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      基數(shù)意義下自然數(shù)的運(yùn)算(一)

      2016-10-13 06:35:46張新春
      湖南教育 2016年27期
      關(guān)鍵詞:空集結(jié)合律交換律

      張新春

      基數(shù)意義下自然數(shù)的運(yùn)算(一)

      張新春

      基數(shù)意義下的自然數(shù)的運(yùn)算是通過集合的運(yùn)算來定義的,因此,我們先簡(jiǎn)單介紹一下集合的運(yùn)算。

      (1)設(shè)給定的集合A和B,由至少屬于集合A或者集合B之一的元素組成的集合,叫做A與B的并集。記作A∪B。

      (2)設(shè)給定的集合A和B,由集合A和集合B的所有共同元素組成的集合,叫做A與B的交集。記作A∩B。

      “交”與“并”是集合間兩種基本的運(yùn)算,它們都滿足交換律與結(jié)合律,即:

      A∪B=B∪A

      A∩B=B∩A

      (A∪B)∪C=A∪(B∪C)

      (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

      這些集合的運(yùn)算律都是可以證明的。我們以證明A∪B=B∪A為例。

      我們知道A∪B和B∪A都是集合。元素x是A∪B的元素(通常記作:x∈A∪B)指的是x是A的元素或者x是B的元素(也就是x∈A或x∈B)。為了證明A∪B和B∪A這兩個(gè)集合相等,我們通常用這樣的思路:證明集合A∪B的每一個(gè)元素都在集合B∪A中,同時(shí),集合B∪A的每一個(gè)元素都在集合A∪B中。

      設(shè)x∈A∪B,則有x∈A或x∈B。(并集的定義)

      于是x∈B或x∈A。1

      從而x∈B∪A(并集的定義)

      以上即證明了A∪B的任意一個(gè)元素都是B∪A的元素。

      (你可能覺得很無聊,不就是把“或”字兩邊的內(nèi)容換一下位置嗎?的確是這樣,可數(shù)學(xué)有時(shí)候就是這樣的:定義是嚴(yán)格的,判斷需要根據(jù)定義并按照邏輯規(guī)則做出。根據(jù)定義,x∈A∪B是指x∈A或x∈B,x∈B∪A指的就是x∈B或x∈A,而“x∈A或x∈B”與“x∈B或x∈A”是一個(gè)意思,則正是我們所做的推理(使用了數(shù)理邏輯命題演算的公理進(jìn)行推理)。數(shù)學(xué)推理的最開始幾步往往看起來就是這樣簡(jiǎn)單,簡(jiǎn)單得甚至有點(diǎn)讓人覺得不可思議,或者讓人覺得多此一舉。當(dāng)你覺得某一步推理簡(jiǎn)單得不可思議時(shí),你應(yīng)該提醒提醒自己,當(dāng)前要證明的這個(gè)結(jié)論,只能根據(jù)已有的定義、被假設(shè)為正確的公理、已經(jīng)被證明了的結(jié)論以及基本的邏輯規(guī)則來證明,而不能是想當(dāng)然,也不能依靠直觀圖形(直觀圖形只能幫助我們理解,不能代替證明)。于是,你就應(yīng)該追問:為了證明這個(gè)結(jié)論,我已知一些什么,我有些什么工具可以利用?當(dāng)你發(fā)現(xiàn)其實(shí)此時(shí)你可用的工具非常之少、少得不可思議時(shí),你就會(huì)覺得那個(gè)剛才還看起來不可思議的證明其實(shí)非常精巧。歐幾里得從幾個(gè)定義、幾條公理和公設(shè)出發(fā),推導(dǎo)出歐氏幾何的參天大樹,其最初幾步就是這么精巧。)

