.

本文分析了在序貫密封拍賣(mài)間披露報(bào)價(jià)排序時(shí)投標(biāo)人的報(bào)價(jià)特征，并在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上將報(bào)價(jià)排序披露策略與獲勝價(jià)披露、獲勝者身份披露這兩種策略以及序貫第二價(jià)格密封拍賣(mài)進(jìn)行了比較，旨在為拍賣(mài)人選擇最優(yōu)的拍賣(mài)方式、披露策略提供參考.進(jìn)一步，比較了兩場(chǎng)拍賣(mài)間的拍賣(mài)收益，能為拍賣(mài)人選擇最優(yōu)的拍賣(mài)時(shí)機(jī)提供一定的參考.

2　問(wèn)題描述與相關(guān)概念

假定兩個(gè)相同的物品擬通過(guò)兩場(chǎng)第一價(jià)格密封拍賣(mài)來(lái)售出，每場(chǎng)拍賣(mài)中售出1個(gè)物品.3個(gè)具有獨(dú)立私人價(jià)值的投標(biāo)人參與競(jìng)拍，且下述信息為共同知識(shí)：

1)投標(biāo)人對(duì)每個(gè)物品的價(jià)值v或?yàn)楦邇r(jià)值vH或?yàn)榈蛢r(jià)值vL1一方面，離散的價(jià)值類(lèi)型假定更貼合實(shí)際[14]；另一方面，當(dāng)投標(biāo)人價(jià)值類(lèi)型為連續(xù)型時(shí)，由于對(duì)稱(chēng)性，投標(biāo)人在第1場(chǎng)拍賣(mài)中采用的對(duì)稱(chēng)均衡報(bào)價(jià)為其價(jià)值的增函數(shù)，因此第1場(chǎng)拍賣(mài)結(jié)束后，報(bào)價(jià)排序的披露將使得投標(biāo)人的價(jià)值排序成為共同知識(shí)，從而根據(jù)Landsberger[15]的研究可直接求解排序披露策略下的報(bào)價(jià)均衡..不失一般性，設(shè)vH=1，vL=0.每個(gè)投標(biāo)人在拍賣(mài)前就知道自己的價(jià)值類(lèi)型，且其價(jià)值類(lèi)型在兩場(chǎng)拍賣(mài)中保持不變2實(shí)際拍賣(mài)數(shù)據(jù)表明，短期內(nèi)同質(zhì)物品的序貫拍賣(mài)中，投標(biāo)人價(jià)值的衰減速度較慢[16].；

2)投標(biāo)人事前對(duì)稱(chēng).每個(gè)投標(biāo)人為高價(jià)值類(lèi)型的概率為θ(0＜θ＜1)，為低價(jià)值類(lèi)型的概率為1-θ；

3)拍賣(mài)人與投標(biāo)人風(fēng)險(xiǎn)中立、均追求期望收益最大化.每場(chǎng)拍賣(mài)中，價(jià)值為v的投標(biāo)人以報(bào)價(jià)b勝出時(shí)的收益為v-b，未勝出時(shí)的收益為0；

4)兩場(chǎng)拍賣(mài)的公開(kāi)保留價(jià)均為vL=03拍賣(mài)人知道投標(biāo)人的最低價(jià)值后將其設(shè)為保留價(jià)，這個(gè)假定是合理的..第1場(chǎng)拍賣(mài)結(jié)束后，不披露具體報(bào)價(jià)只披露報(bào)價(jià)排序，報(bào)價(jià)最高者排在第1位且勝出，報(bào)價(jià)次高者排在第2位，以此類(lèi)推.在報(bào)價(jià)相同時(shí)，通過(guò)拋硬幣的方式來(lái)隨機(jī)決定排序；

5)投標(biāo)人具有單物品需求，第1場(chǎng)拍賣(mài)中排在第1位的投標(biāo)人勝出、支付自己的報(bào)價(jià)并退出拍賣(mài).

