律和加法、乘法結(jié)合律的編排順序各不相同。推理路徑一般為“舊知引入→發(fā)現(xiàn)共性→舉例驗(yàn)證→總結(jié)規(guī)律→具體應(yīng)用”，在引入環(huán)節(jié)有解決問題和直接計(jì)算兩種方式。此外，北師大版教材在總結(jié)規(guī)律之后，還特別新增了事例解釋環(huán)節(jié)。在溝通運(yùn)算律與計(jì)算之間的聯(lián)系上，北師大版教材和人教版教材都把結(jié)合律與驗(yàn)算、乘法分配律與乘法豎式聯(lián)系起來。五個(gè)版本教材都沒有涉及結(jié)合律的聯(lián)系感知。2.學(xué)生學(xué)情調(diào)查為了準(zhǔn)確把握教學(xué)起點(diǎn)，厘清教學(xué)順序，筆者對(duì)本校三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行前測(cè)。前測(cè)情況如下。（1）“解決

曾良如《乘法結(jié)合律》是人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《運(yùn)算律》單元中的重點(diǎn)內(nèi)容，建立在學(xué)生學(xué)習(xí)了兩位數(shù)的乘法、加法結(jié)合律、乘法交換律的基礎(chǔ)上。本節(jié)課的難點(diǎn)是讓學(xué)生在情境中自主探究乘法結(jié)合律的模型，逐步感知計(jì)算中的“特殊現(xiàn)象”，發(fā)展觀察、推理、歸納、運(yùn)用等能力。一、不思則罔，錨定課堂困惑實(shí)際教學(xué)中，教師容易輕視這節(jié)課的教學(xué)難度，認(rèn)為這節(jié)課只是在連乘計(jì)算中改變運(yùn)算順序，不存在“技術(shù)門檻”，于是先借助例題，對(duì)比呈現(xiàn)按順序計(jì)算和運(yùn)用乘法結(jié)合律計(jì)算兩種解法，由此引出乘法結(jié)合

法交換律，加法結(jié)合律，乘法結(jié)合律，乘法分配律和練習(xí)四?？v觀8課時(shí)，無非2個(gè)板塊，一個(gè)是關(guān)于四則混合運(yùn)算和中括號(hào)；一個(gè)是關(guān)于運(yùn)算律意義及應(yīng)用。由此可見，對(duì)于混合運(yùn)算板塊學(xué)生有豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，而對(duì)于運(yùn)算律板塊學(xué)生第一次正式學(xué)習(xí)。二、學(xué)生立場(chǎng)：有哪些學(xué)習(xí)節(jié)點(diǎn)（一）學(xué)情分析在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)混合運(yùn)算掌握較好，兩步混合運(yùn)算順序和法則可以直接遷移到三步混合運(yùn)算。而運(yùn)算律這塊，學(xué)生出現(xiàn)問題較多，掌握不扎實(shí)。學(xué)生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤主要有：錯(cuò)例A：錯(cuò)因分析：不能湊整的算成

學(xué)生能根據(jù)乘法結(jié)合律，把2022 個(gè)2 和2022 個(gè)5進(jìn)行結(jié)合，是乘法結(jié)合律的拓展應(yīng)用。3.學(xué)情分析對(duì)鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)42 名學(xué)生進(jìn)行了后測(cè)，發(fā)現(xiàn)集中分為了兩個(gè)水平層次：第一個(gè)水平層次是把2022 個(gè)2 和2022 個(gè)5 相乘理解為相加，得出算式是（2022×2）×（2022×5），積的末尾有1 個(gè)連續(xù)的0，占比為52.4%。第二個(gè)水平層次就是完全看懂題意，能根據(jù)2×5=10 這個(gè)組塊，知道一個(gè)2 和5 相乘得到1 個(gè)10，所以2022 個(gè)2 相乘與2022 個(gè)

法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律，以及乘法分配律，當(dāng)然連減的性質(zhì)、連除的性質(zhì)也可以幫助我們實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)便計(jì)算。面對(duì)變化多樣的算式，究竟選擇哪種運(yùn)算律呢？小朋友，觀察那些能簡(jiǎn)便計(jì)算的算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，在簡(jiǎn)算過程中，我們經(jīng)常要先算出100。下面我們不妨借助思維導(dǎo)圖（見第14頁圖1），從100想起。圖1 如何通過加法計(jì)算出100呢？你能編一道通過加法交換律或加法結(jié)合律實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)便計(jì)算的算式嗎？請(qǐng)看思維導(dǎo)圖第一分支。加法交換律：39＋78＋61，我們通常按照四則運(yùn)

，我們把它叫作結(jié)合律。相加時(shí)叫加法結(jié)合律，相乘時(shí)叫乘法結(jié)合率。今天這堂課我們研究的就是交換律和結(jié)合律。三、事例解釋，深化內(nèi)涵師：剛才我們用舉例子的方法歸納總結(jié)了交換律和結(jié)合律，那它們?yōu)槭裁词浅闪⒌哪兀浚ㄕn件出示生活中的事例）你可以結(jié)合上面的例子或身邊的事例，嘗試解釋下面的算式。生：3+5 是一塊橡皮3 元加上一支中性筆5 元，兩個(gè)東西一共8元，5+3 是一支中性筆的價(jià)錢加上一塊橡皮的價(jià)錢也是8 元。生：我們解釋的是加法結(jié)合律，它們都是算一共有這么多個(gè)學(xué)生，

