王紅衛(wèi)　張龍

(1.華南理工大學 建筑學院，廣東 廣州 510640；2.華南理工大學 亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣東 廣州 510640)

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平面波作用下兩種聲強陣列的精度對比和數(shù)值分析*

王紅衛(wèi)1,2張龍1

(1.華南理工大學 建筑學院，廣東 廣州 510640；2.華南理工大學 亞熱帶建筑科學國家重點實驗室，廣東 廣州 510640)

從平面波作用下三維聲強陣列的理論推導出發(fā)，通過聲壓、質(zhì)點振速估計和聲強譜計算，比較了正四面體傳聲器和六傳聲器的幅值誤差和方向性誤差，并在全消聲室中對數(shù)值仿真的結果進行驗證.研究結果表明：隨著頻率增加，幅值誤差呈指數(shù)式增長，4 kHz范圍內(nèi)兩種傳聲器的幅值誤差均小于0.5 dB，滿足精度要求，且正四面體傳聲器略優(yōu)于六傳聲器；在平面波作用下正四面體傳聲器的方向性精度明顯優(yōu)于六傳聲器，當頻率為8 kHz時六傳聲器的角度偏差已接近6°，而正四面體傳聲器角度偏差僅為1°，且全頻域范圍內(nèi)角度偏差增長緩慢.

平面波；三維聲強；傳聲器；聲壓；數(shù)值仿真；幅值誤差；方向性誤差

平面聲波對于現(xiàn)代聲學測量和仿真技術具有不可替代的理論意義.當接收點與聲源足夠遠時，波陣面即可近似為平面，因此平面聲波理論可用于遠離聲源情況的分析和測試.三維聲強傳聲器陣列基于傳統(tǒng)的雙傳聲器法，通過快速傅里葉變換求出每對傳聲器之間的互譜Gij，進而確定中心位置的聲強，在聲功率測量、噪聲源定位等方面應用較為廣泛[1-3].文中分析了平面聲波作用下三維傳聲器陣列的幅值和角度誤差，有助于從理論上改進三維聲強探頭的生產(chǎn)工藝，進而提升其性能和測量的精確度.

文獻[4]提出了一種基于有限差分的系統(tǒng)性誤差計算方法，并將它應用于不同形式的傳聲器陣列以此來驗證其有效性；文獻[5]比較分析了球面聲波作用下3種傳聲器陣列的能量密度和聲強幅值隨ka(波數(shù)和間距的乘積)的變化特性，并考慮了存在鋼球散射作用時的精度差異；文獻[6]則從一維聲強探頭的原理入手，以類比的方式提出了在高頻范圍內(nèi)三維聲強探頭敏感性缺失的補償策略，并通過數(shù)值計算驗證了當存在相位匹配誤差和界面反射的情況時，這種補償策略依然適用；文獻[7-8]雖給出了在平面聲波作用下四傳聲器的幅值誤差和相應的誤差修正方案，但仿真的邊界條件仍局限于入射聲波方向取某個具體角度，以此來推測整個球面空間內(nèi)的誤差情況，由于模擬的樣本數(shù)量有限因而不具有一般性.本研究則在理論推導和數(shù)值模擬的基礎上比較了空間笛卡爾坐標系下1/8卦限內(nèi)，入射角以10°為步長規(guī)則增加時幅值誤差和方向性誤差隨頻率f的變化情況，并結合實驗數(shù)據(jù)予以分析驗證.

1　平面波作用下三維聲強的理論推導

相對于傳統(tǒng)的聲壓法，三維聲強陣列是通過空間中若干個點的聲壓值來推算幾何中心位置的聲壓值和質(zhì)點振動速度，最后代入相應定義求得聲強.

1.1三維聲強陣列的傳聲器布置

傳聲器陣列的空間布置方式與系統(tǒng)的有限差分誤差密切相關.常見的布置方式有正四面體傳聲器陣列(簡稱四傳聲器)和六傳聲器陣列(簡稱六傳聲器)，文中分別比較了兩個不同測試系統(tǒng)中心位置的聲強，分析了這兩種三維聲強探頭的誤差及影響因素，其空間笛卡爾坐標系下的傳聲器分布如圖1所示.

