中學(xué)數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)發(fā)展對(duì)“二級(jí)思維跳躍模式”的積極影響

彭艷貴

(鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

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中學(xué)數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)發(fā)展對(duì)“二級(jí)思維跳躍模式”的積極影響

彭艷貴

(鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

在大學(xué)期間的數(shù)學(xué)課程中學(xué)到的知識(shí)對(duì)教師后繼的發(fā)展是有積極意義的，盡管其在教師的教學(xué)過程中無法以外在的形式直接發(fā)揮作用，但在教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的判斷、處理，數(shù)學(xué)思想方法的把握，以及教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)的理解等方面發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.特別是，大學(xué)中的專業(yè)課程學(xué)習(xí)使得學(xué)習(xí)者在思維層次上呈現(xiàn)出一種“二級(jí)思維跳躍”的特點(diǎn)，這對(duì)教師入職前的學(xué)科知識(shí)發(fā)展起到至關(guān)重要的作用.

中學(xué)數(shù)學(xué)教師；大學(xué)數(shù)學(xué)課程；學(xué)科知識(shí)發(fā)展；統(tǒng)攝程度

隨著數(shù)學(xué)學(xué)科本身的發(fā)展和數(shù)學(xué)教育水平的不斷提高，高等數(shù)學(xué)知識(shí)越來越多地滲透或下移到中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容之中.然而，隨著數(shù)學(xué)教育水平的發(fā)展，一直存在兩種普遍的、對(duì)立的觀點(diǎn).經(jīng)過對(duì)中學(xué)教師觀念的實(shí)際調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有的教師認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教師學(xué)習(xí)大學(xué)中的數(shù)學(xué)專業(yè)課程沒有用處，甚至有人認(rèn)為隨著教師職業(yè)工作經(jīng)驗(yàn)的增加，只要掌握所教的中學(xué)數(shù)學(xué)課程本身所包含的知識(shí)內(nèi)容就行了；相反的，有的數(shù)學(xué)教師認(rèn)為在大學(xué)曾經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)專業(yè)課程中的知識(shí)對(duì)自己的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起到了積極的作用.教育部即將推行教師資格考試制度的改革，教師資格考試的內(nèi)容的一部分就是學(xué)科知識(shí).數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，只有正確、深刻理解數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，才有可能從根本上充分結(jié)合教學(xué)主體、教學(xué)方法、教學(xué)手段、教學(xué)環(huán)境等眾多因素把中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的內(nèi)容以一種易于理解的表現(xiàn)形式呈現(xiàn)出來，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化和認(rèn)知系統(tǒng)的建構(gòu)，本質(zhì)上也是對(duì)學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)知識(shí)的一種壓縮和融合.

在提到教師的培養(yǎng)和發(fā)展時(shí)，通常是以教師的教學(xué)能力為核心.有研究者指出，根據(jù)教師在教學(xué)活動(dòng)中的主要行為，可以將教師教學(xué)能力劃分為“教學(xué)設(shè)計(jì)能力”“教學(xué)實(shí)施能力”和“教學(xué)監(jiān)控能力”3個(gè)維度[1].1986年，隨著美國著名學(xué)者舒爾曼(shulman)給出“學(xué)科知識(shí)”的概念以來，人們開始認(rèn)為教師的學(xué)科知識(shí)是對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響的決定性因素[2].而教師在大學(xué)期間曾經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)專業(yè)課程中的知識(shí)作為舒爾曼提出的“學(xué)科知識(shí)”概念當(dāng)中發(fā)揮作用的一種重要成分，對(duì)這3種教學(xué)能力有什么樣的影響呢？影響又是否相同？這3種教學(xué)能力的發(fā)展是否完全依賴教師資歷的加深？或者是完全依賴教師的包含大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)在內(nèi)的比較穩(wěn)定的學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)？這些問題是當(dāng)今教師培養(yǎng)和發(fā)展的核心問題，很值得研究和討論.