、加法交換律和結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律和分配律；運(yùn)用加法和乘法的運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)過加減混合運(yùn)算，乘（除）加、減兩步混合運(yùn)算及其應(yīng)用，認(rèn)識(shí)小括號(hào)。后續(xù)學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容分別是四年級(jí)下冊(cè)的運(yùn)算律在小數(shù)運(yùn)算中應(yīng)用，五年級(jí)上冊(cè)的小數(shù)混合運(yùn)算，五年級(jí)下冊(cè)的運(yùn)算律在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中應(yīng)用，六年級(jí)上冊(cè)的分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算，運(yùn)算律在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算中應(yīng)用。在“單元學(xué)習(xí)內(nèi)容分析”中，要梳理學(xué)生的思維框架和內(nèi)容框架（見圖1）。圖1 “運(yùn)算律”思維框架與內(nèi)容框架

L滿足交換律與結(jié)合律, 則稱T為L上三角模。2) 若有界格L上對(duì)每個(gè)變量單調(diào)不減有單位元0的二元算子S:L2→L滿足交換律與結(jié)合律, 則稱S為L上三角余模。下面是有界格L上常見的兩對(duì)三角模和三角余模:T∧(x，y)=x∧y,S∨(x，y)=x∨y，特別地, 若L=[0，1]，則T∧=TM;TW=TD;S∨=SM且SW=SD。定義2[16]若有界格L上對(duì)每個(gè)變量單調(diào)不減有單位元e的二元算子U:L2→L滿足交換律與結(jié)合律,則稱U為L上一致模。顯然, 有界格上L

。三、探索加法結(jié)合律1.例題呈現(xiàn)，初步感悟。師：我們繼續(xù)回到操場(chǎng)，這個(gè)問題“跳繩和踢毽子的一共有多少人？”會(huì)解決嗎？請(qǐng)你寫在《學(xué)習(xí)單》上。生：（28+17）+23=68。師：還有同學(xué)先算的是？在這個(gè)算式上怎么表示就能看出你想先算哪部分？生：后面加上括號(hào)28+（17+23）=68，表示先算出女生有多少人。師：最后的結(jié)果是多少？這又是一個(gè)等式，（28+17）+23=28+（17+23）。2.圓圈圖嘗試解釋。師：看圖講故事寫等式難不倒大家，現(xiàn)在沒有故事了，只有圖

“加法交換律和結(jié)合律”教學(xué)為例，談?wù)劸唧w操作策略。一、個(gè)案感知，初探規(guī)律歸納推理的過程其實(shí)就是探尋事物中蘊(yùn)含的規(guī)律。歸納推理是從個(gè)別到一般的推理，源于某一個(gè)特殊的事例。規(guī)律存在于具體的事物之中，個(gè)案感知是推理教學(xué)的第一步，通過對(duì)個(gè)別案例的探索，初步感知規(guī)律。情境是一種具體生動(dòng)的場(chǎng)景，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，情境帶有情緒色彩，能夠激發(fā)情感，促進(jìn)認(rèn)知活動(dòng)，讓學(xué)生身臨其境、直觀感知，還對(duì)學(xué)生具有暗示效應(yīng)，有助于學(xué)生感知理解。因此，借助情境呈現(xiàn)個(gè)案是初探規(guī)律的最佳

鍵詞]交換律;結(jié)合律;廣義; 狹義[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）17-0035-02對(duì)于加法（乘法）交換律，筆者一直認(rèn)為就是交換幾個(gè)加數(shù)（因數(shù)）的位置，只要結(jié)果不變，就是加法（乘法）交換律。但其實(shí)沒有這么簡(jiǎn)單?！癮+b+c=a+c+b”應(yīng)用了哪種運(yùn)算律？對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教師而言，這個(gè)問題不值一提，而恰恰就是這樣一個(gè)小問題卻引發(fā)了筆者的深思。一、從唇舌之爭(zhēng)到網(wǎng)絡(luò)論戰(zhàn)，莫衷一是在集體備課人教版教材第八冊(cè)第

法交換律、加法結(jié)合律、減法性質(zhì)、除法性質(zhì)、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律。在這些運(yùn)算律中，加法交換律這節(jié)課是具有“牽一發(fā)動(dòng)全身”的功能的：加法交換律學(xué)好了，加法結(jié)合律基本就不用教了，因?yàn)槔硎峭粋€(gè)。加法交換律與結(jié)合律學(xué)會(huì)了，乘法交換律與結(jié)合律順手為之即可。此外，有減法交換律嗎？有減法結(jié)合律嗎？75-16-15=75-15-16，這應(yīng)該就是減法交換律了。126-75-25=126-（75+25），這應(yīng)該就是減法結(jié)合律了。但書上不叫減法結(jié)合律，叫減法性質(zhì)。

法交換律和加法結(jié)合律學(xué)習(xí)加法交換律，其目的是讓學(xué)生明白，交換算式中加數(shù)的位置，和不變。學(xué)習(xí)加法結(jié)合律，關(guān)鍵是要訓(xùn)練學(xué)生善于觀察各個(gè)加數(shù)的特點(diǎn)，能夠較快地看出哪幾個(gè)數(shù)能湊成整十、整百、整千的……就把那幾個(gè)數(shù)結(jié)合起來先加，再加上其他的數(shù)，這樣又快又準(zhǔn)確。對(duì)于三個(gè)數(shù)連加，學(xué)生比較容易看出并理解，比如：而對(duì)于三個(gè)以上的數(shù)連加，經(jīng)常利用加法交換律和加法結(jié)合律一起配合使用，更適用于簡(jiǎn)便運(yùn)算，如：這里，關(guān)鍵是讓學(xué)生理解，重點(diǎn)是加數(shù)位置的交換和湊整法，而不是加數(shù)的個(gè)數(shù)，只