圖1　傳聲器布置方式及坐標系統(tǒng)

假設球體的半徑為R，所有傳聲器均分布在球面上，由于空間的對稱性，兩種布置方式球心與坐標原點均重合，根據(jù)幾何關系可以推得各傳聲器的空間坐標，如表1、2所示.

表1　四傳聲器陣列空間坐標Table 1　The space coordinates system of tetrahedral microphones

表2　六傳聲器陣列空間坐標

1.2聲壓估計

目前常用的三維聲強陣列聲壓估計方法包括：取各點的算數(shù)平均值計算聲壓；幾何中心額外增加虛擬傳聲器求得聲壓；加權平均值估計聲壓；泰勒公式展開估計聲壓等[6].這幾種方法各有優(yōu)點且適用范圍不同，綜合考慮上述幾種估計方法的適用性及建立坐標系的方式后，文中聲壓估計采用式(1)所述的求算數(shù)平均值的方式.

(1)

式中，m表示某種布置方式的傳聲器個數(shù)，pi為各傳聲器位置的聲壓值.

1.3質(zhì)點振速估計

質(zhì)點振速在頻域中可以表示為

Vi=(P2-P1)/j2πfρd

(2)

式中，P1、P2為每對傳聲器的聲壓，Vi表示沿1、2號傳聲器連線方向的質(zhì)點振速，j為虛數(shù)單位，ρ表示空氣密度，d為兩傳聲器的間距.

結合傳聲器的空間坐標，可以得到VX、VY、VZ和各傳聲器聲壓之間的關系.

正四面體傳聲器聲速估計：

(3)

六傳聲器聲速估計：

(4)

1.4三維聲強譜計算

由兩信號的互相關函數(shù)可知[9]：

RPV())d

(5)

其中，RPV()表示聲壓和質(zhì)點振速的互相關函數(shù)，p(·)和u(·)分別為聲壓和質(zhì)點振速關于頻率的函數(shù).

類比于一維p-p探頭聲強與互譜的關系，可得到正四面體傳聲器幾何中心位置聲強譜分量：

(6)

六傳聲器聲強譜分量：

(7)

式中，f為頻率，Gij表示第i、j號傳聲器之間的單邊互譜，Im表示取相關函數(shù)的虛部.

2　平面波作用下的誤差分析

三維聲強測試系統(tǒng)的誤差包括有限差分誤差和相位失配誤差.有限差分誤差主要是由于利用各點的聲壓估計中心位置的聲壓，且質(zhì)點振速線性化過程中忽略了二階及以上的無窮小.相位失配誤差則是由于各個測量通道之間相位不匹配引起的.有限差分誤差決定了頻率的上限，且隨著間距d增大高頻誤差增大；相位失配誤差決定了頻率的下限，且隨著間距d減小低頻誤差增大.

文中采用Matlab對平面聲波作用下的兩種三維聲強測試系統(tǒng)的有限差分誤差進行仿真和數(shù)值計算.若系統(tǒng)不存在相位失配的情況，有限差分誤差則表現(xiàn)為幅值、方向性與理論值的偏差.初始條件假定空氣密度為1.21 kg/m3，聲速為340 m/s，外接球半徑為36.7 mm.入射波方向向量在XY平面上的投影與X軸夾角為φ，方向向量與Z軸夾角為θ，φ和θ的取值即決定了入射平面波的方向.XZ平面上φ、θ與坐標軸的關系如圖2所示.

圖2　平面波入射方向角度示意圖

假設φ和θ均以0°為起始點，以10°為步長逐漸增加到90°.分別計算每一種入射方式下幾何中心位置處的聲強估計值，確定所有入射方式下估計值和理論值的平均相對誤差，并對最終結果進行歸一化處理.

2.1幅值誤差比較與分析

幅值誤差的理論計算公式如下：

(8)

(9)

式中：E為幅值誤差大?。籌表示正四面體傳聲器或六傳聲器幾何中心位置的幅值估計值，此值可通過定義傳聲器陣列的空間分布從而計算聲強譜得到；IA則為該入射方式下聲強的給定值.

圖3為在平面波作用下，正四面體傳聲器和六傳聲器的幅值誤差隨頻率的變化情況，此數(shù)據(jù)是基于多種入射方式的統(tǒng)計分析結果.