本文中投標(biāo)人知道對(duì)手的人數(shù)，但不知道對(duì)手的價(jià)值類(lèi)型.許多網(wǎng)上拍賣(mài)(如淘寶拍賣(mài))均符合這一特征.本文中假定采用的是序貫第一價(jià)格密封拍賣(mài)，因?yàn)樵谛蜇灥诙r(jià)格密封拍賣(mài)中探討信息披露效應(yīng)是無(wú)意義的.在序貫第二價(jià)格拍賣(mài)中，不論第1場(chǎng)拍賣(mài)結(jié)束后披露出何種信息，投標(biāo)人在第2場(chǎng)拍賣(mài)中都會(huì)報(bào)出自己的真實(shí)價(jià)值，而在第1場(chǎng)拍賣(mài)中投標(biāo)人的均衡報(bào)價(jià)為其價(jià)值減去其在第2場(chǎng)拍賣(mài)中的期望收益.因此可得，在序貫第二價(jià)格密封拍賣(mài)下，拍賣(mài)人在第1，2場(chǎng)拍賣(mài)中的期望收益分別為Φ1=3θ3-2θ4與Φ2=θ2.

下面介紹本文中涉及到的三個(gè)主要概念.

定義1設(shè)隨機(jī)變量X與Y的分布函數(shù)分別為F(·)與G(·).若對(duì)?x∈R，有F(x)≤G(x)，則稱(chēng)X是一階隨機(jī)占優(yōu)于Y.

當(dāng)X是一階隨機(jī)占優(yōu)于Y時(shí)，必有E[X]≥E[Y].

定義2若在信號(hào)博弈的均衡中，不同類(lèi)型的信號(hào)發(fā)送者選擇不同的信號(hào)，因而信號(hào)接收者可通過(guò)接收到的信號(hào)準(zhǔn)確判斷出發(fā)送者的類(lèi)型，這類(lèi)均衡稱(chēng)為分離均衡；若在均衡中，不同類(lèi)型的信號(hào)發(fā)送者都選擇相同的信號(hào)，這類(lèi)均衡稱(chēng)為混同均衡.

在保險(xiǎn)市場(chǎng)中，若保費(fèi)越高賠付率也越高，那么高風(fēng)險(xiǎn)人群將購(gòu)買(mǎi)高保費(fèi)高賠付的保單，而低風(fēng)險(xiǎn)人群將購(gòu)買(mǎi)低保費(fèi)低賠付的保單，這里實(shí)現(xiàn)的就是分離均衡.本文中，低價(jià)值投標(biāo)人的均衡報(bào)價(jià)為0，若高價(jià)值投標(biāo)人的均衡報(bào)價(jià)高于0，這類(lèi)均衡即是分離均衡；若高價(jià)值投標(biāo)人的均衡報(bào)價(jià)為0，這類(lèi)均衡則是混同均衡.

混合策略是參與人對(duì)其他參與人所采取的行動(dòng)具有不確定性時(shí)的一個(gè)理性對(duì)策.如在石頭-剪刀-布游戲中，為了不讓對(duì)手猜透自己的策略，參與人以各為1/3的概率隨機(jī)選擇出石頭、剪刀或布.

3　均衡分析

低價(jià)值投標(biāo)人的報(bào)價(jià)必為0，故只需分析高價(jià)值投標(biāo)人的報(bào)價(jià).兩物品的序貫拍賣(mài)是個(gè)典型的兩階段博弈，我們利用逆向歸納法先求解第2場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)均衡.由于勝者退出，第2場(chǎng)拍賣(mài)是兩個(gè)投標(biāo)人參與的單場(chǎng)拍賣(mài).引理1給出了這類(lèi)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)均衡.

由引理1知，第2場(chǎng)拍賣(mài)中兩個(gè)投標(biāo)人的報(bào)價(jià)均衡取決于投標(biāo)人的信念，而其信念又依賴(lài)于他們?cè)诘?場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)及信息披露策略.

定理1報(bào)價(jià)排序披露策略下，第1場(chǎng)拍賣(mài)中不存在混同均衡.