記憶。二是加法結(jié)合律、減法運(yùn)算性質(zhì)2和乘法結(jié)合律的比較，它們都具有運(yùn)算符號(hào)相同（連加、連減、連乘）的共同特征，特別強(qiáng)調(diào)加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律數(shù)字的位置和運(yùn)算符號(hào)都不變，只是通過括號(hào)改變了運(yùn)算順序，還要提醒學(xué)生改變減法運(yùn)算性質(zhì)2的括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算符號(hào)。既讓學(xué)生明白加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律的本質(zhì)特征，又讓學(xué)生明白減法運(yùn)算性質(zhì)2的獨(dú)特之處。三是乘法結(jié)合律和乘法分配律的比較，讓學(xué)生明白乘法結(jié)合律全部都是用乘號(hào)，乘法分配律不是乘加就是乘減，從而讓學(xué)生記住它們之間的本質(zhì)區(qū)別

通乘法交換律與結(jié)合律之間的聯(lián)系。如果把乘法結(jié)合律中先算的兩個(gè)數(shù)的積看作是一個(gè)新數(shù)的話，那么其本質(zhì)就是乘法交換律了。說得更明白點(diǎn)，就是：a×b×c=a×（b×c）。如果把b做標(biāo)準(zhǔn)，它可以先與a乘，也可以先與c乘，這事實(shí)上就是a與c進(jìn)行交換;同樣，a可以先與b乘，也可以先與c乘，這就是a與c交換;另外，c可以與b相乘，也可以先與a相乘，那么就是a與b進(jìn)行了交換。（二）從學(xué)習(xí)心理學(xué)來看根據(jù)現(xiàn)代學(xué)習(xí)心理學(xué)的研究，學(xué)生對(duì)加法、乘法的意義及其運(yùn)算定律的理解，其本源在于

的意義1.1 結(jié)合律與交換律眾所周知，通常的整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集等集合上的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算都滿足結(jié)合律和交換律；通過學(xué)習(xí)抽象代數(shù)的結(jié)合律、交換律等運(yùn)算規(guī)律，學(xué)生可知：加（乘）法同時(shí)滿足交換律和結(jié)合律，使得多個(gè)數(shù)的連加（乘）有意義且不需要考慮計(jì)算順序，這就有了七年級(jí)數(shù)學(xué)教材中的兩段話：（1）有理數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律……，這樣，多個(gè)有理數(shù)相加，可以任意交換加數(shù)的位置，也可以先把其中的幾個(gè)數(shù)相加；（2） 根據(jù)乘法結(jié)合律與交換律，三個(gè)或三個(gè)以上

基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)加法結(jié)合律，為之后乘法交換律和乘法結(jié)合律以及簡(jiǎn)便運(yùn)算的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。教材由沿用了之前加法交換律學(xué)習(xí)中的情境，讓學(xué)生在熟悉的情境中繼續(xù)學(xué)習(xí)新知。在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而總結(jié)出加法結(jié)合律。學(xué)情分析：從知識(shí)起點(diǎn)上來看，在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了加法交換律，并且對(duì)加法的運(yùn)算法則較為熟悉，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了知識(shí)基礎(chǔ)。從能力起點(diǎn)上來看，四年級(jí)的學(xué)生正處于形象思維到抽象思維的過渡階段，能夠從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題并進(jìn)行分析。從情感起點(diǎn)上來看

]加法交換律和結(jié)合律是四則運(yùn)算里的基礎(chǔ)定律，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)簡(jiǎn)算奠定了理論基礎(chǔ)，但是，加法結(jié)合律與交換律之間卻有著微妙的關(guān)系，要想徹底厘清兩者，需要從定義開始追溯。[關(guān)鍵詞]加法;乘法;結(jié)合律;交換律;算序[中圖分類號(hào)]G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]1007-9068（2020）32-0056-02筆者閱讀《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2012年第7、8期刊登的崔海華老師的論文《厘清思考原點(diǎn) 關(guān)注運(yùn)算順序》（以下簡(jiǎn)稱“崔文”）和2013年第12期杜欽坤老師的教研論

的加法交換律和結(jié)合律，以及乘法交換律、結(jié)合律和分配律，可以使一些運(yùn)算簡(jiǎn)便。在計(jì)算時(shí)，同學(xué)們一定要看清算式中的數(shù)字和運(yùn)算符號(hào)，根據(jù)它們的特點(diǎn)，靈活地選擇計(jì)算方法?！纠?】計(jì)算369-254-246+331【思路分析】根據(jù)算式的特點(diǎn)，采用加法交換律和結(jié)合律以及減法的性質(zhì)，能把數(shù)字湊整，從而達(dá)到簡(jiǎn)算的目的。解：369-254-246+331=369+331-（254+246）=700-500=200【例2】計(jì)算100-99+98-97+…+4-3+2-1【思路分

加法的交換律和結(jié)合律。類比有理數(shù)的運(yùn)算，你認(rèn)為接下來我們要研究整式的什么運(yùn)算？回顧研究有理數(shù)運(yùn)算的過程，我們經(jīng)歷了有理數(shù)的加法、減法，然后是乘法、除法，最后是乘方的學(xué)習(xí)。因此類似的，在學(xué)習(xí)了整式的加減運(yùn)算后，也應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)整式的乘法、除法，乃至乘方。整式是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的統(tǒng)稱，我們可以設(shè)想整式的乘法包括單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式。其中，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式較為復(fù)雜，比如（3x+2y）（2x-3y），我們可以把（3x+2y）看成一個(gè)字母A，則（3x

