胡重光 周 志
小學(xué)數(shù)學(xué)中的運算和運算定律
胡重光 周 志
運算是小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容,關(guān)于運算的基本理論無疑是小學(xué)數(shù)學(xué)教師必須掌握的。但是,我國的小學(xué)教師一般都沒有系統(tǒng)地學(xué)習(xí)它,小學(xué)教師培訓(xùn)一般也沒有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的內(nèi)容。本文擬對運算和運算定律及其教學(xué)作一個扼要的介紹。
在數(shù)學(xué)中,運算是再普通不過的事了。但是要回答什么是運算卻并不容易說清楚。我國的小學(xué)數(shù)學(xué)界至今沒有給出運算的定義,卻給加、減、乘、除都下了定義。比如,加法的一種定義是:把兩個數(shù)合成一個數(shù)的運算叫做加法。說加法是一種運算,但之前并沒有說什么叫運算,這樣我們還是不知道什么是加法。再如,什么叫“把兩個數(shù)合成一個數(shù)”也沒說清楚。1和2合成12,也是把兩個數(shù)合成了一個數(shù)。這樣的定義我們曾長期使用,至今仍在流行。
考察加、減、乘、除這些運算,可以發(fā)現(xiàn)它們具有一些共同點:都是在兩個數(shù)之間進行的,都按照某種法則進行,結(jié)果都得到一個確定的數(shù)。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家M. K.格列本卡和C.E.里亞平合著的《算術(shù)》(這本書是蘇聯(lián)師范??茖W(xué)校的教科書。我國北師大教授郝新將其譯成中文,由高等教育出版社出版)一書中給運算下的定義就是:
設(shè)給定兩數(shù)a與b,根據(jù)已知的規(guī)則,由給定的兩數(shù)來求新數(shù)叫做運算。
這一定義顯然是按照上述三個特點作出的。但是運算的結(jié)果不一定得到新數(shù),例如1×1=1。定義沒有說求得的新數(shù)是一個還是不只一個。如果限于我國目前小學(xué)數(shù)學(xué)的范圍,則可以說結(jié)果是一個確定的數(shù)。仿照這兩位數(shù)學(xué)家給出的定義,我們可以給小學(xué)數(shù)學(xué)中的運算下一個定義:
定義1:給定兩個數(shù),依照某種法則,由這兩個數(shù)求得一個確定的數(shù)叫做運算。
這個定義基本上體現(xiàn)了運算的本質(zhì),也比較通俗易懂。
運算的更一般的定義可從張禾瑞的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》中找到。該書用集合和映射的觀點給代數(shù)運算下了定義。算術(shù)運算是代數(shù)運算的特例。該書所定義的運算,其結(jié)果是唯一的。
有了運算的定義,我們就可以據(jù)此定義加、減、乘、除了。這幾種運算的區(qū)別,在于它們的運算法則不同。由于法則不同,所得的結(jié)果一般也不同。這四種運算的結(jié)果分別有不同的名稱:和、差、積、商。首先我們在自然數(shù)的范圍內(nèi)考察運算。
(一)自然數(shù)的加法
定義2:設(shè)a、b是兩個自然數(shù),從a起數(shù)b+1個數(shù),數(shù)到的最后一個數(shù)叫做a與b的和。
例如,2與3的和,就是從2起數(shù)4個數(shù):2、3、4、5,數(shù)到的最后一個數(shù)是5,所以2與3的和是5。
這一定義既規(guī)定了什么是兩個自然數(shù)的和,也給出了求兩個自然數(shù)的和的方法。
根據(jù)這兩個定義,我們就可以給加法定義如下:
定義3:求兩個自然數(shù)的和的運算,叫做自然數(shù)的加法。
(二)自然數(shù)的減法
對于減法,我們可以用同樣的方法定義。首先定義兩個自然數(shù)的差:
定義4:設(shè)a、b是兩個自然數(shù),b≤a。從a起倒數(shù)b+1個數(shù),數(shù)到的最后一個數(shù)叫做a與b的差。
