一種基于位置信號(hào)線性擬合差分濾波器串聯(lián)的二階差分角加速度觀測(cè)器

邱文彬， 柴建云， 孫旭東， 陸海峰， 樊明

(清華大學(xué) 電機(jī)系電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100084)

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一種基于位置信號(hào)線性擬合差分濾波器串聯(lián)的二階差分角加速度觀測(cè)器

邱文彬， 柴建云， 孫旭東， 陸海峰， 樊明

(清華大學(xué) 電機(jī)系電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100084)

角加速度閉環(huán)能增加伺服控制系統(tǒng)的剛度,提高系統(tǒng)魯棒性,但位置信號(hào)的二階差分運(yùn)算會(huì)放大高頻噪聲幅值,限制了加速度閉環(huán)在實(shí)際控制中的應(yīng)用。首先,對(duì)三種基于多項(xiàng)式曲線擬合的角加速度觀測(cè)器性能進(jìn)行了分析,結(jié)果表明二次多項(xiàng)式角加速度觀測(cè)器具有最優(yōu)的綜合性能;其次,為了抑制噪聲,提出了一種基于位置信號(hào)線性擬合的串聯(lián)二階差分角加速度觀測(cè)器,從截止頻率、白噪聲放大倍數(shù)和延時(shí)時(shí)間三個(gè)方面對(duì)其性能進(jìn)行了分析,并與二次多項(xiàng)式角加速度觀測(cè)器進(jìn)行了對(duì)比,仿真和實(shí)驗(yàn)均驗(yàn)證了該方法具有更好的噪聲抑制能力。

角加速度; 多項(xiàng)式曲線擬合; 角加速度觀測(cè)器; 串聯(lián)二階差分觀測(cè)器; 高頻噪聲

0 引 言

工業(yè)機(jī)器人是一個(gè)多軸強(qiáng)耦合、時(shí)變非線性的控制系統(tǒng),它的參數(shù)和負(fù)載擾動(dòng)會(huì)隨著位姿變化而改變,導(dǎo)致經(jīng)典三環(huán)伺服控制系統(tǒng)的性能變差。角加速度閉環(huán)可以增加系統(tǒng)的魯棒性,提高系統(tǒng)對(duì)參數(shù)變化以及負(fù)載擾動(dòng)的抑制能力[1-2]。在一些先進(jìn)控制方法,如滑模變結(jié)構(gòu)控制、擾動(dòng)觀測(cè)器[3-4],也需要使用角加速度信號(hào)。由于高性能伺服系統(tǒng)大多配置有位置傳感器,角加速度主要通過(guò)位置信號(hào)的二階差分運(yùn)算間接觀測(cè)得到[5],但位置信號(hào)的直接二階差分運(yùn)算會(huì)放大高頻噪聲幅值,給準(zhǔn)確觀測(cè)帶來(lái)困難。