1 學(xué)科知識(shí)發(fā)展的“二級(jí)思維跳躍模式”

數(shù)學(xué)是抽象的，按照認(rèn)知主義觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上是學(xué)習(xí)者通過數(shù)學(xué)活動(dòng)的認(rèn)識(shí)過程，憑借已有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，使得知識(shí)成為可以在思維結(jié)構(gòu)中操作的對(duì)象，這個(gè)過程從知識(shí)接受程度來說是數(shù)學(xué)知識(shí)在學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的表示形式從相對(duì)具體到相對(duì)抽象的過程，同樣也可以看成是學(xué)習(xí)者的思維從相對(duì)低級(jí)到相對(duì)高級(jí)的一種變化，正是這樣一種變化使得人們相信“數(shù)學(xué)是思維的體操”.逐級(jí)抽象是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的一個(gè)特點(diǎn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程正是由無數(shù)個(gè)像這樣相對(duì)較小的、從具體到抽象的思維變化過程，學(xué)習(xí)者逐漸獲得更加抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，形成統(tǒng)攝程度更高的數(shù)學(xué)概念，逐漸達(dá)到相對(duì)的、階段性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo).按照中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)教師的要求，教師無論是在知識(shí)上，還是在思維層次上都應(yīng)該達(dá)到一定的標(biāo)準(zhǔn).通常情況下，大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)相對(duì)基礎(chǔ)一些的課程的學(xué)習(xí)在知識(shí)的統(tǒng)攝性程度、綜合性程度、思想方法、技巧和策略等方面可以看成是從初等數(shù)學(xué)到一般高等數(shù)學(xué)的第一級(jí)思維跳躍過程.大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)后續(xù)的、更加抽象些的課程的學(xué)習(xí)可以看作是對(duì)之前所學(xué)知識(shí)和內(nèi)容的再一次升華，即從一般的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)到高級(jí)數(shù)學(xué)的第二級(jí)思維跳躍過程.從中學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識(shí)發(fā)展的角度來說，個(gè)人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷二級(jí)跳躍式思維抽象過程是很有意義的.

1.1 第一級(jí)思維跳躍

把數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程學(xué)習(xí)看作是在知識(shí)的統(tǒng)攝性程度、綜合性程度、思想方法、技巧和策略等方面從初等數(shù)學(xué)到一般高等數(shù)學(xué)的第一級(jí)思維跳躍.例如，大學(xué)時(shí)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析課程中，要掌握討論函數(shù)性質(zhì)的無窮小方法，從微分與積分的互逆關(guān)系上看到數(shù)學(xué)對(duì)象間有機(jī)的聯(lián)系，從數(shù)學(xué)分析知識(shí)結(jié)構(gòu)上獲得數(shù)學(xué)理論的構(gòu)建方法，更要在每一個(gè)數(shù)學(xué)概念、命題的學(xué)習(xí)過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家從事數(shù)學(xué)活動(dòng)研究數(shù)學(xué)問題的思維方式方法.特別是，以教師為職業(yè)目標(biāo)的大學(xué)生應(yīng)主動(dòng)思考這些問題：數(shù)學(xué)分析研究的對(duì)象是什么？研究的方法是什么？如何展開研究？獲得了哪些結(jié)果？一個(gè)學(xué)生只有在思想方法層面理解知識(shí)，在直觀水平上理解知識(shí)，才能形成遷移到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的能力，否則，光知道一些名詞術(shù)語，記住一些計(jì)算用的法則與方法是難以在新的場(chǎng)合運(yùn)用的.高師生還要重視學(xué)習(xí)積累關(guān)于解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題常用的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論、幾何變換、模型法、待定系數(shù)法，等等.

再如，關(guān)于函數(shù)的數(shù)學(xué)知識(shí)在近代數(shù)學(xué)中得到系統(tǒng)的發(fā)展，不論在解決實(shí)際問題中，還是在數(shù)學(xué)本身，都是至關(guān)重要的內(nèi)容.函數(shù)概念貫穿初中數(shù)學(xué)、高中數(shù)學(xué)直至大學(xué)數(shù)學(xué)，一直都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容.初中數(shù)學(xué)中主要是使學(xué)生在宏觀上認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念和簡(jiǎn)單的函數(shù)類型(一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù))，高中數(shù)學(xué)中主要是借助映射概念在對(duì)應(yīng)關(guān)系方面初步討論函數(shù)的概念和性質(zhì)，而在大學(xué)的數(shù)學(xué)分析課程中，以具體函數(shù)為對(duì)象進(jìn)行極限、連續(xù)、求導(dǎo)、微分、積分等及其相關(guān)應(yīng)用討論，結(jié)構(gòu)上更加系統(tǒng)，完全能夠統(tǒng)攝中學(xué)的函數(shù)知識(shí)內(nèi)容，學(xué)過了數(shù)學(xué)分析課程之后對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)也必將上升到一個(gè)新的認(rèn)識(shí)層次.