證明見(jiàn)附錄.

下面考慮分離均衡.可證得，第1場(chǎng)拍賣(mài)中不存在對(duì)稱(chēng)的純策略報(bào)價(jià)均衡.假設(shè)b為第1場(chǎng)拍賣(mài)中高價(jià)值投標(biāo)人的對(duì)稱(chēng)均衡報(bào)價(jià)，0＜b＜1.當(dāng)其他高價(jià)值投標(biāo)人在第1場(chǎng)拍賣(mài)中按照此對(duì)稱(chēng)均衡報(bào)價(jià)時(shí)，某個(gè)高價(jià)值投標(biāo)人遞交一個(gè)略高于b的報(bào)價(jià)便可將獲勝的概率從(1-θ)2+θ2/3+θ(1-θ)增大到1，因此偏離是有利的，這與b為均衡報(bào)價(jià)相矛盾.為了不讓對(duì)手預(yù)測(cè)到自己的報(bào)價(jià)，高價(jià)值投標(biāo)人采用混合策略，按照某分布在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)報(bào)價(jià)[17].報(bào)價(jià)下限必為無(wú)窮小的正數(shù).一方面/=0.因?yàn)閳?bào)價(jià)為0時(shí)高價(jià)值投標(biāo)人獲勝概率僅為(1-θ)2/3，而遞交一個(gè)略大于0的報(bào)價(jià)就能使得獲勝的概率增大為(1-θ)2.另一方面必?zé)o限接近0.因?yàn)楫?dāng)高價(jià)值投標(biāo)人遞交一個(gè)更低的報(bào)價(jià)p(0＜p＜)時(shí)，他獲勝的概率與報(bào)價(jià)為時(shí)的獲勝概率相同，但收益更高，故高價(jià)值投標(biāo)人可向下調(diào)整報(bào)價(jià)下限，直到無(wú)限接近0.設(shè)排序披露策略下，高價(jià)值投標(biāo)人在第1場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)分布為(b)，b∈(0].

3.1第2場(chǎng)拍賣(mài)的均衡分析

在第2場(chǎng)拍賣(mài)中，低價(jià)值投標(biāo)人報(bào)價(jià)為0，高價(jià)值投標(biāo)人根據(jù)自身在第1場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)、排序以及貝葉斯公式修正關(guān)于對(duì)手價(jià)值類(lèi)型的信念并調(diào)整報(bào)價(jià).記第1場(chǎng)拍賣(mài)中排在第2、3位的投標(biāo)人分別為S與T，他們?cè)诘?場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)分別為bS，bT，則bS≥bT.若T為高價(jià)值類(lèi)型，則T認(rèn)為對(duì)手S為高價(jià)值類(lèi)型的概率為β=1.若S為高價(jià)值類(lèi)型，則S認(rèn)為對(duì)手T為高價(jià)值類(lèi)型的概率為

其中vT為T(mén)的價(jià)值.顯然，α＜θ.

值得注意的是，因?yàn)橹慌冻鰣?bào)價(jià)排序信息而沒(méi)有披露具體的報(bào)價(jià)，所以S與T的信念α，β不再是共同知識(shí)而是他們各自的私人信念，這是報(bào)價(jià)排序披露策略的最大特點(diǎn).

定理2報(bào)價(jià)排序披露策略下，第2場(chǎng)拍賣(mài)的一個(gè)報(bào)價(jià)均衡如下：若為低價(jià)值類(lèi)型，投標(biāo)人報(bào)價(jià)為0；若為高價(jià)值類(lèi)型，投標(biāo)人T的報(bào)價(jià)與期望收益分別為

高價(jià)值投標(biāo)人S在區(qū)間(0，α]內(nèi)隨機(jī)報(bào)價(jià)，其報(bào)價(jià)分布與期望收益分別為

證明見(jiàn)附錄.