針對(duì)該問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者進(jìn)行了深入研究。文獻(xiàn)[6-8]對(duì)幾種多項(xiàng)式擬合的一階差分速度觀測(cè)器進(jìn)行了研究,將其與基于Taylor級(jí)數(shù)的一階差分速度觀測(cè)器和基于后向差分法的一階差分速度觀測(cè)器進(jìn)行了對(duì)比分析,結(jié)果表明線性擬合一階差分速度觀測(cè)器有更好的噪聲抑制能力。文獻(xiàn)[9]驗(yàn)證了多項(xiàng)式曲線擬合二階差分角加速度觀測(cè)器比直接的二階差分法角加速度觀測(cè)器有更好的噪聲抑制性能。為了減小多項(xiàng)式曲線擬合差分觀測(cè)器的延時(shí)時(shí)間,文獻(xiàn)[10-11]提出通過(guò)多項(xiàng)式模型對(duì)差分輸出進(jìn)行預(yù)測(cè),但該方法使觀測(cè)器的噪聲抑制能力變差。為了獲得更好的噪聲抑制能力,文獻(xiàn)[13]提出基于單維卡爾曼濾波器的角加速度觀測(cè)器,但卡爾曼濾波器特征值的設(shè)計(jì)一直是難點(diǎn)。為了在抑制噪聲和延時(shí)時(shí)間獲得更好的綜合性能,文獻(xiàn)[14]使用基于單維卡爾曼濾波器的角加速度觀測(cè)器和二階牛頓預(yù)測(cè)器的串聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)角加速度的觀測(cè),該方法雖然減少了延時(shí)時(shí)間,但同時(shí)也削弱了噪聲抑制能力。文獻(xiàn)[15]提出用優(yōu)化的IIR一階差分觀測(cè)器與多項(xiàng)式曲線擬合一階差分觀測(cè)器的串聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)角加速度觀測(cè),該方法有效抑制了噪聲,但優(yōu)化函數(shù)構(gòu)造復(fù)雜,且沒(méi)有分析延時(shí)時(shí)間。文獻(xiàn)[16]提出構(gòu)建基于模型的全階觀測(cè)器來(lái)提高觀測(cè)角加速度的響應(yīng)速度,但沒(méi)有對(duì)噪聲抑制性能進(jìn)行分析,另外,全階觀測(cè)器極點(diǎn)的設(shè)計(jì)需要依賴經(jīng)驗(yàn),性能受模型精度的影響。為了加快角加速度觀測(cè)值的收斂速度,文獻(xiàn)[17-18]使用非線性反饋來(lái)構(gòu)造角加速度觀測(cè)器,但非線性反饋會(huì)引入高頻噪聲,且難以定量分析觀測(cè)器的噪聲抑制能力。

因?yàn)槿狈y(tǒng)一的衡量指標(biāo),上述文獻(xiàn)沒(méi)有對(duì)提出的角加速度觀測(cè)器進(jìn)行定量分析。本文提出從觀測(cè)器的噪聲抑制能力、信號(hào)跟蹤能力以及頻率延時(shí)三個(gè)方面來(lái)衡量二階差分角加速度觀測(cè)器的性能,并從噪聲抑制能力和延時(shí)時(shí)間兩個(gè)方面對(duì)各種角加速度觀測(cè)器進(jìn)行了對(duì)比分析。

從上述文獻(xiàn)分析可以看出,基于最小二乘的多項(xiàng)式曲線擬合二階差分角加速度觀測(cè)器具有波形不失真、噪聲抑制能力強(qiáng)的特點(diǎn)。本文主要針對(duì)基于最小二乘的多項(xiàng)式曲線擬合二階差分角加速度觀測(cè)器進(jìn)行研究,首先,對(duì)幾種多項(xiàng)式曲線擬合角加速度觀測(cè)器的性能進(jìn)行了定量的對(duì)比分析;其次,為了提高噪聲抑制能力,提出了一種基于線性擬合一階差分濾波器串聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)角加速度觀測(cè)的方法,將其與綜合性能最優(yōu)的多項(xiàng)式曲線擬合二階差分觀測(cè)器進(jìn)行對(duì)比分析,通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 低通二階差分角加速度觀測(cè)器的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

理想低通二階差分觀測(cè)器的幅頻特性曲線如圖1所示,理想輸出相位為180°。

圖1 理想低通二階差分觀測(cè)器的幅頻特性曲線

Fig. 1 Magnitude-frequency characteristic curve of the ideal 2nddifferential observer

角加速度觀測(cè)器的主要性能應(yīng)包括信號(hào)跟蹤能力、噪聲抑制能力和延時(shí)時(shí)間,由于傳統(tǒng)的截止頻率只能表示對(duì)輸入信號(hào)的跟蹤能力,不能描述阻帶內(nèi)的噪聲抑制能力,提出用截止頻率、白噪聲放大倍數(shù)和頻率延時(shí)三個(gè)指標(biāo)來(lái)綜合衡量二階差分角加速度觀測(cè)器的性能,它們的定義如下:

2) 白噪聲放大倍數(shù),由于白噪聲在頻域內(nèi)為平譜,白噪聲放大倍數(shù)表示整個(gè)頻帶內(nèi)信號(hào)的放大能力,當(dāng)數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)如下所示時(shí):

根據(jù)Parse Val定理,數(shù)字濾波器的白噪聲放大系數(shù)K為:

(1)

3)頻率延時(shí),觀測(cè)器的延時(shí)時(shí)間對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制系統(tǒng)的性能有非常重要的影響。由于中心對(duì)稱型FIR濾波器具有線性相頻特性,不同頻率的延時(shí)時(shí)間相同,輸出波形不失真,用延時(shí)時(shí)間來(lái)表示頻率延時(shí)。

截止頻率表示觀測(cè)器的信號(hào)跟蹤能力;噪聲抑制能力指觀測(cè)器在高于截止頻率段的噪聲抑制能力,在截止頻率相同時(shí),白噪聲放大倍數(shù)可以表示觀測(cè)器的噪聲抑制能力;延時(shí)時(shí)間表示觀測(cè)器輸出值與實(shí)際值的延時(shí)時(shí)間。

2 串聯(lián)式角加速度觀測(cè)器

線性擬合一階差分速度觀測(cè)器比多項(xiàng)式擬合一階差分速度觀測(cè)器有更好的濾波性能[6],但線性擬合曲線的二階差分為零,無(wú)法從線性擬合曲線直接獲取二階差分值,為了獲得更好的噪聲抑制性能,提出用兩個(gè)線性擬合一階差分濾波器串聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)二階差分角加速度的觀測(cè)?；诖?lián)線性擬合差分濾波器的二階差分角加速度觀測(cè)器簡(jiǎn)稱為串聯(lián)式角加速度觀測(cè)器,基于多項(xiàng)式曲線擬合的二階差分角加速度觀測(cè)器簡(jiǎn)稱為多項(xiàng)式角加速度觀測(cè)器。

當(dāng)串聯(lián)式角加速度觀測(cè)器為(2N+1)階時(shí),觀測(cè)器的延時(shí)時(shí)間為N個(gè)數(shù)據(jù)周期,兩個(gè)一階差分濾波器存在多種組合方式,如圖2所示,兩級(jí)差分濾波器的階數(shù)N1、N2間存在如下約束:

N1+N2=N,N≥2。

(2)

圖2 串聯(lián)二階差分觀測(cè)器與差分濾波器的階數(shù)關(guān)系

Fig. 2 Order relationship between the series 2nddifferential observer and differential filters

由于差分濾波器的串聯(lián)順序不改變二階差分觀測(cè)器的幅頻特性及相頻特性,根據(jù)式(2)可知,N1的取值區(qū)間為[1,N/2],當(dāng)N1取N/2時(shí)具有最好的噪聲抑制能力,所提的串聯(lián)式角加速度觀測(cè)器指差分濾波器階數(shù)N1取N/2時(shí)的串聯(lián)組合。

2.1 串聯(lián)式角加速度觀測(cè)器系數(shù)計(jì)算

基于最小二乘的線性擬合一階差分濾波器具有最優(yōu)的白噪聲抑制性能[10],線性擬合一階差分濾波器的傳遞函數(shù)系數(shù)計(jì)算方法如下:

(3)

(4)

差分濾波器的系數(shù)hk計(jì)算表達(dá)式如下所示:

(5)

在z域上兩個(gè)一階差分濾波器的串聯(lián)對(duì)應(yīng)為時(shí)域上的卷積運(yùn)算,輸入位置信號(hào)為(4N+1)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí),串聯(lián)式角加速度觀測(cè)器在2N時(shí)刻的輸出為:

(6)

串聯(lián)式加速度觀測(cè)器的傳遞函數(shù)為:

(7)

2.2 串聯(lián)式角加速度觀測(cè)器的性能分析

從延時(shí)時(shí)間、截止頻率和白噪聲放大倍數(shù)三個(gè)方面對(duì)串聯(lián)式角加速度觀測(cè)器和多項(xiàng)式角加速度觀測(cè)器的性能進(jìn)行分析如下:

1)延時(shí)時(shí)間,中心對(duì)稱型FIR濾波器具有群延時(shí)的特性,同階的多項(xiàng)式加速度觀測(cè)器與串聯(lián)式加速度觀測(cè)器延時(shí)時(shí)間相同。(4N+1)串聯(lián)式加速度觀測(cè)器與(2N+1)差分濾波器的延時(shí)時(shí)間關(guān)系如圖3所示,群延時(shí)為2N個(gè)數(shù)據(jù)周期。

圖3 串聯(lián)二階差分觀測(cè)器與差分濾波器的延時(shí)關(guān)系

Fig. 3 Delay relationship between the series 2nddifferential observer and the differential filters

2)截止頻率,已知一階差分濾波器階數(shù)時(shí),由式(3)和式(6)可計(jì)算得到串聯(lián)式加速度觀測(cè)器的傳遞函數(shù)系數(shù),由傳遞函數(shù)系數(shù)可得到觀測(cè)器的截止頻率ωc,圖4給出了串聯(lián)式加速度觀測(cè)器和多項(xiàng)式加速度觀測(cè)器的延時(shí)時(shí)間與截止頻率的關(guān)系。

圖4 延時(shí)數(shù)據(jù)周期與截止頻率的關(guān)系

Fig. 4 Relationship between the delay data period numbers and the cut-off frequency

3)白噪聲放大倍數(shù),將加速度觀測(cè)器傳遞函數(shù)的系數(shù)代入式(1)可計(jì)算得到加速度觀測(cè)器的白噪聲放大倍數(shù)K,圖5給出了串聯(lián)式二階差分觀測(cè)器和多項(xiàng)式二階差分觀測(cè)器的延時(shí)時(shí)間與白噪聲放大倍數(shù)的關(guān)系。

圖5 延時(shí)數(shù)據(jù)周期與白噪聲放大倍數(shù)的關(guān)系

Fig. 5 Relationship between the delay data period numbers and the noise magnification

在延時(shí)時(shí)間相同時(shí),串聯(lián)式二階差分觀測(cè)器與多項(xiàng)式擬合二階差分觀測(cè)器的截止頻率與白噪聲放大倍數(shù)的關(guān)系如圖6所示。

圖6 截止頻率與白噪聲放大倍數(shù)的關(guān)系

Fig. 6 Relationship between the cut-off frequency and the noise magnification

從圖4可以看出,當(dāng)截止頻率相同,三次多項(xiàng)式觀測(cè)器和四次多項(xiàng)式觀測(cè)器的延時(shí)時(shí)間是二次多項(xiàng)式觀測(cè)器延時(shí)時(shí)間的2倍左右,而串聯(lián)式觀測(cè)器與二項(xiàng)式觀測(cè)器的延時(shí)時(shí)間相近;在白噪聲放大倍數(shù)相同時(shí),從圖5可以看出,三次多項(xiàng)式觀測(cè)器和四次多項(xiàng)式觀測(cè)器的延時(shí)時(shí)間是二次多項(xiàng)式觀測(cè)器延時(shí)時(shí)間的2倍以上,而串聯(lián)二階差分觀測(cè)器與二次多項(xiàng)式觀測(cè)器的延時(shí)時(shí)間較接近;從圖6可以看出,不考慮延時(shí)時(shí)間時(shí),三次多項(xiàng)式觀測(cè)器的噪聲抑制能力最好,二次多項(xiàng)式觀測(cè)器噪聲抑制能力最差,四次多項(xiàng)式觀測(cè)器和串聯(lián)式觀測(cè)器的噪聲抑制性能較接近。