“加法交換律和結(jié)合律”，參加活動(dòng)的教師先獨(dú)立備課，再確定其中一位教師上前測(cè)課；課后教師集體評(píng)議，修改教案，再次抓鬮確定一位教師上研究課；然后進(jìn)行第二輪評(píng)課，整理教案，完成展示課。下面就三次課堂設(shè)計(jì)的一些教學(xué)片段，來談?wù)勎业膸c(diǎn)認(rèn)識(shí)。前測(cè)課教學(xué)片段：師：（出示主題圖）根據(jù)圖中的信息，你還能提出哪些數(shù)學(xué)問題？生：參加跳繩的和踢毽子的共有多少人？師：怎樣列式計(jì)算？[根據(jù)回答，教師板書：（13+45）+15與13+（45+15）]師：這兩道算式的和不變，加數(shù)也不變

交換律，一類是結(jié)合律，一類是分配律。3.按照同級(jí)運(yùn)算和不同級(jí)運(yùn)算分成兩類。（如圖 3）圖3三 簡(jiǎn)化表格：多維整理1.縱向思考，引導(dǎo)整理。（1）教師引導(dǎo)。師：正如剛才同學(xué)們所說，按照運(yùn)算的名稱分類(如圖4)，左邊都是加法的運(yùn)算定律，只不過一個(gè)是交換律，一個(gè)是結(jié)合律，都是加法，我就把“加法”寫在上面。圖4（2）學(xué)生整理。師：同理，右邊都是乘法的運(yùn)算定律，那么把“乘法”放到上面可以嗎？（學(xué)生整理，略）2.橫向類推，再次整理。（1）學(xué)生再次整理。師：再從橫向仔細(xì)觀

鍵詞：交換律；結(jié)合律；分配律；5和2；25和4；125和8；湊整；首同尾合十；尾同首合十計(jì)算在小學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)著十分重要的地位，它是小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。而簡(jiǎn)便計(jì)算的教學(xué)成為教學(xué)中的難點(diǎn)。認(rèn)真分析教材中簡(jiǎn)算練習(xí)題，我們可將其歸納成以下三種類型。一、利用運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)算1.加法交換律例1：2.7+1.9+7.3交換1.9和7.3的位置和不變。2.加法結(jié)合律例2：155+236+264（236和264結(jié)合相加）。3.加法交換律和

候，學(xué)生對(duì)乘法結(jié)合律和乘法分配律的學(xué)習(xí)，剛開始還能夠接受，不過在進(jìn)行綜合應(yīng)用時(shí)，學(xué)生就通常會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤。本文主要就乘法分配律和結(jié)合律的對(duì)比教學(xué)進(jìn)行了分析。關(guān)鍵詞：乘法；分配律；結(jié)合律；對(duì)}E教學(xué)中圖分類號(hào)：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672 -1578（ 2018） 02 - 0076 - 01引言：計(jì)算教學(xué)作為小學(xué)數(shù)學(xué)中的一大重點(diǎn)，在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中無處不在，簡(jiǎn)便計(jì)算又作為其中的主要內(nèi)容，對(duì)發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力、開拓學(xué)生的思維能力具有積極的作

。學(xué)生對(duì)于乘法結(jié)合律和乘法分配律的應(yīng)用是有難度的，從學(xué)生的作業(yè)中來看，出現(xiàn)了很多問題。究其原因有：算理不理解，沒有養(yǎng)成簡(jiǎn)便運(yùn)算的意識(shí)，對(duì)拆數(shù)的理解不到位，對(duì)算式的意義沒有弄清楚等等?！娟P(guān)鍵詞】乘法；結(jié)合律；分配律；錯(cuò)題；分析【中圖分類號(hào)】G624.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】2095-3089（2018）31-0157-01在小學(xué)階段，計(jì)算教學(xué)是十分重要的，它貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程。簡(jiǎn)便計(jì)算作為計(jì)算教學(xué)的重要組成部分，它在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和學(xué)

乘法和加法都有結(jié)合律，所以我認(rèn)為減法和除法也有結(jié)合律，用結(jié)合律計(jì)算更簡(jiǎn)便?！痹瓉韺W(xué)生的思維受思維定式的影響，出現(xiàn)學(xué)習(xí)障礙，產(chǎn)生了錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)內(nèi)容。處方：1.展開辯論，明確性質(zhì)。“加法和減法都有結(jié)合律，那減法和除法也有結(jié)合律嗎？”一語激起千層浪，學(xué)生產(chǎn)生兩種對(duì)立的觀點(diǎn)?！拔艺J(rèn)為除法有結(jié)合律，如：15÷5÷3=1，15÷（5×3）=1它們的結(jié)果都一樣?！薄拔曳磳?duì)，剛才那位同學(xué)用的是除法的性質(zhì)，結(jié)合律的特點(diǎn)是運(yùn)算順序變了，運(yùn)算符號(hào)沒有變，運(yùn)算結(jié)果也沒有變，15÷5

師：什么是乘法結(jié)合律？用字母如何表示？生：先乘前兩個(gè)數(shù)，或者先乘后兩個(gè)數(shù)，積不變，這叫做乘法結(jié)合律。用字母表示是（a×b）×c=a×（b×c）。師：怎樣證明這個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)呢？生：舉例說明，如（2×3）×5＝2×（3×5）。生：（25×5）×2＝25×（5×2）。生：（1×2）×3＝1×（2×3）。師：三個(gè)數(shù)相乘，先算前兩個(gè)，或先算后兩個(gè)，積有沒有改變？生：運(yùn)算順序變了，乘積沒變。師：除了舉例證明，還能用圖形解釋乘法結(jié)合律嗎？師（出示圖4）：立體車庫中共停多少

