強化分類思想，提高數(shù)學解題水平

朱海波

【摘 要】 分類思想是初中學生必須掌握的一種數(shù)學思想，初中生只有學會這種思想，才能高效地解答某些數(shù)學習題。教師要善于引導學生結(jié)合數(shù)學公式分類，引導學生結(jié)合隱含條件分類，引導學生結(jié)合復合條件分類。

【關鍵詞】 分類思想；數(shù)學；解題；水平

分類思想，是指在宏觀地看待一個數(shù)學問題以后，將解決數(shù)學問題的方法分類，依次解決數(shù)學問題的方法。分類思想是初中學生必須掌握的一種數(shù)學思想，初中生只有學會這種思想，才能高效地解答某些數(shù)學習題。

一、引導學生結(jié)合數(shù)學公式分類

在應用分類思想解決數(shù)學問題的時候，有些初中生會問，哪些數(shù)學習題需要應用分類思想來解決，哪些習題不需要應用分類思想來解決呢？數(shù)學教師要引導學生從數(shù)學概念、數(shù)學性質(zhì)的角度理解眼前要解決的數(shù)學問題需要不需要分類。

以初中數(shù)學教師引導學生做習題1為例：如果|m-n|=n-m，并且|m|=4，|n|=3，那么求出（m+n）=（m+n）2的數(shù)值。這一道數(shù)學習題是解絕對值的習題，絕對值問題的性質(zhì)本身就存在分類的概念。絕對值存在正值、負值、零的問題。學生在解決絕對值問題時，尤其不能忽略絕對值可能為零的問題，否則可能出現(xiàn)解題錯誤?，F(xiàn)解答習題1：由于|m|=4，并且|n|=3，因此m=±4，n=±3，結(jié)合條件|m-n|=n-m，于是可得n-m ≥0，n≥m。將條件代入不等式中，即n=3時，m 的取值為-4，（m+n）2的數(shù)值為1；而當n=-3時，m的取值為-4，（m+n）2的數(shù)值為49。于是可得（m+n）2的數(shù)值為1或49。在數(shù)學問題中，平面幾何問題也存在分類的概念，比如平面幾何問題可以分為四邊形問題、三角形問題、圓形問題等，每一類問題中又包含有數(shù)個問題。幾何問題可以用分類問題來討論，概念問題也存在分類討論的問題……。數(shù)學教師要引導學生了解分類思想是一種重要的解決數(shù)學問題的思想，學生要學會給數(shù)學概念、數(shù)學公式應用分類思想解決各種數(shù)學問題。

學生在解決數(shù)學問題中，可能會遇到一些需要應用到數(shù)學概念、數(shù)學公式的問題，此時學生可應用分類思想解決這些數(shù)學問題，在這一環(huán)節(jié)里，學生需要關注的是是否漏掉了某些數(shù)學分類。如果學生深入了理解數(shù)學概念和數(shù)學公式，便能應用分類思想解決該類數(shù)學問題。

二、引導學生結(jié)合隱含條件分類

學生在解決數(shù)學問題的時候，有些問題的分類條件是隱含的，需要學生自己去尋找出來的。教師要引導學生應用數(shù)形結(jié)合的思路來看待這些數(shù)學問題，正確的對數(shù)學問題分類。

以初中數(shù)學教師引導學生學習習題2為例：⊙O是等邊△ABC的外接圓，其中D是BC上異于B和C的一點。問題1：在CD的延長線上的延長線上取點E，令DE=BD，求證△BDE是等邊三角形；問題2：BD的度數(shù)比為1∶3，⊙O的半徑為1，取點F，使△DCF為等腰鈍角三角形，求DF的取值范圍。參看這一題的問題2，如果學生能夠發(fā)揮空間想象力，便能了解F有三種取值方法，這三種取值方法的描述如圖1、圖2、圖3，只要學生的空間想象力不足，就會漏掉解題的條件。習題2的取值條件與數(shù)學概念和數(shù)學公式有關，然而卻并非包含在數(shù)學概念和數(shù)學公式里，學生必須依靠自己的想象力挖掘隱藏的取值范圍，找到完整的解題思路。數(shù)學教師在引導學生應用分類思想解決數(shù)學問題的時候，要引導學生了解到有些數(shù)學問題的分類方法不是顯而易見的，如果學生發(fā)散能力不足，可能就會忽略掉隱藏的解題條件。為了避免解題時出現(xiàn)這種問題，教師要引導學生在遇到較難的數(shù)學問題時，學會用數(shù)形的方法輔助思想，圖形的直觀性比較強，學生可借助幾何圖形、座標圖形發(fā)揮想象力，挖掘習題中隱藏的數(shù)學條件。

學生如果僅僅應用現(xiàn)有的數(shù)學概念、數(shù)學公式，可能還不能解決部分數(shù)學問題的分類問題，教師要引導學生用另一種角度思考數(shù)學問題：嘗試應用豐富的想象力找到數(shù)學問題的分類，再應用分類思想解決數(shù)學問題。

三、引導學生結(jié)合復合條件分類

部分數(shù)學問題不能應用一種分類思想分類，它可能存在多種分類的思路，這時數(shù)學問題的分類就顯得比較繁鎖。為了幫助學生找到分類的要點，數(shù)學教師要引導學生用抽象的復合條件看待數(shù)學分類的問題。找到分類的切入點。

以數(shù)學教師引導學生做習題2為例：已知拋物線y=x2+x+m與x軸相交于A、B兩點，與y相交于C點，求△ABC 可能出現(xiàn)的分類。這一題的分類問題由三個因素決定，第一個因素為拋物線的因素，第二個因素為直線的因素，第三個因素為座標軸的因素。學生只有全面的考慮這三個問題，才能準確地抓住這個數(shù)學問題的分類要點。數(shù)學教師在引導學生解決這類數(shù)學問題時，要引導學生用集合的思路來思考數(shù)學問題的分類。即將第一個因素和第二個因素視為兩個集合，從中找到分類問題的交集。然后該交集形成一個新的集合，結(jié)合該集合與第三個因素集合進行判斷，再次得到集合。該集合就是數(shù)學分類問題的分類條件。應用該思路，可找到習題3的解題思路，描述如圖4與圖5。初中生在遇到數(shù)學問題時，有時涉及到數(shù)學問題的分類因素比較多。教師要引導學生應用集合與排除的思路找到數(shù)學問題分類的條件。

學生在遇到復合數(shù)學問題分類因素時，要應用抽象的思路來考慮數(shù)學分類的問題，此時學生首先要用抽象的思路找到影響數(shù)學問題分類的因素，然后結(jié)合多種因素繪制出幾何圖形及排出流程圖來找到數(shù)學問題分類的關鍵。當學生找到數(shù)學分類的關鍵時，可通過畫圖來驗證自己的分類思路是否具有可行性。

分類思想是解決數(shù)學問題的一個重要思想，初中學生如果學會應用數(shù)學分類思想，就能把一個復雜的數(shù)學問題變?yōu)閹最惡唵蔚臄?shù)學問題，化簡解題的過程。然而學生應當如何應用分類思想呢？本次研究說明了分類思想應用的方法，數(shù)學教師要引導學生掌握本次研究所述的數(shù)學分類技巧，這些數(shù)學分類技巧會成為學生解決數(shù)學問題的有力武器。

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