褚智偉

[摘 要] 數學知識的抽象性和邏輯性決定了數學課堂的枯燥和無味，但是，在數學課堂中合理地利用數學游戲可以改善學生對數學的理解，激發(fā)學生學習數學的興趣，對數學知識形成積極的求知欲，同時，利用所學的數學知識又可發(fā)掘游戲中的奧妙，獲得數學游戲的成功，從而實現在數學課堂的共生理想.

[關鍵詞] 共生；數學知識；數學游戲

共生理論

“共生”一詞，最初出現在生物學當中. 我國研究者吳飛馳在《關于共生理念的思考》中指出：“共生是人類之間、自然之間以及人與自然之間形成的一種相互依存、和諧、統一的命運關系.” 因此，共生關系的核心在于既相互依存、互惠互利，又尊重個性、和而不同，這同樣是我們教育領域極力追尋的一種理想狀態(tài). 那么作為教育的主陣地——課堂也可確立一種共生的理想.

數學課堂因為數學知識本身的抽象性和邏輯性，給人一種嚴肅而乏味的感覺，它不像藝術或者文科課程那樣具有直觀性及美感. 因此，大多數學生覺得數學課是枯燥的，對數學的學習提不起興趣，應付完考試后可能對所學的數學知識也就遺忘了. 數學游戲是以游戲為手段，數學知識為載體的一項數學活動. 數學游戲作為數學文化的一部分，極具趣味性、挑戰(zhàn)性和思想性. 如果我們能合理地將數學游戲融入數學課堂，那么它既可以彌補數學課堂的枯燥無味，激發(fā)學生的游戲精神，又可以讓學生在數學游戲中感受數學知識的重要，那么，我們就可以實現數學課堂中的一種理想共生.

當然，我們在這里并不是強調數學課堂就變成數學游戲課堂，數學游戲的融入應該是結合教學實際情況安排時間來指導學生學習的，它更多的可以理解為學生數學學習的一種輔助手段，但又是有著積極影響的. 因此，通過數學游戲可以激發(fā)學生的學習興趣，豐富數學知識，加深對數學的認識，培養(yǎng)觀察、動手和思考能力，讓學生樹立積極靈活應用數學的態(tài)度.

如何讓數學游戲和數學知識合理共生就值得我們去思考，因此游戲的選擇以及合理的安排就顯得格外重要，以下就結合筆者的教學實踐來說明.

數學游戲融入數學課堂案例

1. 消失的面積

2009年劉謙的“拼圖魔術”讓人感到有些“不可思議”，大概的表演過程如下：劉謙拿出一個正方形的積木，它被分割成若干個部分，小時候，他先把它弄亂，然后很快重新拼成正方形，自我感覺非常聰明，但是店員告訴他忘拿了一小塊，經過他的一系列操作后，拼成原來的形狀；更為神奇的是，店員告訴他還忘拿了一小塊，這塊比剛才的那小塊還大，經過他的又一系列操作后又變回原來的形狀，從此后他再也不敢碰它.

很多人認為這個魔術利用的是菲波那切數列，這是個誤區(qū)，實際上跟那個數列沒有關系. 為了更好地說明這個魔術的原理，我們做了幾個圖，把拼圖的模型還原，看看到底是怎么回事，圖1是原圖，就是積木剛拿出來時的原始尺寸，是7×6見方的，與他用的那個模板尺寸相同.

注意，當他打亂積木，并且重新擺好的時候，成了圖2的樣子，9號塊已經沒有了，仔細看錄像，可以發(fā)現是壓在了2號塊的下面，所以2號塊可能是下面空心的. 現在，拼圖的尺寸已經不足7*6了，但是肉眼很難覺察出來. 然后他拿出來一塊“a”拼在圖里，成了圖3的樣子，注意尺寸還是不足7×6. 又拿出一塊“b”并且旋轉90度，拼入圖中，成了現在的樣子. 此時，因為a塊+b塊的尺寸之和與9號塊的面積相等，所以現在的圖形恰好達到了原始尺寸：7×6. 此時用模板一卡，正好是嚴絲合縫的.

為了幫助揭秘，先從一個簡單的拼圖魔術著手，單擊圖5中的移動按鈕，則左圖中的每一小塊在經歷簡單的平移操作后便成為右圖，可是中間多出了一小塊空白的正方形. 玄妙在哪兒呢？當鼠標在繪圖區(qū)的空白區(qū)域右擊，勾選“顯示網格”后，觀察圖6，會發(fā)現其中的秘密——是眼睛欺騙了我們，移動前的正方形變化后不再是正方形，而是一個長方形.