算律 交換律 結(jié)合律蘇教版版教材在四年級(jí)下冊(cè)把“運(yùn)算律”單設(shè)單元，來完成加法和乘法的5個(gè)定律，單設(shè)單元集中教學(xué)幾個(gè)“運(yùn)算律”，其目的是便于學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)，集中體現(xiàn)用字母表示幾個(gè)運(yùn)算規(guī)律的概括性和簡(jiǎn)潔性。但，筆者以為，此時(shí)，沒有必要再花時(shí)間和創(chuàng)設(shè)情境來讓學(xué)生經(jīng)歷幾個(gè)運(yùn)算律的發(fā)現(xiàn)、猜想和驗(yàn)證的過程。因?yàn)?，學(xué)生在一、二年級(jí)，對(duì)加法和乘法的意義以及幾個(gè)運(yùn)算律已經(jīng)積累了一定經(jīng)驗(yàn)，只不過，這時(shí)的經(jīng)驗(yàn)是感性的、模糊的、零碎的，僅需要教師提供回顧、梳理、歸納和概括的平臺(tái)。讓

完加法交換律、結(jié)合律和乘法交換律、結(jié)合律后，學(xué)生受思維定勢(shì)的影響，認(rèn)為除法也有結(jié)合律，即a÷b÷c=a÷（b÷c），為了避免這一情況的發(fā)生，在教學(xué)時(shí)，筆者巧設(shè)了一個(gè)辯點(diǎn)，除法到底有沒有結(jié)合律，收到了較好的效果。【課堂回放】師:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律，想想其他的運(yùn)算是否也有這樣的規(guī)律?生:我想，除法可能有結(jié)合律。短暫的沉默之后，學(xué)生各抒己見，產(chǎn)生兩種對(duì)立觀點(diǎn)，教師引發(fā)學(xué)生進(jìn)行爭(zhēng)辯。師:除法到底有沒有結(jié)合律？請(qǐng)正、反雙方闡述自己的觀點(diǎn)。正方:我認(rèn)

條性質(zhì)：1) 結(jié)合律：(G1*G2)*G3=G1*(G2*G3)；2) 交換律：G1*G2=G2*G1.證明： 1)由定義知，V((G1*G2)*G3)=V(G1*G2)∪V(G3)=(V(G1)∪V(G2))∪V(G3)=V(G1)∪(V(G2)∪V(G3))=V(G1)∪V(G2*G3)=V(G1*(G2*G3))令G1*G2=H1，則E(H1)=E(G1*G2)=E(G1)∪E(G2)∪E12，故有：所以E(G1*(G2*G3))=E(G1)∪E(G

“乘法交換律和結(jié)合律”時(shí)，通常是這樣設(shè)計(jì)的：師：加法交換律和結(jié)合律大家知道嗎？請(qǐng)舉例說明。學(xué)生回答后，出示加法交換律和結(jié)合律。師：根據(jù)加法交換律和結(jié)合律大家展開聯(lián)想，能聯(lián)想到哪些運(yùn)算定律？生：減法交換律和結(jié)合律，乘法交換律和結(jié)合律，除法交換律和結(jié)合律。師：對(duì)這些運(yùn)算定律你猜測(cè)到什么可能是錯(cuò)的？什么大概會(huì)是對(duì)的？請(qǐng)舉例驗(yàn)證，并在小組內(nèi)交流。生：我們認(rèn)為減法交換律和結(jié)合律一定是錯(cuò)的，如8-7與7-8肯定是不相等的，12-6-4和12-（6-4）也是不相等的，所

莫云學(xué)生對(duì)乘法結(jié)合律和乘法分配律混淆，主要原因是沒有把握這兩條規(guī)律的本質(zhì)，不清楚各自的應(yīng)用背景。所以，在練習(xí)課上要引導(dǎo)學(xué)生厘清以下兩點(diǎn)。一、把握規(guī)律的本質(zhì)乘法結(jié)合律實(shí)際上是在保證每個(gè)因數(shù)只乘一次的前提下，改變乘的順序，積不會(huì)改變，其著力點(diǎn)是“乘的順序改變”，只涉及一級(jí)運(yùn)算。乘法分配律的著力點(diǎn)是“算式結(jié)構(gòu)的改變”，即將（a+b）×c轉(zhuǎn)化成a×c+b×c，或者將a×c+b×c轉(zhuǎn)化成（a+b）×c，它涉及兩級(jí)運(yùn)算。因此，要引導(dǎo)學(xué)生討論“乘法結(jié)合律和乘法分配律有什

定律（交換律，結(jié)合律、分配律）中最難的。乘法交換律，結(jié)合律，兩者形式相似，因此學(xué)生容易理解應(yīng)用。但是學(xué)生在學(xué)完乘法分配律后，部分學(xué)生把乘法分配律與乘法結(jié)合律混淆，比如出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：①25×（4×78）=25×4+25×78；②72×125=（8×9）×125=8×125+9×125；③25×125×4×8=25×4+125×8；④99×87=（100+1）×87。反思學(xué)生出現(xiàn)以上錯(cuò)誤的原因，我覺得是乘法結(jié)合律和分配率的模型還沒建立起來，第二，括號(hào)對(duì)學(xué)生的影

