渠英（特級(jí)教師）

動(dòng)態(tài)問(wèn)題多變化，動(dòng)靜結(jié)合巧分類(lèi)——2015年河北省第26題思路突破與解后反思

渠英（特級(jí)教師）

圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是綜合性比較強(qiáng)的問(wèn)題，也是中考的熱點(diǎn)，因此備受關(guān)注.它需要以變化的、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)處理問(wèn)題，在解題中，要通過(guò)實(shí)驗(yàn)、操作、觀察和想象的方法掌握運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)，在圖形的運(yùn)動(dòng)中找到不變量，然后解決問(wèn)題.下面結(jié)合2015年河北省壓軸題給出其解題思路，幫助同學(xué)們加深理解.

（2015·河北）平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1擺放，分別延長(zhǎng)DA和QP交于點(diǎn)O，且∠DOQ= 60°，OQ=OD=3，OP= 2，OA=AB=1，讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蜷_(kāi)始旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤60°）.

圖1　

發(fā)現(xiàn)：

（1）當(dāng)α=0°，即初始位置時(shí)，點(diǎn)P_____直線AB上.（填“在”或“不在”）

求當(dāng)α是多少時(shí)，OQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.

（2）在OQ旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，簡(jiǎn)要說(shuō)明α是多少時(shí)，點(diǎn)P，A間的距離最小？并指出這個(gè)最小值.

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí)，求α及S陰影.

圖2　

拓展：如圖3，當(dāng)線段OQ與CB邊交于點(diǎn)M，與BA邊交于點(diǎn)N時(shí)，設(shè)BM=x（x＞0），用含x的代數(shù)式表示BN的長(zhǎng)，并求x的取值范圍.

圖3　

探究：當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時(shí)，求sinα的值.

【思路突破】

發(fā)現(xiàn)（1）思路突破：

延長(zhǎng)AB交直線OP于E，因?yàn)镺A=1，∠O為60°，可求OE的長(zhǎng)度等于2，即點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，所以點(diǎn)P在直線AB上；當(dāng)OQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，如圖4，由△AOB是等腰直角三角形，可知∠AOB為45°，所以旋轉(zhuǎn)角α為15°.

圖4　

發(fā)現(xiàn)（2）思路突破：

如圖5，連接PA，若點(diǎn)P、A、O構(gòu)成三角形，則有PA＞PO-OA，PO、OA長(zhǎng)為定值，PA＞1，若點(diǎn)P、A、O不能構(gòu)成三角形，即點(diǎn)P、A、O在同一條直線上，PA=PO-OA=1，所以，當(dāng)α=60°時(shí)，PA最小，最小值為1.

發(fā)現(xiàn)（3）思路突破：

如圖5，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí)，可構(gòu)造Rt△PHA，由PH=1，PO=2，得∠HOP= 30°，所以，α=60°-30°=30°.

設(shè)半圓與BC交于點(diǎn)R，連接RK，作RE⊥OQ，則陰影部分是由△PKR和圓心角為60°

圖5　

拓展思路突破：

如圖3，由∠ANO=∠BNM，則tan∠ANO= tan∠BNM，如圖6，因?yàn)镺C＞OD=OQ，所以當(dāng)OQ轉(zhuǎn)到Q點(diǎn)在BC上時(shí)，BM即為x所取最大值.作QF⊥OD，在直角三角形FQO中，由勾股定理得：

圖6　

探究思路突破：

因?yàn)镺Q=OD，所以在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，半圓K可與BC，CD，AD相切三種情況.

①當(dāng)半圓K與BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為T(mén)，構(gòu)造如圖7的直角三角形，并作KG⊥OO′，OK=只要求出KG的長(zhǎng)便可求sinα的值.

圖7　

②當(dāng)半圓K與CD相切時(shí)，即OQ與OD重合，sinα=sin60°=

③當(dāng)半圓K與AD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為T(mén)，構(gòu)造如圖8的直角三角形，并作KG⊥OO′，OK=只要求出KG的長(zhǎng)便可求sinα的值.

圖8　

【解后反思】

1.關(guān)鍵步驟是哪幾步？

拓展的關(guān)鍵步驟是利用三角函數(shù)或三角形相似將BN用字母x表示，而求x的取值范圍時(shí)，只有OQ轉(zhuǎn)到Q點(diǎn)在BC上時(shí)，BM最大；另外，探究中的關(guān)鍵步驟是分類(lèi)討論，半圓K與BC、AD相切容易想到，由于OQ= OD，半圓K與DC相切容易漏掉，構(gòu)造直角三角形將∠α放在直角三角形中也是關(guān)鍵.

2.有什么值得一學(xué)？

旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)、相似、直線與圓的位置關(guān)系、幾何中的最值、分類(lèi)討論思想是本題涉及的知識(shí)，也是各地中考?jí)狠S題的常見(jiàn)類(lèi)型.在復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)注意問(wèn)題的全面性、知識(shí)的連貫性及知識(shí)的遷移.遇到直角三角形既可考慮相似又可考慮利用三角函數(shù)列方程，遇到運(yùn)動(dòng)問(wèn)題要注意在利用分類(lèi)討論解決問(wèn)題時(shí)，做到不重不漏.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）