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      抽象數(shù)學(xué)中的形象教學(xué)思路

      2016-11-15 10:16張法寬
      關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)抽象高中數(shù)學(xué)

      張法寬

      [摘 要] 抽象的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容會形成高比例的學(xué)困生,在抽象數(shù)學(xué)中堅持形象教學(xué)的思路,可以有效解決學(xué)困生問題,可以從面上提升學(xué)生有效構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的有效性. 形象化教學(xué)思路的基本過程,就是提供形象化的事例,然后讓學(xué)生進行數(shù)學(xué)抽象,并在變式訓(xùn)練或問題解決中加以檢驗與評估.

      [關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);抽象數(shù)學(xué);形象教學(xué)思路;數(shù)學(xué)抽象

      高中數(shù)學(xué)以抽象著稱,尤其是我國的高中數(shù)學(xué)教學(xué),其難度世界聞名. 筆者以為,這里所說的“難”,就是指其抽象性. 數(shù)學(xué)本身就是抽象的,作為生活對象的高度抽象的產(chǎn)物,高中數(shù)學(xué)所研究的數(shù)與形,基本上都是純粹的符號或者圖形,其與生活的聯(lián)系是很遠的,尤其是在應(yīng)試的教學(xué)環(huán)境中,學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上思維所加工的對象,幾乎全部是抽象的對象. 這使得高中數(shù)學(xué)難學(xué)成為一個公認的說法. 但如果換一個角度,即從教師教學(xué)的角度來看,尤其是從構(gòu)建有效教學(xué)的要求來看,高中數(shù)學(xué)教學(xué)似乎又回避不了形象的教學(xué)思路. 這樣的判斷實際上是將落腳點落在學(xué)生的身上,即從學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的角度來看,一般都需要經(jīng)歷一個從形象思維到抽象思維的過程,即使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果是抽象的,但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程卻不能只走抽象之路. 建立這樣的認識,顯然有助于化解學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難度.

      2016年第一期的《教育研究與評論》雜志刊登了秦霞老師在2015年江蘇省高中數(shù)學(xué)青年老師優(yōu)課觀摩與評選活動中所上的《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性》一課基礎(chǔ)上形成的《生活中抽象,合作中探究,數(shù)學(xué)中回歸》一文(以下簡稱“秦文”),以及專家的評析,筆者讀后深受啟發(fā),感覺其與筆者所強調(diào)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)要走形象教學(xué)的思路頗有一致的地方. 也是在該文的啟發(fā)之下,筆者本文得以順利形成.

      高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的形象化思路簡析

      形象化的教學(xué)思路,顧名思義,就是將抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程形象化. 要注意的是,這里強調(diào)的是過程而不是結(jié)果,因為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終結(jié)果必然是抽象的,否則就脫離了數(shù)學(xué)的基本特征,這不利于高中階段的學(xué)生建立對數(shù)學(xué)的準(zhǔn)確認識. 但是學(xué)習(xí)過程卻不必是抽象的,無數(shù)事實證明,純粹的抽象教學(xué)思路(即純粹的數(shù)學(xué)推理與計算)是不利于學(xué)生有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的,因此對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程而言,必要的形象是允許的.

      形象化教學(xué)思路是對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)思路的一種回歸,也是數(shù)學(xué)發(fā)展史的真實寫照. 真正的數(shù)學(xué)知識的生成過程并不純粹是抽象的結(jié)果,很多數(shù)學(xué)家正是在對形象事物的思考中獲得數(shù)學(xué)認知的,從畢達哥拉斯研究朋友家的地磚得出勾股定理開始,從牛頓、萊布尼茲等基于實際需要而發(fā)明“流數(shù)術(shù)”(微積分)等,都離不開對具體的事物的研究,然后才是一個數(shù)學(xué)化的過程. 相比較而言,今天的高中數(shù)學(xué)似乎從頭到尾都是抽象的數(shù)學(xué)符號,學(xué)生一進入數(shù)學(xué)課堂,大腦里就只有抽象的數(shù)學(xué)符號與圖形,這顯然難以讓學(xué)生進行有效的數(shù)學(xué)加工,畢竟高中學(xué)生雖然抽象思維能力有所發(fā)展,但形象思維依然是他們的思維基礎(chǔ). 更何況有教育心理學(xué)的研究結(jié)果表明,當(dāng)學(xué)生在抽象思維中遇到無法解決的困難時,他們還是會試圖通過形象思維去解決問題. 如果學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上沒有發(fā)揮形象思維的機會,那就意味著失去了自我化解困難的機會,這對于學(xué)困生的形成而言,簡直就是一個天大誘因.