法交換律、加法結(jié)合律與乘法結(jié)合律分散編排。B類教材，把加法交換律和乘法交換律合在一起統(tǒng)稱為交換律，并且也把加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律合為一節(jié)課，統(tǒng)稱為結(jié)合律。也就是把加法交換律與乘法交換律、加法結(jié)合律與乘法結(jié)合律集中編排。通過比較發(fā)現(xiàn)：A類教材看似脈絡(luò)清晰、結(jié)構(gòu)完整，但如果細(xì)想，就會(huì)發(fā)現(xiàn)加法交換律和乘法交換律如同孿生兄弟，聯(lián)系的更緊密，如果統(tǒng)稱為“交換律”更有利于學(xué)生系統(tǒng)的構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)；加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律也是如此，合為一體統(tǒng)稱為“結(jié)合律”也更合理；還

二招：運(yùn)用乘法結(jié)合律37×5×2因?yàn)?×2=10，所以我們可以運(yùn)用乘法結(jié)合律先計(jì)算5×2，再把所得的10與37相乘。37×5×2=37×（5×2）=37×10=370第三招：運(yùn)用乘法分配律21×73+63×9因?yàn)?3=21×3，所以先把63轉(zhuǎn)化為21×3，再用乘法分配律，這樣可以使計(jì)算變得簡(jiǎn)便。21×73+63×9=21×73+21×3×9=21×73+21×27=21×（73+27）=21×100=2100第四招：化整法86×5因?yàn)?=10÷2，所以我們

法交換律和加法結(jié)合律是運(yùn)算中進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的兩種必要的理論依據(jù)，這部分內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的加法計(jì)算和驗(yàn)算的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究，從感性上升到理性的內(nèi)容。教材從學(xué)生熟悉的實(shí)際問題的解答引入新課，列出兩個(gè)不同的算式組成等式，再例舉類似的等式進(jìn)行分析、比較、找到共同點(diǎn)，抽象、概括出加法交換律和加法結(jié)合律?！跋胂胱鲎觥毕劝才帕艘恍┗揪毩?xí)，以填空、判斷等形式鞏固對(duì)加法運(yùn)算的理解，接著通過題組對(duì)比和湊整等練習(xí)，為學(xué)習(xí)簡(jiǎn)便計(jì)算作適當(dāng)滲透和鋪墊。二、學(xué)情分析本節(jié)課的新知識(shí)在

容易接受，乘法結(jié)合律和乘法分配律在新授課時(shí)掌握得較理想，不過綜合應(yīng)用時(shí)往往張冠李戴、錯(cuò)誤連連。本文就此進(jìn)行了分析。關(guān)鍵詞： 乘法 結(jié)合律 分配律 混用錯(cuò)例計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終，簡(jiǎn)便計(jì)算更是其濃墨重彩的“一筆”，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的靈敏性、思維的深刻性、方法的獨(dú)創(chuàng)性具有無可替代的作用。在簡(jiǎn)便計(jì)算中，學(xué)生往往把乘法結(jié)合律和乘法分配律混在一起，造成想簡(jiǎn)便卻被簡(jiǎn)便所誤，給數(shù)學(xué)教師帶來一定的困惑。為此，我做了一些調(diào)查，并結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)歷及對(duì)學(xué)生

性質(zhì)：交換律與結(jié)合律。關(guān)于加法的所有規(guī)律，都可以由此開始通過邏輯推理而獲得，下面舉一例。證明：a+b+c=a+c+b。讀者也許會(huì)說，這不就是加法交換律嗎？只是把c與b的順序交換一下啊。事實(shí)上不是這樣的。按定義，a+b+c是（a+b）+c，而a+c+b=（a+c）+b，b與c根本不直接相加，無所謂交換。下面即是這個(gè)等式的證明（在閱讀這個(gè)證明之前，再次提醒讀者注意，我們能用來作證明依據(jù)的只有幾個(gè)定義和交換律與結(jié)合律而沒有別的）。證：a+b+c=（a+b）+c（

用加法交換律和結(jié)合律，利用“轉(zhuǎn)化”的思想方法，進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。例1.計(jì)算1+2+3+4+…+28+29+30。［分析與解］這道算式是求1加到30的和，后一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)多1，共有30個(gè)數(shù)相加，從左到右依次計(jì)算，會(huì)比較麻煩。解法一：我們可以運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律，先算出每兩個(gè)數(shù)相加的和，使得每一對(duì)數(shù)的和都等于31，30個(gè)數(shù)相加共結(jié)合成（30÷2）對(duì)，再算出（30÷2）個(gè)31的和是多少。綜合算式是：1+ 2+3+4+…+28+29+30=（1+30）+（2+2

21004)?結(jié)合律在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的巧用徐輝明(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華321004)討論結(jié)合律在無窮級(jí)數(shù)中的運(yùn)用，并對(duì)2015年浙江省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽中一道競(jìng)賽題進(jìn)行了分析和探討.級(jí)數(shù)； 收斂； 結(jié)合律1　引　　言眾所周知，有限個(gè)實(shí)(復(fù))數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律，但在無窮級(jí)數(shù)中，交換律和結(jié)合律一般不成立，要在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中運(yùn)用交換律和結(jié)合律，需要滿足一定的條件. 在數(shù)學(xué)分析教材中，下面兩個(gè)定理是常見的.定理1[1]在收斂級(jí)數(shù)的項(xiàng)中任意加括號(hào)，

法交換律與加法結(jié)合律綜合運(yùn)用的結(jié)果。乘法、除法豎式計(jì)算運(yùn)用了這些定律嗎？答案是肯定的，它們是乘法分配律及其擴(kuò)展形式的運(yùn)用。乘法分配律的字母式：（a+b）c=ac+bc。我把類似于“a（b+c+d+e…）=ab+ac+ad+ae…；(b+c+d+e)/a=b/a+c/a+d/a+e/a”稱為乘法分配律的擴(kuò)展形式。如685*9，它的豎式就是“5*9+80*9+600*9”的豎式化運(yùn)用。我想老師們會(huì)有更多有說服力的例子。老師是育人者，是智者，我們對(duì)知識(shí)的理解、運(yùn)