3.2第1場(chǎng)拍賣(mài)的均衡分析

投標(biāo)人在第1場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)不僅決定了自身在第1場(chǎng)拍賣(mài)中的勝負(fù)與收益，也決定著自身在第2場(chǎng)拍賣(mài)中的信息及期望收益.考慮到信息披露的影響，理性的投標(biāo)人在第1場(chǎng)拍賣(mài)中就會(huì)調(diào)整報(bào)價(jià)以最大化兩場(chǎng)拍賣(mài)中的總期望收益.

定理3報(bào)價(jià)排序披露策略下，第1場(chǎng)拍賣(mài)中存在分離均衡：若為低價(jià)值類(lèi)型，投標(biāo)人報(bào)價(jià)為0；若為高價(jià)值類(lèi)型，投標(biāo)人在區(qū)間(0]內(nèi)隨機(jī)報(bào)價(jià)，其均衡報(bào)價(jià)分布滿(mǎn)足下式4式(1)的解有兩支，選取上方那一支以確保(·)為分布函數(shù).，即

證明見(jiàn)附錄.

綜上所述，排序信息的披露將導(dǎo)致第2場(chǎng)拍賣(mài)中投標(biāo)人信息不對(duì)稱(chēng)，排在第3位的高價(jià)值投標(biāo)人可以獲取對(duì)手的完全信息，而排在第2位的投標(biāo)人S對(duì)對(duì)手的價(jià)值類(lèi)型仍具有不確定性，且S在第1場(chǎng)拍賣(mài)中報(bào)價(jià)越低，他在第2場(chǎng)拍賣(mài)中信息越明確.這會(huì)激勵(lì)著投標(biāo)人在第1場(chǎng)拍賣(mài)中降低報(bào)價(jià)，從而影響拍賣(mài)人的收益.為了進(jìn)一步分析報(bào)價(jià)排序信息的披露對(duì)拍賣(mài)人收益的影響程度并探討拍賣(mài)人最優(yōu)披露策略的選取，有必要將排序披露策略與其他披露策略進(jìn)行比較.

4　信息披露策略的比較

披露獲勝者身份與披露獲勝價(jià)是實(shí)際拍賣(mài)中常采用的兩種披露策略.獲勝者身份披露策略下，拍賣(mài)人只公布獲勝者身份、或私下告知每個(gè)投標(biāo)人是否勝出.而在獲勝價(jià)披露策略下，拍賣(mài)人只披露獲勝價(jià).本節(jié)將報(bào)價(jià)排序披露策略與獲勝價(jià)披露策略、獲勝者身份披露策略進(jìn)行了比較，并將這3種披露策略分別簡(jiǎn)記為r，w和c，并記披露策略s(s∈｛r，w，c｝)下拍賣(mài)人在第t(t=1，2)場(chǎng)拍賣(mài)中的期望收益為其中高價(jià)值投標(biāo)人在第1場(chǎng)拍賣(mài)中的策略性報(bào)價(jià)行為及其對(duì)拍賣(mài)人收益的影響是比較的重點(diǎn).

獲勝價(jià)披露策略下，第1場(chǎng)拍賣(mài)中獲勝價(jià)的披露不僅使獲勝者的價(jià)值類(lèi)型成為共同知識(shí)，也使第2場(chǎng)拍賣(mài)中投標(biāo)人的價(jià)值信念成為共同知識(shí).設(shè)披露獲勝價(jià)時(shí)，高價(jià)值投標(biāo)人在第1場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)分布為(b)，其中bw為第1場(chǎng)拍賣(mài)中的獲勝價(jià)，則第2場(chǎng)拍賣(mài)中投標(biāo)人認(rèn)為對(duì)手為高價(jià)值類(lèi)型的概率為顯然，θL＜θ.而在獲勝者身份披露策略下，第2場(chǎng)拍賣(mài)中的投標(biāo)人認(rèn)為對(duì)手為高價(jià)值類(lèi)型的概率仍為θ.根據(jù)引理1，易得下述引理.