      秦霞老師在上“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”這一課時,就很好地借助了形象化的教學(xué)思路. 正如其在教學(xué)思考中所指出的那樣,“借助幾何直觀,通過實例歸納函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,經(jīng)歷由形到數(shù)的過程”,這樣的論述背后的形象化教學(xué)思路是明晰的. 在這里,幾何直觀不是簡單地作為一個普通的概念運用,而是精心設(shè)計了“形”之后再引導(dǎo)學(xué)生去認識“數(shù)”,這是真正的從形象到抽象的教學(xué)過程. 也如同鐘志華老師在評析中首先引用的數(shù)學(xué)家波利亞的話——“抽象的數(shù)學(xué)道理雖然重要,便要用一切辦法使它們看得見、摸得著”那樣,導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用(單調(diào)性)這一內(nèi)容在實踐的過程中,有著真正的看得見、摸得著的形象化過程.

      由此可見,在成功的高中數(shù)學(xué)課堂上,一般都離不開形象化教學(xué)思路的影子. 形象化教學(xué)思路應(yīng)當(dāng)成為高中數(shù)學(xué)教師在課堂上,尤其是在遇到教學(xué)難點時的自然選擇.

      高中數(shù)學(xué)教學(xué)形象化思路的實現(xiàn)途徑

      那么,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,如何實現(xiàn)教學(xué)的形象化呢?筆者一方面總結(jié)自身的教學(xué)實踐,另一方面總結(jié)他人的研究成果. 經(jīng)過梳理之后,發(fā)現(xiàn)有這樣的幾個切實有效的實現(xiàn)途徑.

      1. 途徑一:生活實例的引入

      高中數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系似乎沒有那么密切,因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中似乎難以尋找到可以直接使用的生活情境. 很多人都有這樣的認識,筆者以為形成這一認識的背后反映了數(shù)學(xué)教師在觀察教學(xué)內(nèi)容的時候,缺乏一種生活視角. 在秦文中,其在構(gòu)建某一曲線上的切線時,巧妙地基于生活實例構(gòu)建了一個數(shù)學(xué)思維的加工情境:一輛夜間行駛在弧形山坡上的汽車開著大燈. 于是,學(xué)生自然就認識到:弧形山坡相當(dāng)于一段曲線,而大燈則相當(dāng)于汽車所在的那一點的切線. 這樣的情境在學(xué)生的生活中并不罕見,而基于這一情境去構(gòu)建切線與曲線的關(guān)系,就顯得十分自然. 顯然,這樣的生活實例在此就起到了迅速引導(dǎo)學(xué)生入境的作用,是形象化教學(xué)思路的重要體現(xiàn).

      2. 途徑二:想象圖景的構(gòu)建

      生活實例更多地帶有生活的意味,因此生活實例是形象化教學(xué)思路的重要呈現(xiàn)方式,但與此同時要認識到的是,生活實例實際上是需要適當(dāng)加工的. 在上面的實例中,實際上教師在呈現(xiàn)圖像的時候,已經(jīng)進行了初步的加工,只是這樣的加工不影響生活實例的本質(zhì)特征. 還有一類加工,則有“來源于生活而高于生活”的味道,但其也可以作為形象化教學(xué)思路的途徑. 譬如在秦霞老師進一步進行探究的時候,就把剛才的汽車行駛在山坡上的生活實例,借助于幾何畫板抽象成了一根切線在一個圓弧上的圖形. 這個圖像此時呈現(xiàn)給學(xué)生可謂是恰到好處,一方面是對剛才生活實例的數(shù)學(xué)化處理,另一方面又不是純粹的數(shù)學(xué)意義上的圖像. 因此,這樣的想象圖景的構(gòu)建,在生活與數(shù)學(xué)之間搭建了一個很好的認知橋梁,使得學(xué)生的思維能夠由生活向數(shù)學(xué)有效轉(zhuǎn)化.