比法生1：乘法結(jié)合律和乘法分配律容易混淆，你們發(fā)現(xiàn)有什么不同之處嗎？生2：乘法結(jié)合律中都是乘號(hào)，而乘法分配律中有乘號(hào)和加號(hào)。生3：乘法結(jié)合律改變的是運(yùn)算方法，可是乘法分配律改變了其中的內(nèi)容。生4：乘法結(jié)合律是a×b×c=a×(b×c)，乘法分配律是（a+b）×c=a×c+b×c，乘法分配律中有公因數(shù)c，乘法結(jié)合律是沒有公因數(shù)的。三、形象記憶法生1：我喜歡畫畫，我覺得那個(gè)括號(hào)像一把小傘，傘里有小a和小b,迎面來了小c。小c分別和小a與小b握手說：“小a你好，

果，這就是加法結(jié)合律。你能用一個(gè)算式來表示嗎？（用字母表示）板書：a+b+c=a+(b+c)加法結(jié)合律5.研究回顧。師：剛才我們是怎么得到加法結(jié)合律的？板書：觀察發(fā)現(xiàn)——提出猜想——舉例驗(yàn)證——字母表示【設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生經(jīng)歷不完全歸納的推理過程，即觀察發(fā)現(xiàn)——提出猜想——舉例驗(yàn)證——字母表示。從邏輯的維度分析，這樣的推理過程應(yīng)當(dāng)屬于合情推理的范疇，用于發(fā)現(xiàn)事實(shí)與結(jié)論。學(xué)生能否掌握這樣的推理過程，將一定程度上影響其創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力的發(fā)展。但不完全

換律”和“加法結(jié)合律”之后，出了這樣一道選擇題：25+38+75=25+75+38，這里運(yùn)用了（ ）。A.加法交換律；B.加法結(jié)合律；C.加法交換律和加法結(jié)合律。許多學(xué)生選擇A。揭示答案是C后，教師在學(xué)生的辯駁“只是38和75交換了位置啊”中，也說不出所以然來。教師最后總結(jié)說：“兩個(gè)數(shù)相加可以交換位置，三個(gè)數(shù)相加也可以改變運(yùn)算順序。你們還有什么想法嗎？”生：無論多少個(gè)數(shù)相加，都可以改變運(yùn)算順序，和都不會(huì)變。師：對(duì)，是這樣。你真棒！……【片段2】一位教師教學(xué)

們可以運(yùn)用乘法結(jié)合律來簡(jiǎn)算，也就是（25×15）×6=25×（15×6）=25×90=2250。在運(yùn)用乘法結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算時(shí)，我們有時(shí)必須借助其他運(yùn)算律一起參與運(yùn)算，一定要從實(shí)際出發(fā)，靈活處理各種具體情況。比如，如果問只種青菜能種多少棵，列式為（25×15）×24。計(jì)算（25×15）×24時(shí)，如果仍然只用上面的乘法分配律來簡(jiǎn)算就行不通了。我們注意到算式中出現(xiàn)了25和24，于是，我們不妨把24分拆成4×6，然后運(yùn)用乘法交換律交換因數(shù)的位置，再用乘法結(jié)合律就

后探究學(xué)習(xí)加法結(jié)合律。在探究加法結(jié)合律時(shí)，學(xué)生先舉實(shí)例，然后教師引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)出自己對(duì)于結(jié)合律的理解，并要求一名學(xué)生上黑板用字母表示結(jié)合律。此生板書：（a＋b）＋c＝（b＋c）＋a師：你能說說為什么這樣寫嗎？（給予學(xué)生表達(dá)自己想法的機(jī)會(huì)）師：你們覺得他的這個(gè)等式還表達(dá)出了怎樣的運(yùn)算律？（借機(jī)在此深化交換律）師：仔細(xì)觀察我們剛寫的例子，說說什么始終沒變，什么發(fā)生了變化？師：現(xiàn)在我們?cè)倏纯春诎迳线@個(gè)同學(xué)板書的這個(gè)等式，與我們的發(fā)現(xiàn)有什么不符合的地方？師：這個(gè)同學(xué)

有加法交換律、結(jié)合律，請(qǐng)你猜一猜，哪些運(yùn)算中還有像加法這樣的運(yùn)算定律？生３：我猜減法中可能有交換律和結(jié)合律。生４：我猜乘法中可能有交換律和結(jié)合律，減法中沒有。生５：我猜除法中可能有交換律和結(jié)合律，減法中沒有?！瓗煟捍蠹艺f得很好，都有自己的想法。下面大家小組合作，以三個(gè)研究小課題分別舉例來驗(yàn)證自己的猜想，看看哪些運(yùn)算中具有交換律和結(jié)合律。研究小課題一：減法中有交換律和結(jié)合律嗎？（出示研究報(bào)告表，如下）■生６：■師：有不同意見嗎？生７：我有不同意見。因?yàn)椋担?/div>