這個魔術其實就是等積變換的應用，并不需要高深的數學知識，之所以將它融入課堂，就是想告訴學生眼見不一定為實，所以，筆者近幾年來都會在第一次數學課中演示這個魔術給學生看，目的很簡單，就是通過這個關于數學的魔術讓學生感受數學知識在生活中的應用，對數學有一個更全新的認識，從而改進學生數學學習的態(tài)度.

2. 數學游戲漢諾塔

“漢諾塔”是來自印度古老的傳說，大致內容為：在世界中心貝拿勒斯的圣廟里，一塊黃銅板上插著三根寶石針，印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界的時候，在其中一根針從上到下穿好了由大到小的64片金片，這就是所謂的漢諾塔，也叫河內塔. 梵天命令僧侶們把圓盤從下到上按大小順序重新擺放在另一根針上，并且規(guī)定：在三根針之間只能移動一個圓盤，每次移動時小圓盤上不能放大圓盤. 從此，不論白天黑夜，總有一個僧侶在按照法則移動這些金片，一次只能移動一片，不管在哪根針上，小片必須在上面. 僧侶們預言，當所有的金片都從梵天穿好的那根針上移動到另外一根針上時，世界就將在一片霹靂中毀滅，而梵塔、廟宇和眾生也都將同歸于盡.這個預言會實現嗎？

這個游戲的玩法就是：用最少的步驟將一根柱子上的圓環(huán)全部移到另一根柱子上，并且要求一次只能移動一個圓環(huán)并且小圓環(huán)必須始終在大圓環(huán)上面，并且可以知道需要移動的最優(yōu)次數是多少.

要完成這個游戲，從數學知識本身而言要學習數列及數學歸納法，就思維層次而言要具備一定的思考能力及歸納推理能力. 所以我們就需要在完成上述教學任務后開展此數學游戲活動，當然這個數學游戲的基礎是學生的動手操作，關鍵是利用倒推法給出合理玩法及算法. 要找到這個游戲的核心思路和關鍵步驟的前提并不是以64個圓環(huán)開始研究的，而是嘗試從較少個圓環(huán)開始的，用倒推法，推導出移動3個環(huán)和4個環(huán)，可以發(fā)現玩好漢諾塔的關鍵是要想清楚第一環(huán)究竟要移到目標柱，還是先移到輔助柱. 得出單數個環(huán)，就要將第1環(huán)移到目標柱去，雙數個環(huán)，就要將第1環(huán)移到輔助柱去. 這就是玩好漢諾塔的秘訣，關于算法我們可以分析到首先被移到目標柱的必定是最大的環(huán)，否則違反“在移動過程中始終保持小盤在大盤之上”的規(guī)定. 既然要將最大的環(huán)移到目標柱，此時最大環(huán)之上必定沒有任何盤子，也就是它獨自在一根柱子上，要做到這點最優(yōu)做法當然是把較小的n-1個環(huán)由起始柱移到輔助柱，剩下的最大的環(huán)獨自在起始柱，將n-1個環(huán)由起始柱移到輔助柱的最小次數為f（n-1）. 此時再將最大環(huán)由起始柱移到目標柱，此時，移動總數為f（n-1）+1，接著把剩下的n-1個環(huán)由輔助柱移到目標柱，花費的最少次數也是f（n-1），則f（n）=2×f（n-1）+1. 利用數學歸納法及等比數列公式可以得出通項公式：f（n）=2n-1，我們發(fā)現，利用這個公式，印度傳說中的n=64，需要移動多少次呢？f（n）=264-1，假如每秒鐘一次，需要5845億年，而地球存在至今不過45億年. 看來僧侶們的預言不太容易實現.

關于漢諾塔這一具有操作性的數學游戲，需要一定時間的操作，將外部的動作內化，通過學生的思考和探究，得出解決這一問題的策略，它既訓練了學生思維的深刻性和靈活性，同時又可以在課后成為與魔方、九連環(huán)等一樣具有競技性的數學比賽，讓學生感受到數學的有趣.

3. 天平稱重問題

問題：某工廠生產了一批乒乓球，在質量檢驗時，不小心把一只次品乒乓球與11只正品混在一起去了，由于次品乒乓球除了在質量上與正品不同外，其余屬性（如大小、外觀等）完全一樣，因此無法從外表上把它區(qū)分出來，現在只有一架沒有砝碼的天平，要求只能稱三次，就把次品乒乓球找出來，并要弄清楚次品比正品重還是輕.