請(qǐng)看下面兩個(gè)關(guān)于兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的例子.

例1 4+( )<12，( )中最大填多少？

這是一個(gè)小學(xué)一年級(jí)的問題，要是填寫4+( )=12，多數(shù)兒童可以很容易得出結(jié)果.對(duì)于這個(gè)階段的學(xué)生來說，“<”比“=”的問題要困難一些，畢竟這個(gè)問題的答案是一類數(shù)，而不是某一個(gè)確定的數(shù)，并且這個(gè)問題已經(jīng)是兩類問題的綜合，對(duì)兒童的思維是有一定挑戰(zhàn)性.一位曾經(jīng)受過基本加減法運(yùn)算訓(xùn)練的兒童在計(jì)算這個(gè)問題之前，可以很容易算出4+(8)=12，但思考這個(gè)例子中關(guān)于“小于”的問題時(shí)還是感到很困難，不知道該如何判斷.在判斷過程中，兒童能夠知道4+(1)=5小于12，4+(5)=9小于12,但還不能很容易的理解對(duì)于4+( )<12來說，只要在括號(hào)中填上小于8的數(shù)就符合要求，即固定加數(shù)4之后，按照加數(shù)遞增的順序依次驗(yàn)證符合要求的數(shù)字，再從0,1,2，3,4,5,6,7這些數(shù)字中找出最大的一個(gè)，或者按照驗(yàn)證的順序直接找到最大的數(shù)字.

例2 5+( )>17，( )中最小填多少？

比前一個(gè)問題的回答直接一些，稍微思考，兒童即可很容易的說出括號(hào)中可以填寫18，這位兒童解釋說，因?yàn)?8大于17，再加上5一定大于17而滿足要求.對(duì)于小于17的數(shù)就需要加法運(yùn)算進(jìn)行判斷了，但是仍然是隨機(jī)選取0～17之間的數(shù)字進(jìn)行驗(yàn)證的辦法，如5+8=13小于17，之后再一次隨機(jī)選取而不是按照順序5+10=15小于17，直到想到5+11=16，再反復(fù)比較各個(gè)式子確定結(jié)果為止.

在上面兩個(gè)關(guān)于兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的例子中，教師應(yīng)該如何看待兒童的學(xué)習(xí)過程呢？那就需要教師具有相應(yīng)的學(xué)科知識(shí)和教學(xué)知識(shí)等，而不是僅僅靠資歷或經(jīng)驗(yàn).若教師已經(jīng)掌握了統(tǒng)攝程度更高的數(shù)系理論，能夠借助自然數(shù)的序數(shù)特點(diǎn)來解釋兒童的解題過程，對(duì)教師的教學(xué)指導(dǎo)是有積極意義的.再能夠借助直觀的例子幫助兒童建立正確的概念表象，理解自然數(shù)的基數(shù)理論和序數(shù)理論概念.

1.2 第二級(jí)思維跳躍

通過大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)中各門基礎(chǔ)課程的學(xué)習(xí)，形成一定的高等數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備，進(jìn)一步豐富了數(shù)學(xué)思想、方法、技巧等內(nèi)容，鍛煉了個(gè)人在復(fù)雜的數(shù)學(xué)思維環(huán)境中的適應(yīng)能力，以此為基礎(chǔ)，再把泛函分析等被認(rèn)為大學(xué)本科階段比較難學(xué)的課程學(xué)習(xí)看作是對(duì)之前所學(xué)知識(shí)和內(nèi)容的再一次升華，即從一般的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)到高級(jí)數(shù)學(xué)的第二級(jí)思維跳躍.