引理2[10]獲勝價(jià)披露策略下，第1，2場(chǎng)拍賣(mài)中高價(jià)值投標(biāo)人的報(bào)價(jià)分布分別為

由引理2可得，獲勝價(jià)披露策略下拍賣(mài)人在第1，2場(chǎng)中的期望收益分別為

引理3[10]獲勝者身份披露策略下，第1，2場(chǎng)拍賣(mài)中高價(jià)值投標(biāo)人的報(bào)價(jià)分別為

由引理3得，獲勝者身份披露策略下拍賣(mài)人在第1，2場(chǎng)中的期望收益分別為

由此可得，獲勝者身份披露策略下的拍賣(mài)人收益與序貫第二價(jià)格密封拍賣(mài)中的拍賣(mài)人收益相同.

定理4第2場(chǎng)拍賣(mài)中，獲勝者身份披露策略下拍賣(mài)人期望收益最高，而高價(jià)值投標(biāo)人期望收益最低.

證明見(jiàn)附錄.

定理4成立的一個(gè)直觀原因在于第2場(chǎng)拍賣(mài)中投標(biāo)人關(guān)于對(duì)手價(jià)值類(lèi)型信念的差異.披露獲勝者身份后，投標(biāo)人認(rèn)為對(duì)手為高價(jià)值類(lèi)型的概率仍為θ；而披露獲勝價(jià)后，投標(biāo)人認(rèn)為對(duì)手為高價(jià)值類(lèi)型的概率下降為θL，披露報(bào)價(jià)排序后，排在第2位的投標(biāo)人S認(rèn)為對(duì)手T為高價(jià)值類(lèi)型的概率下降為α.故與披露獲勝者身份相比，披露獲勝價(jià)或披露報(bào)價(jià)排序后，投標(biāo)人認(rèn)為第2場(chǎng)拍賣(mài)中的對(duì)手更弱，因此報(bào)價(jià)更低.披露報(bào)價(jià)排序時(shí)，雖然排在第3位的投標(biāo)人T認(rèn)為對(duì)手S為高價(jià)值類(lèi)型的概率上升到1，但是預(yù)期到S樂(lè)觀的信念后T也會(huì)降低報(bào)價(jià).因而，披露獲勝者身份時(shí)，投標(biāo)人報(bào)價(jià)最高從而拍賣(mài)人收益也最高.

下面比較第1場(chǎng)拍賣(mài)中高價(jià)值投標(biāo)人的報(bào)價(jià).分別取θ=0.3，0.5，0.7，0.9，通過(guò)數(shù)值模擬繪圖(圖1)發(fā)現(xiàn)定理5證明了對(duì)?θ∈(0，1)，都有成立.

定理5對(duì)?θ∈(0，1)，高價(jià)值投標(biāo)人在第1場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)分布均滿(mǎn)足

證明見(jiàn)附錄.