      3. 途徑三:抽象知識的圖表化處理

      形象化教學(xué)思路的最為常用的途徑,是將抽象的數(shù)學(xué)知識及其之間的關(guān)系,進行形象化的處理. 筆者在秦文中看到其在基于汽車行駛在弧形山坡上的例子梳理函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性的時候,利用一張簡圖描述了從山坡—曲線—函數(shù),從燈光向上—切線斜率k>0—f ′(x)>0的關(guān)系,這樣的圖像看起來簡潔,但又很好地梳理出了函數(shù)y=f(x)及其導(dǎo)數(shù)f ′(x)的單調(diào)關(guān)系,從而很好地闡釋了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用.

      當(dāng)然,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,形象化教學(xué)思路的實現(xiàn)途徑遠不止這三個,但歸結(jié)起來需要強調(diào)的是:形象化的思路一般都是從抽象的數(shù)學(xué)知識去進行逆向思維的,思考數(shù)學(xué)知識在實際生活中的存在場合或者應(yīng)用場合,往往是形象化教學(xué)思路的基礎(chǔ). 當(dāng)然,學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)史的知識,以從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中尋找到一些有益素材,也是形象化教學(xué)思路形成的基本途徑.

      高中數(shù)學(xué)教學(xué)形象化思路的判斷標(biāo)準(zhǔn)

      需要強調(diào)的是,高中數(shù)學(xué)教學(xué)中形象化教學(xué)思路是不是真的起到了形象的作用,這個判斷標(biāo)準(zhǔn)不在于教師的主觀感受,而應(yīng)當(dāng)以學(xué)生是不是能夠有效地利用形象思維進行數(shù)學(xué)知識構(gòu)建為基礎(chǔ),這也是“以生為本”的教學(xué)理念在這一教學(xué)細節(jié)中的真正落實.

      如同秦文中所說的那樣,“導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性這兩個概念都是非常抽象的,學(xué)生很難直接感知. 利用汽車上下坡時燈光的指向的聯(lián)系,可以讓學(xué)生進行有效的抽象……”. 由于學(xué)生進行了有效的抽象,即將道路抽象成曲線,將燈光抽象成切線,因此這樣的形象化教學(xué)思路就是有效的. 反之,如果在實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生難以將教師的形象化事例進行數(shù)學(xué)抽象,那這樣的形象化教學(xué)的初衷就沒有得到實現(xiàn),需要教師進行更多的細節(jié)性處理.

      還需要強調(diào)的是,教師對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的判斷有兩個時段:一是課堂上的即時判斷,即看自己的形象化教學(xué)設(shè)計有沒有達到預(yù)期的目的,學(xué)生基于形象事例的數(shù)學(xué)抽象過程是否順利. 這里特別要強調(diào)的是,關(guān)注不同層次的學(xué)生,切忌以少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生的思維過程代替對整個班級學(xué)生的判斷,否則很容易產(chǎn)生學(xué)困生而教師并不知道;另一個就是根據(jù)學(xué)生在變式訓(xùn)練或者問題解決過程中的結(jié)果進行判斷,變式之后的形象化場景學(xué)生能否有效地進行數(shù)學(xué)抽象,問題解決過程中學(xué)生能否用到新知學(xué)習(xí)時的數(shù)學(xué)抽象思路,都是判斷形象化教學(xué)思路有效程度的重要依據(jù).

      綜上所述,高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,為了化解知識本身的抽象性,需要進行形象化教學(xué). 只有這樣,才能降低學(xué)習(xí)難度,從而提升學(xué)習(xí)效度.

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