由圖3可以看出，隨著頻率f的增加，幅值誤差呈指數(shù)關系增長.在f<1 kHz的頻段內(nèi)，兩者相差不大，均小于0.1 dB；而當f>1 kHz時，正四面體傳聲器的幅值誤差小于六傳聲器，4 kHz時，正四面體傳聲器幅值誤差僅為0.25 dB，在可聽頻域范圍內(nèi)具備較高的精度.從圖中還可以看出，高頻段內(nèi)正四面體傳聲器的幅值誤差增長速度小于六傳聲器，6 kHz時兩者差值為0.4 dB，而到10 kHz時差值則增加到0.9 dB.這一方面來源于系統(tǒng)的有限差分誤差，由于每對傳聲器的距離d與幅值誤差呈正相關，當外接球半徑一定時，六傳聲器的有效頻率上限小于四傳聲器；另一方面，六傳聲器若考慮除沿軸3對傳聲器外的其余12種組合，平均幅值誤差及誤差最大值均有不同程度的下降.上述結果與文獻[10-11]結論相互印證.

圖3　不同傳聲器的幅值誤差隨頻率的變化

Fig.3The magnitude bias between different probes as frequency increases

為了進一步分析傳聲器擺放位置對誤差的影響，分別計算沿X、Y、Z軸的幅值誤差，計算公式如下[12-13]：

(10)

式中,EX、EY、EZ為聲強估計值沿X、Y、Z軸方向的幅值誤差分量，IA，X、IA，Y、IA，Z為聲強給定值沿X、Y、Z軸方向的幅值誤差分量.

平面波作用下兩種傳聲器陣列沿X、Y、Z軸的幅值誤差如圖4所示.

圖4　沿不同坐標軸方向的幅值誤差

由圖4可見，當f>2.5 kHz 時，沿X、Y軸方向兩者曲線上升趨勢基本吻合，誤差相差不大；當f<2.5 kHz時，沿X、Y軸方向正四面體傳聲器幅值誤差略大于六傳聲器，最大誤差小于0.4 dB；而沿Z軸方向正四面體傳聲器的精度明顯優(yōu)于六傳聲器.

2.2角度誤差比較與分析

在平面波作用下，正四面體傳聲器和六傳聲器的方向性誤差隨頻率的變化情況如圖5所示.

圖5　不同傳聲器的方向性誤差隨頻率的變化

Fig.5The differences in directional bias between different probes as frequency increases

由圖5可見，隨著頻率f增加，兩者的方向性誤差均有不同程度的升高；六傳聲器在f=8kHz時，角度偏差已接近6°，精度較低；正四面體傳聲器高頻誤差雖有提升，但10kHz時，角度偏差僅為1.8°.由此可見對于平面波作用下的方向性偏差，正四面體傳聲器相對于六傳聲器具有較大的優(yōu)勢.

3　全消聲室實驗驗證

3.1實驗平面波近似條件

為了進一步確保數(shù)值計算的結果符合實際情況，在全消聲室中對系統(tǒng)誤差進行實驗驗證，圖6為實驗現(xiàn)場所拍照片，點聲源與傳聲器陣列幾何中心距離大于2m，傳聲器陣列外接球半徑約為15mm.相對于理想狀態(tài)下的平面波測試，幅值結果相差約0.000 2dB，1kHz時角度相差約1.2°，因此實驗可近似認為在平面波作用下進行[14].

圖6　全消聲室測試現(xiàn)場圖

3.2三維聲強系統(tǒng)校準

考慮到各傳聲器之間可能存在相位不匹配的情況，且不同傳聲器靈敏度不同，導致電壓信號輸出不一致而產(chǎn)生固有偏差，因此文中采用測量傳遞函數(shù)的方法對三維聲強測量系統(tǒng)進行校準.

校準的主要步驟包括測量標定因子、基準和非基準傳遞函數(shù)計算、利用傳遞函數(shù)修正誤差3個方面.對于文中所述實驗，假定4號傳聲器為基準傳聲器，并標定其幅值，測得聲強標定因子C4，利用式(11)計算基準傳聲器與其他傳聲器之間的傳遞函數(shù)，利用式(12)計算非基準傳聲器之間的傳遞函數(shù).

(11)

(12)

式中，Tij表示兩個傳聲器之間的傳遞函數(shù)；ω為角頻率；d為兩傳聲器之間的距離.