如前所述，如果說函數(shù)概念在數(shù)學(xué)分析中的學(xué)習(xí)系統(tǒng)，統(tǒng)攝程度已經(jīng)比較高了，那么在泛函分析這樣的課程中，函數(shù)概念已經(jīng)進(jìn)一步地得到抽象，如之前學(xué)習(xí)過程中遇到的映射，在泛函分析課程中一般化為算子；之前討論的函數(shù)以數(shù)為變量，在泛函分析中已經(jīng)把函數(shù)一般化為變量；高等代數(shù)中的內(nèi)積概念在泛函分析中也一般化為共軛雙線性函數(shù)，相關(guān)知識(shí)的抽象程度和概念系統(tǒng)的統(tǒng)攝程度都很高，當(dāng)然在思維訓(xùn)練的復(fù)雜程度方面也不可同日而語了.

數(shù)學(xué)概念甚至其它的數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象與具體是相對(duì)的，因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)具有逐級(jí)抽象的特點(diǎn)，而概括和推廣是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式.如度量概念的認(rèn)識(shí)，泛函分析課程內(nèi)容的一個(gè)重要特點(diǎn)是討論無窮維空間上的問題，需要借助極限的手段，要定義極限進(jìn)一步需要距離的概念.即可以寫成如下鏈條：“泛函分析課程內(nèi)容?無窮維空間問題?需要定義極限?需要度量”.泛函分析中的空間概念可以看成是基本的集合概念賦以一定的“結(jié)構(gòu)”.這是一種整體性的認(rèn)識(shí)，是一種使得學(xué)習(xí)者思維層次得以升華的新的認(rèn)識(shí).如華東師范大學(xué)的李士琦老師論述“數(shù)學(xué)教學(xué)中的整體觀念” 時(shí)所提到的那樣，“數(shù)學(xué)整體的組成形式和它的相對(duì)獨(dú)立性，使得總體的把握研究，往往要利用或提出一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念，以它作為整體組織的手段或是整合的法則[3]”.再如度量空間的完備，為了理解完備概念，可以借助相對(duì)直觀的一維或二維等已經(jīng)熟悉的、簡(jiǎn)單的例子作為模型：

最后一個(gè)概念顯然起到了知識(shí)整合的作用.具體的例子當(dāng)中，距離的定義方式不同，對(duì)應(yīng)的空間結(jié)構(gòu)也不同了.在這個(gè)意義上，對(duì)于簡(jiǎn)單的一維和二維的情況，學(xué)習(xí)者也可以認(rèn)識(shí)到距離的定義方式也可以不是唯一的了，打破了原有觀念的束縛，這不能不說是學(xué)習(xí)者在思維層次上的認(rèn)識(shí)上升到了新的高度.如果簡(jiǎn)單地概括而得出“合格的高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具備一定的類似于泛函分析課程的知識(shí)或者相應(yīng)的思維層次”這樣的結(jié)論，那就太武斷了.但反過來，具備了類似于泛函分析課程的知識(shí)或者相應(yīng)的思維層析能夠更加有利于高中數(shù)學(xué)教學(xué)還是能夠被信服的.在此也表明，關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識(shí)發(fā)展的含義、深度和廣度等內(nèi)容仍然是數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域的一項(xiàng)重要內(nèi)容.