例如,3與2的差,就是從3起倒數(shù)3個數(shù):3、2、1,數(shù)到的最后一個數(shù)是1,所以3與2的差是1。
然后給出減法的定義:
定義:5:求兩個自然數(shù)的差的運算叫做自然數(shù)的減法。
由差的定義可以看出,減法是加法的逆運算。加法與減法的關(guān)系可以用下面的算式表示:
如果a+b=c,那么c-b=a或c-a=b。
因此,我們也可以這樣定義減法:
定義5’:已知兩個加數(shù)的和以及其中一個加數(shù),求另一個加數(shù)的運算叫做減法。
根據(jù)這個定義,我們可以利用加法來做減法。例如,由2+3=5即可得出5-2=3或5-3=2。
(三)自然數(shù)的乘法
我們通常將乘法定義為同數(shù)連加的簡便運算。這一定義也是長期使用并流行至今的。但它并沒有說明什么是乘法,因為簡便運算這一概念是不明確的。為了定義乘法,同樣要先定義乘積。
定義6:(1)設(shè)n是正整數(shù),m是自然數(shù),n個m相加的結(jié)果叫做m與n的乘積,簡稱積,記作m×n。
(2)m與0的積為0:m×0=0。
(3)m與1的積為m:m×1=m。
例如,3個2相加的結(jié)果,叫做2與3的積,記作2×3。特別地,0×3=0+0+0=0。
但是,3×0不能認為是0個3相加,3×1也不能認為是1個3相加(在這里當(dāng)然不能利用乘法的交換律把3×0轉(zhuǎn)化為0×3)。然而從現(xiàn)實問題不難得到3×0、m×1、0×0的正確結(jié)果。例如:
數(shù)學(xué)課上老師出了3道思考題,每做對1道思考題老師獎3顆五角星。丁丁做對了2道思考題,亮亮做對了1道思考題,晶晶沒做對1道思考題,三人各得了幾顆五角星?
這道題的數(shù)量關(guān)系是:
每道題獎勵的五角星數(shù)×做對題數(shù)=得到的五角星數(shù)
丁丁得的五角星數(shù)是:3×2=6(顆),
亮亮得的五角星數(shù)是:3×1=3(顆),
晶晶得的五角星數(shù)是:3×0=0(顆)。
晶晶沒有做對思考題,當(dāng)然得不到五角星,由此可知0乘3的積應(yīng)當(dāng)是0。
如果再添一問:晶晶得了幾面紅旗?因為老師只獎五角星,不獎紅旗,就是說,做對1道思考題獎勵的紅旗面數(shù)是0,晶晶做對了0道,所以她得的紅旗面數(shù)是:0×0=0(面)。
這樣我們又得出0乘0的積為0。
這樣的例子是小學(xué)生也可以理解和信服的。
有了定義中的(2)、(3)兩條,則乘法交換律對任意自然數(shù)都成立了。
乘積的定義隱含一個順序:m×n表示n個m相加,即m表示相同加數(shù),n表示相同加數(shù)的個數(shù)。在傳統(tǒng)教材中,這一點是十分明確的。但自2000年開始課改以來,新教材認為不必區(qū)分乘數(shù)和被乘數(shù),一律稱為因數(shù)。3個2相加既可寫作2×3,也可寫作3×2。從乘法的意義雖然可以得出2×3與3×2結(jié)果相同,但兩者的意義并不同。買3斤橘子每斤2元與買2斤橘子每斤3元顯然不能混為一談。因此,我們可以不區(qū)分乘數(shù)和被乘數(shù),但不能不區(qū)分2×3與3×2,不能因為學(xué)生易錯就放棄原則。
類似地,乘法的定義是:
定義7:求兩個自然數(shù)的乘積的運算叫做自然數(shù)的乘法。
(四)自然數(shù)的除法
除法的意義有兩種。一種是等分除法,即把一個數(shù)平均分成若干份,求每份是多少。例如,將12平均分成3份,求每份是多少。方法是看哪個數(shù)乘3等于12。因為3×1=3,3×2=6,3×3=9,3×4=12,所以12÷3=4。另一種是包含除法,即求一個數(shù)包含幾個另一個數(shù)。例如,求12包含幾個4。方法是看4的幾倍等于12。因為4×1=4,4×2=8,4×3=12,所以12÷4=3。由此我們看到,除法可定義如下:
定義8:已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù),求另一個因數(shù)的運算叫做除法。