結(jié)合定義1知，披露獲勝者身份時(shí)高價(jià)值投標(biāo)人在第1場(chǎng)拍賣(mài)中的平均報(bào)價(jià)最高，而披露報(bào)價(jià)排序時(shí)平均報(bào)價(jià)最低.其原因在于獲勝價(jià)或排序信息的披露為投標(biāo)人提供了降低報(bào)價(jià)的激勵(lì)：其一，由于第1場(chǎng)拍賣(mài)中的獲勝者將退出第2場(chǎng)拍賣(mài)，因此在制定第1場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)策略時(shí)，投標(biāo)人必然會(huì)考慮到贏得第1場(chǎng)拍賣(mài)的機(jī)會(huì)成本(即退出第2場(chǎng)拍賣(mài)后，無(wú)法在第2場(chǎng)拍賣(mài)中獲得的期望收益).由定理4知，披露獲勝價(jià)或排序信息時(shí)，這種機(jī)會(huì)成本要高于披露獲勝者身份時(shí)的機(jī)會(huì)成本，因此獲勝價(jià)或排序披露策略下，高價(jià)值投標(biāo)人將降低第1場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)；其二，披露獲勝價(jià)時(shí)，高價(jià)值投標(biāo)人在第2場(chǎng)拍賣(mài)中的期望收益是第1場(chǎng)拍賣(mài)的獲勝價(jià)的減函數(shù)，這也激勵(lì)著投標(biāo)人在第1場(chǎng)拍賣(mài)中降低報(bào)價(jià)；而在排序披露策略下，這種激勵(lì)被進(jìn)一步擴(kuò)大，因?yàn)橛啥ɡ?知，高價(jià)值投標(biāo)人在第2場(chǎng)拍賣(mài)中的期望收益是第1場(chǎng)拍賣(mài)中自身報(bào)價(jià)而非獲勝價(jià)的減函數(shù)；其三，披露獲勝價(jià)時(shí)，第1場(chǎng)拍賣(mài)中的獲勝價(jià)越低，第2場(chǎng)拍賣(mài)中投標(biāo)人信息越明確；而在排序披露策略下，投標(biāo)人在第2場(chǎng)拍賣(mài)中的信息取直接決于自身在第1場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)，第1場(chǎng)拍賣(mài)中排在第3位的高價(jià)值投標(biāo)人具有信息優(yōu)勢(shì)、能確切知道對(duì)手的價(jià)值類(lèi)型.而第1場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)越低，排在第2位的投標(biāo)人在第2場(chǎng)拍賣(mài)中的信息越明確，這鼓勵(lì)著投標(biāo)人通過(guò)降低第1場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)去獲取第2場(chǎng)拍賣(mài)中的信息優(yōu)勢(shì).而獲勝者身份披露策略下，投標(biāo)人無(wú)法通過(guò)第1場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)影響第2場(chǎng)拍賣(mài)中的信息與期望收益因而阻斷了投標(biāo)人的策略性信息獲取行為.因此，在第1場(chǎng)拍賣(mài)中，披露獲勝者身份時(shí)高價(jià)值投標(biāo)人報(bào)價(jià)最高，披露報(bào)價(jià)排序時(shí)投標(biāo)人降低報(bào)價(jià)的激勵(lì)最大，從而報(bào)價(jià)最低.由此可得，獲勝者身份披露策略對(duì)拍賣(mài)人最有利.

圖1　3種披露策略下高價(jià)值投標(biāo)人在第1場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)分布Fig.1 The bidding distributions of high-value bidders in the 1st auction under three information revelation policies

定理6第1場(chǎng)拍賣(mài)中，披露獲勝者身份時(shí)拍賣(mài)人的期望收益最高，而披露報(bào)價(jià)排序時(shí)拍賣(mài)人的期望收益最低.

結(jié)合定理4、定理6可知，在這種重復(fù)競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下，披露獲勝者身份對(duì)兩場(chǎng)拍賣(mài)中的拍賣(mài)人均是最優(yōu)的.

在實(shí)際的序貫拍賣(mài)中，每場(chǎng)拍賣(mài)的拍賣(mài)人可能不是同一人.第1場(chǎng)拍賣(mài)中拍賣(mài)人披露策略的選擇不僅影響著自身的收益也影響著后續(xù)拍賣(mài)人的收益，那么不同拍賣(mài)人的收益間是否存在差異呢？為此，本文對(duì)獲勝價(jià)披露策略與獲勝者身份披露策略下兩場(chǎng)拍賣(mài)中的拍賣(mài)人收益進(jìn)行了比較.記?s為披露策略s(s∈｛c，w｝)下兩場(chǎng)拍賣(mài)中拍賣(mài)人的收益差，則

因此可得，獲勝價(jià)披露策略下，拍賣(mài)人收益具有鞅性質(zhì)，兩場(chǎng)拍賣(mài)中的拍賣(mài)人收益無(wú)差異.而獲勝者身份披露策略下，當(dāng)θ＜0.5時(shí)，第1場(chǎng)拍賣(mài)的拍賣(mài)人收益低于第2場(chǎng)拍賣(mài)中的拍賣(mài)人收益且θ=0.3時(shí)兩者收益差最大；而θ＞0.5，第1場(chǎng)拍賣(mài)中的拍賣(mài)人收益高于第2場(chǎng)拍賣(mài)中的拍賣(mài)人收益且θ=0.82時(shí)兩者收益差最大.