關于天平稱次品問題是一個較為經典的數學游戲，看上去具有操作性這一特點，但實質它與漢諾塔這類問題是截然不同的，需要合理的分類討論，我們的解決過程是將這12只乒乓球編成1，2，3，…，12，這12個號碼. 借助于類似于數形圖的方式，給出分析的過程.

第一次稱，先將12只乒乓球任意分成三組，每組4只，然后把任意兩組置于天平兩端（如1，2，3，4和5，6，7，8），天平就有平衡和不平衡兩種情況.

一、天平平衡，則次品就在9，10，11， 12這組中，這時可以把9，10，11，12中的任兩只（如9和11）放在天平的一端，另一只（如10）和一只正品放在天平的另一端進行第二次稱，它也有平衡和不平衡兩種情況.

（一）天平平衡，則12就是次品，把12和一只正品在天平上第三次稱時，就能決定12比正品重還是輕.

（二）天平不平衡，次品就在9，10，11中，假如天平左重右輕，將9與10對換，并把對換后的10再與另一個正品對換，這時有三種可能：1. 天平變平衡，則10就是次品，且比正品輕；2. 天平不變（仍是左重右輕），則11就是次品，且比正品重；3. 天平變成左輕右重，則9就是次品，且比正品重.

二、天平不平衡. 次品就在第一組（1，2，3，4）或第二組（5，6，7，8）中，設天平左重右輕，把天平重端的任意三只（如1，2，3）與天平輕端的任意一只（如5）放在天平的左端，天平重端剩下的一只（如4）與三只正品放在天平的右端，進行第二次稱，這時也有三種可能：

（一）天平平衡，則次品就在6，7，8中，且比正品輕，把6，7，8中的任意兩只（如6，8）放在天平上進行第三次稱，如天平平衡，則7就是次品；如天平不平衡，輕的一端那一只就是次品.

（二）天平不平衡，仍然是左重右輕，則次品就在1，2，3中，且比正品重，按上面的方法在第三次稱重中就能找到那只比正品重的次品乒乓球.

（三）天平不平衡，但變成左輕右重，則4或5就是次品，這時把4或5與一只正品放在天平上第三次稱，就能找出比正品重（或輕）的次品.

天平稱重問題是最考驗學生思維清晰度的一個數學游戲，這個其實就是我們數學解題中常用的分類討論方法，對學生的邏輯思維有很好的訓練作用.

4. 量筒量水問題

問題：利用兩只容量分別為13升與17升的水桶，得出15升的水.自來水龍頭可以隨時隨地地提供自來水，不受限制，并假定在倒進倒出時，操作十分謹慎，從未發(fā)生過耗損.

在初等數學課上筆者就讓學生思考這一問題，很多學生經過長時間的思考后列出了圖表，

在學生進入?？齐A段學習了不定方程后，筆者又把這道題目拿出來，學生發(fā)現可以用方程來解決該題，相當于去求不定方程13x+17y=15的整數解.

由于13和17互質，可以先求出上面這個不定方程的通解.

x=17k-8，y=-13k+7，（k是整數）

由此得出兩組絕對值比較小的整數解，

k=0時，x=-8，y=7，

k=1時，x=9，y=-6.

這兩組解分別決定了兩種倒出倒進的方法.

學生親身感受到了對于同一數學問題在不同層次的數學知識基礎上的差異，而且更加確定了在數學學習中“走得越高才能看得越遠”，對數學的學習產生了更積極的態(tài)度.

結語

一個學生從開始上學到工作，所學的數學知識，如果不是從事與數學有關的工作，很有可能會遺忘，但是不論其從事什么工作，銘記在頭腦中的數學思想、所經歷的數學活動及求知能力和探究方法，將是不易磨滅的，而數學游戲就具有這樣的一個功能，它可以幫助學生更好地理解數學，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力，激發(fā)學生學習數學的興趣.

同時，數學課堂中數學知識的獲取與數學游戲的開展并不矛盾，而是相互依托，共同發(fā)展的. 學生在數學課堂中通過數學游戲培養(yǎng)數學能力，形成積極的情感及態(tài)度，這恰恰就是我們教育的目標. 當然，要使數學游戲順利開展也需要借助于數學知識經驗. 那么，要順利地將數學游戲融入數學課堂，對教師的素養(yǎng)也提出了較高的要求，對數學的理解，對數學文化的意識，與數學相關的各學科知識的掌握以及教學藝術的熟練應用等，這就需要在教學實踐中不斷地摸索及思考.