張新春

基數(shù)意義下自然數(shù)的運(yùn)算（二）

張新春

現(xiàn)在小結(jié)一下，從加法的定義出發(fā)，我們已經(jīng)知道了加法的兩個(gè)性質(zhì)：交換律與結(jié)合律。關(guān)于加法的所有規(guī)律，都可以由此開(kāi)始通過(guò)邏輯推理而獲得，下面舉一例。

證明：a+b+c=a+c+b。

讀者也許會(huì)說(shuō)，這不就是加法交換律嗎？只是把c與b的順序交換一下啊。事實(shí)上不是這樣的。按定義，a+b+c是（a+b）+c，而a+c+b=（a+c）+b，b與c根本不直接相加，無(wú)所謂交換。下面即是這個(gè)等式的證明（在閱讀這個(gè)證明之前，再次提醒讀者注意，我們能用來(lái)作證明依據(jù)的只有幾個(gè)定義和交換律與結(jié)合律而沒(méi)有別的）。

證：a+b+c=（a+b）+c（三個(gè)數(shù)相加的定義）

=a+（b+c）（加法結(jié)合律）

=a+（c+b）（加法交換律）

=（a+c）+b（加法結(jié)合律）

=a+c+b（三個(gè)數(shù)相加的定義）

這個(gè)證明說(shuō)明，a+b+c=a+c+b成立的原因不僅有交換律，還有結(jié)合律。若加法不滿足結(jié)合律，只滿足交換律，我們是無(wú)法得到a+b+c=a+c+b的。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，我們?cè)僮饕稽c(diǎn)討論。以下將對(duì)運(yùn)算的意義作些拓展，并構(gòu)造出一個(gè)只滿足交換律而不滿足結(jié)合律的運(yùn)算。這些討論屬于近世代數(shù)（也稱抽象代數(shù)）的范疇。

我們通常的計(jì)算對(duì)象是數(shù)，計(jì)算的方法是加、減、乘、除。但隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)步，人們發(fā)現(xiàn)，對(duì)很多不是數(shù)的對(duì)象，同樣可以進(jìn)行類似普通計(jì)算方法的計(jì)算。這樣，我們可以把運(yùn)算的定義進(jìn)行一般化。所謂一般的運(yùn)算，涉及三個(gè)集合，不妨記為A，B，C。對(duì)A中的任意一個(gè)元素a和B中的任意一個(gè)元素b組成的元素對(duì)（a，b），我們?cè)贑中確定一個(gè)唯一的元素c與之對(duì)應(yīng)。我們就說(shuō)是對(duì)a和b進(jìn)行運(yùn)算，結(jié)果是c。

比如設(shè)A=｛藍(lán)，紅｝，B=｛黃｝，C=｛綠，橙｝，我們規(guī)定：

（藍(lán)，黃）→綠

（紅，黃）→橙

這就是一個(gè)運(yùn)算。

運(yùn)算有時(shí)也可用一個(gè)表來(lái)表示，如：

更多時(shí)候，我們研究的運(yùn)算中A，B，C是同一個(gè)集合。比如自然數(shù)內(nèi)的加法，就是為兩個(gè)自然數(shù)找一個(gè)像，這個(gè)像叫做這兩個(gè)自然數(shù)的和。

我們來(lái)考慮熟悉的“石頭、剪刀、布”游戲。分別用a，b，c表示“石頭”、“剪刀”和“布”，于是有a勝b，b勝c，c勝a。

我們規(guī)定a和b運(yùn)算的結(jié)果就是它們之間的勝者。同時(shí)規(guī)定a和自己運(yùn)算，還得自己。按這樣的規(guī)則，我們就規(guī)定了集合A=｛a，b，c｝內(nèi)的一個(gè)運(yùn)算，并約定把這個(gè)運(yùn)算記為^，如下表所示：

顯然這個(gè)運(yùn)算滿足交換律。

同時(shí)，我們不難發(fā)現(xiàn)，運(yùn)算^并不滿足結(jié)合律。比如（a^b）^c=a^c=c，而a^（b^c）=a^b=a，即有（a^b）^c≠a^（b^c），從而^不滿足結(jié)合律。我們第一次看到了一個(gè)只滿足交換律但不滿足結(jié)合律的例子。