      完全類似的,可以證明B∪A中的任一元素都是A∪B的元素,于是A∪B=B∪A。

      下面我們要利用集合的并來定義加法。

      我們知道,集合A∪B的基數(shù)并不等于集合A的基數(shù)與集合B的基數(shù)之和(回憶一下,所謂基數(shù)就是指一類互相等價(jià)的集合的標(biāo)志。說得這樣繞是為了數(shù)學(xué)定義的需要。數(shù)學(xué)中的新概念通常只能用已經(jīng)被定義了的概念來定義。如果允許我們?cè)谶€沒有定義自然數(shù)時(shí)就使用“個(gè)數(shù)”這樣的概念,我們一定會(huì)把這句話說成“所謂一個(gè)集合的基數(shù)就是這個(gè)集合中元素的個(gè)數(shù)”)。事實(shí)上,如果我們用|A|表示集合A的基數(shù),則有:

      |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

      這是所謂的容斥原理,人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的“數(shù)學(xué)廣角”中有這樣的內(nèi)容。

      這說明,我們不能簡(jiǎn)單地用兩個(gè)集合的并來定義加法。我們討論一種特殊情況,即兩個(gè)集合沒有共同元素的情況。

      定義:若自然數(shù)a,b,c分別是集合A,B,C的基數(shù),而A與B沒有公共元素(即集合A∩B是空集),且A∪B=C,則把c叫做a與b的和,記作c=a+b。而求自然數(shù)a與b的和的運(yùn)算,就叫做加法,a和b都叫做加數(shù)。

      從以上的定義可以看出,加法是以兩個(gè)不相交的集合的并為基礎(chǔ)定義的。兒童用掰手指的辦法計(jì)算加法,其實(shí)就體現(xiàn)了這種定義加法的方式:比如計(jì)算4+5,先數(shù)出4個(gè)手指,再數(shù)出5個(gè)手指,然后一起數(shù)這些手指的個(gè)數(shù),就得到4+5的和。

      接下來討論加法的性質(zhì),此時(shí),討論的依據(jù)只有加法的定義和前面討論過的集合的相關(guān)性質(zhì)。

      加法交換律:a+b=b+a。

      我們要證明加法的交換律。就像以前討論的,此時(shí)的依據(jù)只有加法的定義與集合的性質(zhì)。

      按加法的定義,所謂a+b,指的是一個(gè)基數(shù)為a的集合A與一個(gè)基數(shù)為b的集合B的并(A∪B)的基數(shù)。當(dāng)然,要求A∩B是空集。而b+a則指的是一個(gè)基數(shù)為b的集合B與一個(gè)基數(shù)為a的集合A的并(B∪A)的基數(shù)。當(dāng)然,也要求B∩A是空集。簡(jiǎn)單地說,a+b是A∪B的基數(shù),b+a是B∪A的基數(shù)。由于集合的并滿足交換律,即有A∪B=B∪A,而相同的集合具有相同的基數(shù),于是a+b=b+a。

      同樣,由于集合的并滿足結(jié)合律,即(A∪B)∪C= A∪(B∪C),從而有:

      加法的結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

      值得注意的是,按上面的方式定義了加法,并討論了加法的交換律之后,我們尚且不知道a+b+c是什么意思(別覺得奇怪,想想,加法定義不是只定義了a+b這樣兩個(gè)相加的情況嗎?或者說,按我們的定義,所謂加法,就是指兩個(gè)數(shù)相加,a+b+c還沒有什么意義)。我們想賦予a+b+c以意義,必須把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)數(shù)相加的情況,于是至少有兩種方式,一是規(guī)定a+b+c=(a+b)+c,即先把前兩個(gè)數(shù)相加,再加上第三個(gè)數(shù);二是規(guī)定a+b+c=a+(b+c),而加法結(jié)合律則正好告訴我們:不管采用這兩種規(guī)定中的哪一種,最后的和都是一樣的。于是,我們就規(guī)定a+b+c=(a+b)+c。

      1這里使用了邏輯推理的法則:“x∈A或x∈B”與“x∈B或x∈A”等價(jià)。這個(gè)推理法則是數(shù)理邏輯命題演算的公理??蓞⒁娪嘘P(guān)數(shù)理邏輯書籍。

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