5　結(jié)束語(yǔ)

本文研究了序貫拍賣(mài)中兩場(chǎng)拍賣(mài)間報(bào)價(jià)排序信息的披露對(duì)投標(biāo)人報(bào)價(jià)以及拍賣(mài)人收益的影響，進(jìn)而探討了獲勝信息的最優(yōu)披露策略，得到了以下結(jié)論.首先，獲勝者身份披露策略與第二價(jià)格密封拍賣(mài)機(jī)制均能阻斷投標(biāo)人在兩場(chǎng)拍賣(mài)間的策略性信息行為，對(duì)兩場(chǎng)拍賣(mài)中的拍賣(mài)人都是最有利的.其次，在序貫拍賣(mài)中后續(xù)拍賣(mài)人的收益受到前期拍賣(mài)披露策略的影響.當(dāng)前期拍賣(mài)采取了非最優(yōu)的披露策略時(shí)，后續(xù)拍賣(mài)人可通過(guò)選擇第二價(jià)格拍賣(mài)來(lái)消除前期披露出的信息的影響，增加自身的收益.最后，當(dāng)拍賣(mài)人之間存在競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，拍賣(mài)人何時(shí)進(jìn)入拍賣(mài)市場(chǎng)最有利依賴(lài)于拍賣(mài)形式、獲勝信息的披露策略以及市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)強(qiáng)度.這些結(jié)論能為拍賣(mài)人的拍賣(mài)方式、信息披露策略以及交易時(shí)機(jī)的選取提供一定的實(shí)用性建議.

本文假定只有3個(gè)投標(biāo)人，基于本文的分析可知，當(dāng)投標(biāo)人超過(guò)3人時(shí)相關(guān)結(jié)論也成立.理論研究中，投標(biāo)人被假定為完全理性、能夠從披露出的信息中修正獲取對(duì)手的信息，而在實(shí)際中完全理性的要求過(guò)高，導(dǎo)致理論結(jié)論與實(shí)際情況通常存在一定的偏差.今后的工作是通過(guò)開(kāi)展行為實(shí)驗(yàn)去探索不同披露策略下實(shí)際投標(biāo)人的報(bào)價(jià)特征，檢驗(yàn)本文的結(jié)論.

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附錄

定理1的證明

定理2的證明

證明均衡是參與人的一種策略組合，使得每個(gè)參與人的策略是對(duì)其他參與人策略的最優(yōu)反應(yīng).

因此

由式(7)可得，當(dāng)w∈(0，α]時(shí)，S在第2場(chǎng)拍賣(mài)中的期望收益與w無(wú)關(guān)，只依賴(lài)于S在第1場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)bS，因此S可在(0，α]內(nèi)隨機(jī)報(bào)價(jià).

定理3的證明

證明1)以高價(jià)值投標(biāo)人A為例.設(shè)A在第1場(chǎng)拍賣(mài)中的報(bào)價(jià)為b.A在第1場(chǎng)拍賣(mài)中能排在第1位當(dāng)且僅當(dāng)其對(duì)手要么是低價(jià)值投標(biāo)人，要么是報(bào)價(jià)低于b的高價(jià)值投標(biāo)人，因此A能排在第1位勝出的概率為，其收益為1-b.A能排在第2位當(dāng)且僅當(dāng)其中一位對(duì)手為報(bào)價(jià)高于b的高價(jià)值投標(biāo)人，而另一位對(duì)手要么是低價(jià)值投標(biāo)人、要么是報(bào)價(jià)低于b的高價(jià)值投標(biāo)人，因此A排在第2位的概率為，此時(shí)A在第2場(chǎng)拍賣(mài)中的期望收益為A能排在第3位當(dāng)且僅當(dāng)兩位對(duì)手均為報(bào)價(jià)高于b的高價(jià)值投標(biāo)人，因此他排在第3位的概率，此時(shí)A在第2場(chǎng)拍賣(mài)時(shí)的期望收益為