小學(xué)教學(xué)參考(數(shù)學(xué)) 2014年7期2014-09-09

種加法交換律和結(jié)合律的驗(yàn)證方法王穎汝(河南省社旗縣科技局，河南省社旗縣473300)依據(jù)“數(shù)位對(duì)齊、逢十進(jìn)一”的運(yùn)算法則，結(jié)合十進(jìn)制加法表，給出了驗(yàn)證加法交換律與結(jié)合律的一種方法。加法交換律;加法結(jié)合律;驗(yàn)證一、加法交換律的驗(yàn)證加法交換律用文字描述即“兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變”，用字母表示即:“a+b=b+a”。下面，對(duì)其進(jìn)行具體驗(yàn)證。(一)設(shè)定證明中使用的代數(shù)符號(hào)(1)在加法交換律中，使用到兩個(gè)加數(shù)，在本證明中，暫且假定兩個(gè)加數(shù)均為自然數(shù)

2.2 卷積的結(jié)合律卷積的結(jié)合律為該式成立的條件是f1(t)、f2(t)和f3(t)中的任意兩者之間的卷積均存在［2］，否則結(jié)合律不成立。如f1(t)=1，f2(t)=δ'(t)，f3(t)=u(t)，則有可見此時(shí)卷積的結(jié)合律不成立，究其原因是由于卷積f1(t)*f3(t)=1*u(t)不存在的緣故。2.3 卷積的導(dǎo)數(shù)卷積的導(dǎo)數(shù)是指該式成立的條件是f1(t)*f2(t)存在。否則上式不成立。如卷積1*u(t)是不存在的，雖然卷積(1)'*u(t)=0和卷積

，加法交換律、結(jié)合律、乘法交換律、結(jié)合律，還有乘法分配律都來了。連忙問：“五位先生有什么指教？”“我們是來找你們幫忙的！”加法交換律首先說話，“一些小朋友對(duì)我們弟兄幾個(gè)總是記不住，分辨不清，你們自然數(shù)弟兄多得數(shù)不清，能幫我們變得簡(jiǎn)潔精煉一些嗎？”瘦“1”似乎還沒聽明白，加法結(jié)合律補(bǔ)充說：“像我吧，別人要是叫起我來得說‘三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再和第三個(gè)數(shù)相加；或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再和第一個(gè)數(shù)相加，它們的和不變，瞧，多麻煩！”自然數(shù)弟兄一向助人為樂，

另一個(gè)是加法的結(jié)合律。例題主題圖是“28個(gè)男生在跳繩”、“17個(gè)女生在跳繩”、“23個(gè)女生在踢毽子”。通過提問：“跳繩的有多少人?”引入加法交換律；通過提問：“參加活動(dòng)的一共有多少人?”引入加法結(jié)合律的教學(xué)。我市青年教師優(yōu)質(zhì)課展評(píng)活動(dòng)有7位教師同上這一課，比較、分析這些老師在這一課上的設(shè)計(jì)。能給人以啟示。新授加法交換律和加法結(jié)合律7位教師設(shè)計(jì)的教學(xué)過程大致相同。先講加法交換律，再講加法結(jié)合律。講解過程大體如下：由例題得到兩個(gè)算式，計(jì)算結(jié)果相等，寫成等式，啟

法交換律和乘法結(jié)合律。在教師的引導(dǎo)下，利用學(xué)生已掌握的加法運(yùn)算定律進(jìn)行知識(shí)遷移，發(fā)揮網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，加強(qiáng)課堂學(xué)習(xí)的信息交流，學(xué)生通過猜想、探究、歸納出乘法交換律和乘法結(jié)合律并理解其作用，為后面的簡(jiǎn)便計(jì)算作好鋪墊。學(xué)習(xí)者特征分析學(xué)生在本課前已經(jīng)學(xué)習(xí)掌握了加法的運(yùn)算定律，在解決實(shí)際問題的計(jì)算中感知運(yùn)用運(yùn)算定律可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。這為學(xué)生學(xué)習(xí)本課內(nèi)容創(chuàng)造了有利的條件，可進(jìn)行知識(shí)遷移，幫助學(xué)生自主探索，理解并運(yùn)用乘法交換律、結(jié)合律。學(xué)生日常課堂學(xué)習(xí)使用網(wǎng)絡(luò)，利用BBS

加法中叫“加法結(jié)合律”（板書）。這樣的計(jì)算規(guī)律，你們能用自己喜歡的方式表示出來嗎？生1：（甲數(shù)+乙數(shù)）+丙數(shù)=甲數(shù)+（乙數(shù)+丙數(shù)）生2：（△+○）+☆=△+（○+☆）生3：（雞+鴨）+鵝=雞+（鴨+鵝）生4：（a+b）+c=a+（b+c）師：同學(xué)們表示的方式都很好，通常用“生4”的方式，也就是用字母表示。請(qǐng)同學(xué)們思考一下，加法結(jié)合律在計(jì)算中有什么作用？生1：三個(gè)數(shù)相加，先加其中的兩個(gè)數(shù)，可以湊成整十、整百……使計(jì)算簡(jiǎn)便。生2：運(yùn)用加法結(jié)合律，能使計(jì)算既簡(jiǎn)便

法交換律和加法結(jié)合律的過程中，理解并掌握加法交換律和加法結(jié)合律，初步感受到應(yīng)用加法運(yùn)算律可以使一些計(jì)算簡(jiǎn)便。2在探索運(yùn)算律的過程中，發(fā)展學(xué)生的分析、比較、抽象、概括能力，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)感。3讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，進(jìn)一步增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和信心，初步形成獨(dú)立思考和探究問題的意識(shí)和習(xí)慣。教學(xué)過程一、教學(xué)加法交換律1創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考28個(gè)男生在跳繩17個(gè)女生在跳繩23個(gè)女生在踢毽子觀察這幅圖，你能提出哪些數(shù)學(xué)問題呢?學(xué)生可能會(huì)提出以下問題：(1)