除法有一個重要的性質(zhì),就是0不能做除數(shù)。通常我們這樣說明其道理:
設(shè)a÷0=b,那么0×b=a。若a≠0,那么這樣的b不存在,即這個除法沒有商;若a=0,那么b可以為任意數(shù),即這個除法的商可以是任意一個數(shù)。
這個道理看起來很有說服力,但對小學(xué)生講卻是不合適的,因為兒童總是從實際意義方面看問題的。我們可以把一個數(shù)(或量)平均分成幾份,如果一人獨占也可以說只分成1份,但是平均分成0份顯然是說不通的。我們可以說6里面包含幾個3、幾個2、幾個1,但是說6里面包含幾個0顯然也是說不通的。這樣的解釋兒童是可以理解的。
自然數(shù)中的四則運算還有一個重要的不同之處:加法和乘法對任意兩個自然數(shù)都能實施,但減法只有在被減數(shù)不小于減數(shù)時才能實施,除法受的限制最大,只有在能整除時才能實施。對于一個正整數(shù)n,可以實施n+1次減法運算,除法則遠少于這個數(shù)字?,F(xiàn)實生活中有余數(shù)的除法是常見的,能整除的除法則是不常見的。因此,教學(xué)中應(yīng)該多出現(xiàn)有余數(shù)的除法。
自集合論流行以來,基數(shù)理論被廣泛使用。例如,美國的卡爾B·艾倫多弗寫了一本專供小學(xué)教師使用的書《關(guān)于算術(shù)和幾何的原理》就是只用基數(shù)理論的。該書的加法定義是:
n(A)+n(B)=n(A∪B),
即a+b=n(A∪B)。
書中舉例說:要說明2+3=5,我們采取以下步驟:
(1)選取集合A,使n(A)=2,即選取的集合有2個元素。
(2)選取集合B,使n(B)=3,a并使A與B不相交。即選取的B有3個元素,其中沒有一個是A的成員。
(3)構(gòu)成A∪B。
(4)找出n(A∪B)=5。
(5)然后用等式a+b=n(A∪B)定義加法。
顯然,這一定義相當(dāng)繁瑣,并且它沒有給出加法的法則。進一步我們還會發(fā)現(xiàn),按這一定義證明加法結(jié)果的唯一性、加法的運算定律等都比較復(fù)雜。更重要的是,學(xué)前兒童是自發(fā)地用數(shù)數(shù)的方法計算加法的。
序數(shù)理論受到一些著名數(shù)學(xué)家的高度重視,M.K.格列本卡和C.E.里亞平在《算術(shù)》一書中強調(diào)指出:“數(shù)數(shù)的觀念以及與它聯(lián)系著的自然數(shù)列的觀念在算術(shù)中是極其重要的?!备ベ嚨撬枌π驍?shù)和基數(shù)理論作了很多論述。他高度評價序數(shù)理論:“無論從歷史的、發(fā)生的還是從系統(tǒng)的角度來看,數(shù)的序列都是數(shù)學(xué)的基石??梢哉f,沒有數(shù)的序列就沒有數(shù)學(xué)?!薄皟和茉缇烷_始學(xué)計數(shù)了,并把它當(dāng)成一種樂趣。他們的計數(shù)能力要遠遠超出對數(shù)量的理解?!瓟?shù)的概念產(chǎn)生中,計數(shù)數(shù)是最初始的,最具有意義的?!薄拔腋钊氲南敕ㄊ抢猛耆珰w納法,以計數(shù)數(shù)來奠定自然數(shù)及其運算的基礎(chǔ)。這是一種典型的,簡捷可靠、富有創(chuàng)造力的方法。”“加法是繼續(xù)計數(shù),減法是往回計數(shù),這是傳統(tǒng)的教學(xué)法中的一項基本原理。形成這項正確原理的靈感來自于數(shù)的計數(shù)這個側(cè)面,然而它卻被新數(shù)學(xué)的教學(xué)法專家忽視了。”“自然數(shù)的數(shù)量側(cè)面并不足以成為自然數(shù)引入的基礎(chǔ),它的效果不大,漏洞卻不小?!?/p>
用序數(shù)理論定義加法,由于自然數(shù)的性質(zhì)決定了數(shù)數(shù)的結(jié)果是唯一的,立刻就可得出加法結(jié)果的唯一性。
這樣,計數(shù)也歸結(jié)于數(shù)數(shù)。根據(jù)皮亞諾公理,每一個自然數(shù)都存在唯一的后繼數(shù),所以得:
由和的定義以及定理1立即得到:
由乘法的定義可知,乘法是特殊的加法,因此乘積是唯一存在的。
由于差是用倒數(shù)的方法得到的,所以當(dāng)減法能夠?qū)嵤r,其差是唯一的。
若兩個數(shù)的除法可以實施,那么商是唯一的,這一點可以證明如下:
假設(shè)a除以b(b≠0)得到兩個商q和q′,q≠q′,那么a=bq且a=bq′。由此得bq=bq′,b(q-q′)=0。
因為b≠0,所以q-q′=0,于是q=q′。這與假設(shè)矛盾,商的唯一性得證。
關(guān)于計數(shù),還有一個重要的計數(shù)公理:
根據(jù)這一公理,可以很容易地得出加法的交換律
a+b=b+a
因為a+b意味著先數(shù)a個數(shù),接著數(shù)b個數(shù);b+a意味著先數(shù)b個數(shù),接著數(shù)a個數(shù)。即交換加數(shù)的位置相當(dāng)于改變數(shù)數(shù)的順序。
加法的結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)的實質(zhì)也是數(shù)數(shù)順序的改變。
由于乘法是特殊的加法,乘法的運算定律也可以用計數(shù)公理說明,下面將結(jié)合運算定律的教學(xué)進行介紹。
教材對加法和乘法的交換律與結(jié)合律都采用了用具體例子說明的方法教學(xué)。例如,加法交換律的教學(xué)如圖1所示(其他運算定律的教學(xué)結(jié)構(gòu)完全相同)。
圖1
顯然,這里用的是不完全歸納法,因此教材的推理是有邏輯漏洞的。但教材沒有把這一漏洞告訴學(xué)生,這樣學(xué)生就會產(chǎn)生數(shù)學(xué)并不需要十分嚴謹?shù)挠∠?。事實上,用不完全歸納法是很容易犯錯誤的。舉一個最簡單的例子,素數(shù)都是奇數(shù),無論考察多少個大于2的素數(shù)都正確。但事實上大家都知道這是一個假命題。小學(xué)數(shù)學(xué)雖然要求淺顯易懂,但應(yīng)該是淺而不錯,易而有理。這里應(yīng)該如斯托利亞爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》一書中指出的:“在教學(xué)過程中,必須盡可能公開指明邏輯上的不得已的漏洞,而不能對學(xué)生隱瞞?!?/p>
其實,加法交換律可以利用圖來說明(如圖2)。
圖2
從左往右數(shù)是3+2,從右往左數(shù)是2+3,根據(jù)計數(shù)公理,應(yīng)有3+2=2+3。
還可以利用數(shù)軸來說明(如圖3)。
圖3
乘法的交換律和結(jié)合律也可用類似的圖形模式或?qū)嵨锊僮鱽碚f明(如圖4、圖5所示)。
圖5
由圖4可以得出:4×3=3×4;
由圖5可以得出:(2×4)×3=3×(2×4)=(3× 2)×4。
這些圖雖然只涉及具體例子,但它提供了一個形象的模式,學(xué)生從中可以看出,圖中小圓圈的個數(shù)和長方體的層數(shù)都是可以任意給定的。由此他們體會到,上述運算定律具有一般性。需要注意的是,圖5是立體圖,中年級的兒童觀察它可能有一定的困難,最好采用實物操作的方法,用小立方塊拼出這個長方體。還可設(shè)計一個活動讓學(xué)生自己操作、計算,則更有意義。
如果作出下面的兩個圖(如圖6、圖7)還可分別得出:a+b=b+a,m×n=n×m(字母都代表正整數(shù))。
這可以說具有一般性了。
圖6
圖7
我國的小學(xué)數(shù)學(xué)課程沒有介紹乘法和除法的分配律,但這兩個定律分別是多位數(shù)乘法和除法法則的依據(jù)。它們也可以用類似的圖(如圖8、圖9)來說明。
12×3=(10×3)+(2×3):
圖8
39÷3=30÷3+9÷3:
圖9
(本文是基金項目:湖南省教育科學(xué)規(guī)劃課題(XJK013CJC004)、湖南省省級重點建設(shè)學(xué)科“課程與教學(xué)論”建設(shè)項目資助的階段性成果)
(作者單位:湖南第一師范學(xué)院長沙市實驗小學(xué))