因此當(dāng)A在第1場(chǎng)拍賣(mài)中報(bào)價(jià)為b時(shí)，A在兩場(chǎng)拍賣(mài)中的總期望收益為

因?yàn)锳在第1場(chǎng)拍賣(mài)中采用混合策略，因此報(bào)價(jià)為(0，ā]內(nèi)的任一值時(shí)的期望收益應(yīng)相等.由此可得

2)上述分析中先假定第1場(chǎng)拍賣(mài)存在分離均衡，后求解高價(jià)值投標(biāo)人的報(bào)價(jià)分布下證的確為分離均衡.

若p＜θ，則A在第2場(chǎng)拍賣(mài)中的期望收益為

因此當(dāng)在第1場(chǎng)拍賣(mài)中偏離分離均衡、報(bào)價(jià)為0時(shí)，A在兩場(chǎng)拍賣(mài)中的總期望收益為

定理4的證明

證明由定理2、引理2以及引理3知，獲勝者身份與獲勝價(jià)披露策略下高價(jià)值投標(biāo)人在第2場(chǎng)拍賣(mài)中的期望收益分別為而排序披露策略下第1場(chǎng)拍賣(mài)中排在第二、三位的買(mǎi)者在第2場(chǎng)拍賣(mài)中的期望收益分別為

在第2場(chǎng)拍賣(mài)中，若所有投標(biāo)人都是低價(jià)值類(lèi)型，則拍賣(mài)人收益為0；若存在一個(gè)高價(jià)值投標(biāo)人，則三種披露策略下都是高價(jià)值投標(biāo)人獲勝，此時(shí)拍賣(mài)人與投標(biāo)人期望收益之和為1.由此可得，高價(jià)值投標(biāo)人收益越高，則拍賣(mài)人的期望收益越低.因此，獲勝者身份披露策略下，拍賣(mài)人在第2場(chǎng)拍賣(mài)中的期望收益最高.證畢.

定理5的證明

若b＞θ2，則因此成立.

將式(1)變形可得

式(9)減去式(10)得

結(jié)合-式(11)可得，若b∈(0，θ2+θ(1-θ)ln(1-θ)]，則若因此，

Study of bids’ordinal ranks information disclosure in sequential auctions

Hu Erqin1，2，Zhao Yong1，Chen Ying3
(1.Institute of Systems Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China；2.School of Science，Hubei University of Technology，Wuhan 430068，China；3.School of Economics，Shenzhen University，Shenzhen 518060，China)

This paper explores the impacts of revealing bids’ordinal ranks between auctions on the bidders’bids and the auctioneers’revenues.Firstly，based on game theory，bidders’bidding strategies under rank revelation policies are analyzed.Then，rank revelation policies are compared with the winner’s identity revelation policies and the winning price revelation policies from the perspective of both bidders’bids and the auctioneers’revenues.Finally，the auctioneers’revenues in two auctions are compared under each revelation policies. The results show that it is most favorable for auctioneers to reveal only the winner’s identity.Under rank revelation policies，the bidders lower their first-stage bids to exchange for second-stage information advantage.As a result，the auctioneers gain the lowest revenues.

sequential auctions；disclosure strategy；bids’ordinal ranks；revenues comparison

F062.5

A

1000-5781(2016)03-0317-11

10.13383/j.cnki.jse.2016.03.004

胡二琴(1980-)，女，湖北黃岡人，博士生，講師，研究方向：拍賣(mài)機(jī)制設(shè)計(jì)與博弈論，Email：hutu1980336@163.com；

趙勇(1967-)，男，湖北天門(mén)人，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：決策分析，Email：zhiwei98530@sohu.com；

陳瑩(1980-)，女，廣東湛江人，博士，講師，研究方向：資產(chǎn)定價(jià)，行為金融，Email：cying@szu.edu.cn.

2014-05-07；

2015-12-27.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61273206；71201064)；湖北省教育廳科研基金資助項(xiàng)目(Q20131405).