1.3 心理學(xué)解釋

按照認(rèn)知心理學(xué)的觀點(diǎn)，同化和順應(yīng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中認(rèn)知建構(gòu)的基本形式.有教育研究者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中.順應(yīng)比較多，所以數(shù)學(xué)難學(xué).而通常情況下，教師掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)程度越高，應(yīng)用和處理數(shù)學(xué)內(nèi)容的意識(shí)就越強(qiáng)，關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用與教學(xué)的自信心也越強(qiáng).對(duì)于教師在教學(xué)過程中遇到的學(xué)科知識(shí)來說，教師不一定需要?jiǎng)?chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)，但是在教學(xué)過程中，教師需要?jiǎng)?chuàng)造對(duì)所教數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，同時(shí)也會(huì)遇到教育改革中不斷變化的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，都是一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.當(dāng)教師掌握比較多的大學(xué)數(shù)學(xué)課程知識(shí)的時(shí)候，教學(xué)過程中的學(xué)習(xí)同化就比較多、順應(yīng)比較少；而大學(xué)數(shù)學(xué)課程知識(shí)掌握相對(duì)比較少的時(shí)候，教學(xué)過程中的學(xué)習(xí)同化就會(huì)比較少，順應(yīng)比較多.比如，中學(xué)數(shù)學(xué)中的整數(shù)，若清楚抽象代數(shù)課程中的群、環(huán)、域等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，把整數(shù)看成一個(gè)整體來認(rèn)識(shí)，那么教師若想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)造出一種易于學(xué)生接受的關(guān)于整數(shù)教學(xué)的理解，就好比在自己家里擺設(shè)家具一樣，不論在整體上還是在單個(gè)物件上都會(huì)條理清楚.若不然，每一個(gè)整數(shù)在不同的問題中都是教師處理的直接對(duì)象，錯(cuò)綜復(fù)雜，遇到復(fù)雜一些的情況必然難以妥善處理.再如，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中提倡的公理化方法是對(duì)普通數(shù)學(xué)知識(shí)高度抽象概括出來的結(jié)果，在思想、方法和結(jié)構(gòu)等方面帶有普遍性的指導(dǎo)意義.這也是一種培養(yǎng)優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師，使其具備良好的學(xué)科知識(shí)基礎(chǔ)和發(fā)展?jié)摿Φ挠行Х绞?

2 結(jié)語

中學(xué)數(shù)學(xué)教師通過大學(xué)期間數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)，具備了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的整體性認(rèn)識(shí)，掌握了處理中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)問題的高度抽象化的一般方法，具有了繼續(xù)學(xué)習(xí)和深度思考中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的能力與信心等.東北師范大學(xué)的張凱軍老師在談?wù)摻處煹呐囵B(yǎng)時(shí)說，“人才培養(yǎng)模式的基點(diǎn)是強(qiáng)化教師專業(yè)職能，因此，大學(xué)過程中的教師教育應(yīng)該在不低于本科基礎(chǔ)水平前提下進(jìn)行制度調(diào)整，教師教育方面仍應(yīng)繼續(xù)注重對(duì)教師學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)的培養(yǎng)，在保證學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)課程的基礎(chǔ)上，盡量增加與數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)相關(guān)的課程設(shè)置[4]”.目前，我國的數(shù)學(xué)教育界在學(xué)科知識(shí)方面要求中學(xué)數(shù)學(xué)教師具備一定的大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)中的知識(shí)已經(jīng)是一種共識(shí)，也已有一些師范大學(xué)對(duì)教師的培養(yǎng)進(jìn)行相關(guān)改革，但在具體內(nèi)容、方法和要求等方面，還沒有制定出詳細(xì)的學(xué)科知識(shí)標(biāo)準(zhǔn)，還需要進(jìn)一步探索.因此，作為教育發(fā)展過程中的重要環(huán)節(jié)——教師的培養(yǎng)與發(fā)展，探索教師培養(yǎng)過程中的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)發(fā)展水平，制定科學(xué)、規(guī)范的中學(xué)數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)發(fā)展標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展具有重要意義，將是今后數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域重要的研究?jī)?nèi)容之一.

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(責(zé)任編輯：張冬冬)

The positive influence of the development of teachers’ subject knowledge on the ‘two levels of thinking’in middle school math’s teaching

PENG Yangui

(School of Mathematics and Information Science，Anshan Normal University,Anshan Liaoning 114007,China)

Learning advanced mathematics has a positive effect on the development of teachers.Although most of the knowledge can not play a role In the teaching process,it is very important in thinking about content of courses,method,structure of course content and so on.Especially,learning the advanced mathematics can train the learner’s thinking to get two levels in the analysis of mathematical content.It is very important in the development of teachers’ subject knowledge.

mathematics teachers in middle school;mathematics courses in universities;the development of teachers’ matter knowledge;the degree of governs

2016-04-18

彭艷貴(1982-)，男，遼寧鞍山人，鞍山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院講師.

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A

1008-2441(2016)04-0006-04