3.3實驗系統(tǒng)與測量結果

實驗采用Core Sound公司生產(chǎn)的Tetra-Mic型正四面體傳聲器陣列探頭，具有較高的靈敏度和較寬的頻率響應.測量系統(tǒng)主要由信號采集、信號輸出、控制3個模塊組成，如圖7所示.在數(shù)值仿真中，設定各參數(shù)初始值與傳聲器陣列的空間尺度和幾何分布保持一致[15-17].

圖7　消聲室實驗系統(tǒng)示意圖Fig.7　The system diagram of the experiment in an anechoic chamber

圖8　仿真與實測誤差比較

Fig.8Comparison of directional bias between predicted and measured data

測試初始位置均采用激光測距儀進行旋轉(zhuǎn)定位，確保聲源、4號傳聲器、幾何中心處于同一平面.在全消聲室中控制轉(zhuǎn)臺以10°為步長順時針旋轉(zhuǎn)，記錄每個測點的相對角度偏差，并計算其平均值.由圖8所示實驗結果可知，在中頻范圍內(nèi)，正四面體傳聲器角度偏差實測值與仿真值吻合較好，兩者最大差值處僅為3°.實驗結果進一步表明，在1kHz到3kHz內(nèi)，數(shù)值仿真的結果是合理的.

4　結語

研究平面波作用下三維聲強陣列的精度對于噪聲源定位、現(xiàn)場法測量隔聲、聲功率測量等具有重要的現(xiàn)實意義.傳聲器陣列的空間分布方式和聲壓振速的估計方法共同決定了幾何中心位置的聲強測量精度.文中采用數(shù)值仿真的方式比較了正四面體傳聲器和六傳聲器的幅值和方向性誤差，并討論了平面波入射角沿不同方向入射時，誤差隨頻率的變化情況.研究結果表明：在不考慮室內(nèi)混響聲能和擴散的情況下，兩者在可聽頻域范圍內(nèi)幅值誤差均滿足測試精度要求；而從方向性誤差上看，正四面體傳聲器明顯優(yōu)于六傳聲器，尤其是在高頻段，兩者差值接近6°.相對于六傳聲器，正四面體傳聲器降低了成本卻提高了測試精度，完全適用于平面聲場下的建筑聲學測量.

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s： Supported by the National Natural Science Foundation of China (51278198)and the Fund of China Scholarship Council(201308440043)

Accuracy Comparison Between Two Sound Intensity Arrays in Plane Wave and the Corresponding Numerical Analysis

WANGHong-wei1,2ZHANGLong1

(1. School of Architecture，South China University of Technology，Guangzhou 510640，Guangdong，China；2. State Key Laboratory of Subtropical Building Science，South China University of Technology，Guangzhou 510640，Guangdong，China)

On the basis of the theoretical derivation of three-dimension sound intensity arrays in plane wave，firstly，the sound pressure and the particle velocity are estimated，and the sound intensity spectrum is calculated. Then，a comparison of amplitude bias and directional bias is made between a tetrahedral microphones system and a six-microphone system. Finally，the numerical simulation results are verified through experiments in an anechoic chamber. It is found that (1) the magnitude bias expands exponentially as frequency increases； (2) the amplitude biases of the two systems are both less than 0.5 dB within the range from 0 Hz to 4 kHz，which means that the systems both meet the accuracy requirements； (3) the tetrahedral microphones system is superior to the six-microphone system； and (4) the directional bias of six-microphone system is close to 6° at a frequency of 8 kHz，while that of tetra-hedral approach is only 1° and increases slowly in the whole frequency domain，which means that the tetrahedral microphones system exhibits higher directional accuracy than the six-microphone system.

plane wave； three-dimension sound intensity； microphone； sound pressure； numerical simulation； amplitude bias； directional bias

1000-565X(2016)07-0090-06

2016-03-16

國家自然科學基金資助項目(51278198)；國家留學基金資助項目(201308440043)；華南理工大學中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助項目(2014zz0021)

王紅衛(wèi)(1975-)，男，博士，副教授，主要從事建筑和環(huán)境聲學研究.E-mail：wanghw@scut.edu.cn

TU 212doi： 10.3969/j.issn.1000-565X.2016.07.014