此時(shí)，a^b^c=a^c=c，而a^c^b=c^b=b，

從而，a^b^c≠a^c^b。

于是，我們知道，a^b^c=a^c^b的獲得，不僅要求運(yùn)算^滿足交換律，還要求運(yùn)算^滿足結(jié)合律。

當(dāng)然，在具體教學(xué)中，我們不可能要求小學(xué)生這么透徹地理解。但作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該理解，同時(shí)，也應(yīng)避免讓學(xué)生判斷31+67+19=31+19+67應(yīng)用了什么運(yùn)算定律。因?yàn)閷W(xué)生往往會(huì)認(rèn)為只運(yùn)用了交換律，而教師一時(shí)也無(wú)法跟學(xué)生講清楚（事實(shí)上，這道題即取自人教版四年級(jí)下冊(cè)教材，而教學(xué)參考書(shū)中提供的答案正是運(yùn)用了加法交換律）。我們對(duì)以下的一個(gè)例題（人教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)下冊(cè)）持保留意見(jiàn)。

事實(shí)上，這里讓學(xué)生填寫用了“加法律”是不合適的。以下一段來(lái)源于人教版四年級(jí)下冊(cè)教學(xué)參考書(shū)。

應(yīng)當(dāng)指出的是，在例3的計(jì)算過(guò)程中：

115+132+118+85=115+85+132+118

把85移到132的前面，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，不僅用到了加法的交換律，還用到了加法的結(jié)合律。因?yàn)檫@里之所以能把132+118看作一個(gè)整體，之所以能在計(jì)算前就先把85與（132+118）交換，都是因?yàn)橛屑臃ńY(jié)合律作保證。即：

115+132+118+85

=115+［（132+118）+85］←加法結(jié)合律（用了兩次）

=115+［85+（132+118）］←加法交換律

=（115+85）+（132+118）←加法結(jié)合律

但考慮到小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，只要學(xué)生說(shuō)出第一步運(yùn)用了加法的交換律把85交換到132的前面，第二步運(yùn)用了加法的結(jié)合律把115與85、132與118結(jié)合起來(lái)先相加就行了。有些學(xué)生常常會(huì)省略一些過(guò)程，如

115+132+118+85

=（115+85）+（132+118）

或者

115+132+118+85

=200+250

教師都應(yīng)該給予肯定。

教學(xué)參考書(shū)上這一段有合理的地方：對(duì)每一步運(yùn)算使用了什么運(yùn)算定律的解釋是正確的。但我們認(rèn)為，既然由于認(rèn)知特點(diǎn)的原因，學(xué)生尚不能對(duì)所用運(yùn)算定律進(jìn)行準(zhǔn)確的描述，也無(wú)法理解這種形式運(yùn)算，那么我們要求學(xué)生判斷115+132+118+85= 115+85+132+118這個(gè)運(yùn)算過(guò)程中使用了何種運(yùn)算定律就很不恰當(dāng)。實(shí)際上，教學(xué)參考書(shū)上說(shuō)“只要學(xué)生說(shuō)出第一步運(yùn)用了加法的交換律把85交換到132的前面”，這里所描述的說(shuō)法恰好是對(duì)交換律的誤解，交換律不是這么回事。滿足于這樣的錯(cuò)誤說(shuō)法（不是不嚴(yán)格的說(shuō)法，而是完全錯(cuò)誤的說(shuō)法）是不恰當(dāng)?shù)?。比較恰當(dāng)?shù)淖龇ㄊ牵簩W(xué)生理解了交換律與結(jié)合律后，教師作出概括：根據(jù)加法的交換律與結(jié)合律，在做連加運(yùn)算時(shí)，加數(shù)的順序與加的順序都可以是任意的。即先加哪幾個(gè)，再加哪幾個(gè)完全是任意的。不再追究每一步到底運(yùn)用了什么運(yùn)算定律（或籠統(tǒng)地說(shuō)成是運(yùn)用加法交換律與結(jié)合律）。同時(shí)指出，這個(gè)結(jié)論以后是可以證明的。事實(shí)上，按3個(gè)數(shù)相加的定義的方式，我們可以定義出4個(gè)數(shù)、5個(gè)數(shù)，繼而定義出任意多個(gè)數(shù)相加了。并且，由于加法有交換律、結(jié)合律，我們可以任意交換加數(shù)的位置（這一點(diǎn)是可以證明的，依據(jù)是加法交換律、結(jié)合律再加上數(shù)學(xué)歸納法原理，詳細(xì)證明這里從略）。