從上述分析可以看出,當(dāng)延時(shí)時(shí)間相同時(shí),二次多項(xiàng)式觀測(cè)器和串聯(lián)式觀測(cè)器的濾波性能都遠(yuǎn)優(yōu)于高次多項(xiàng)式觀測(cè)器;不考慮延時(shí)時(shí)間時(shí),高次多項(xiàng)式觀測(cè)器的噪聲抑制性能高于二次多項(xiàng)式觀測(cè)器和串聯(lián)式觀測(cè)器。由于延時(shí)時(shí)間對(duì)控制系統(tǒng)的性能非常重要,所以在多項(xiàng)式觀測(cè)器中,二次多項(xiàng)式觀測(cè)器的綜合性能遠(yuǎn)優(yōu)于其它高次多項(xiàng)式觀測(cè)器,而串聯(lián)式觀測(cè)器與二次多項(xiàng)式觀測(cè)器的綜合性能相近。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)分析

對(duì)串聯(lián)式角加速度觀測(cè)器與二次多項(xiàng)式角加速度觀測(cè)器的性能進(jìn)行仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析,實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為類PUMA工業(yè)機(jī)器人的第六臂,輸出軸連接有1:100的諧波減速機(jī),仿真和實(shí)驗(yàn)的位置信號(hào)系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

由圖4、圖5和圖6可知串聯(lián)式觀測(cè)器和二次多項(xiàng)式觀測(cè)器的性能參數(shù)如表2所示。

表2 角加速度觀測(cè)器的性能參數(shù)

Table 2 Angular acceleration performance characteristics

串聯(lián)式二次多項(xiàng)式觀測(cè)器階數(shù)N6151截止頻率ωc/Hz2727延時(shí)時(shí)間τ/ms1512.75白噪聲放大倍數(shù)K0.001320.00145

將觀測(cè)器的階數(shù)代入式(3)～式(7),可計(jì)算得到串聯(lián)式角加速度觀測(cè)器的傳遞函數(shù)系數(shù),串聯(lián)式角加速度觀測(cè)器的沖激響應(yīng)如圖7所示,51階二次多項(xiàng)式角加速度觀測(cè)器的沖激響應(yīng)如圖8所示。

圖7 串聯(lián)二階差分角加速度觀測(cè)器的沖激響應(yīng)

Fig. 7 Impulse response of the series 2nddifferential angular acceleration observer

圖8 二次多項(xiàng)式角加速度觀測(cè)器的沖激響應(yīng)

Fig. 8 Impulse response of the 2nddegree polynomial angular acceleration observer

由測(cè)量系統(tǒng)的采樣頻率fs和歸一化后的白噪聲放大倍數(shù)K可計(jì)算出串聯(lián)式角加速度觀測(cè)器的白噪聲實(shí)際放大倍數(shù)M1和二次多項(xiàng)式角加速度觀測(cè)器的白噪聲實(shí)際放大倍數(shù)M2為:

M1=f2sK1=4×106×0.001 32=5 280，

M2=f2sK2=4×106×0.001 45=5 800。

(8)

當(dāng)參考加速度為±12 rad/s2的方波時(shí),如圖9(a)所示,在位置信號(hào)中疊加有幅值為0.01°,頻率為100 Hz的正弦波噪聲,串聯(lián)式加速度觀測(cè)器的觀測(cè)角加速度如圖9(b)所示,波動(dòng)幅度為0.3 rad/s2,二次多項(xiàng)式加速度觀測(cè)器的輸出如圖9(c)所示,加速度的波動(dòng)幅度為3 rad/s2,是串聯(lián)式加速度觀測(cè)器波動(dòng)幅值的100倍,這主要是因?yàn)榇?lián)角加速度觀測(cè)器的旁瓣峰值更小,對(duì)噪聲的抑制能力更強(qiáng)。

圖9 含有正弦噪聲時(shí)方波加速度的仿真波形

Fig. 9 Simulation waveforms of the square acceleration with the sine noise

實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)速為如圖10(a)所示的加減速曲線,串聯(lián)式角加速度觀測(cè)器的觀測(cè)角加速度如圖10(b)所示,二次多項(xiàng)式加速度觀測(cè)器的觀測(cè)角加速度如圖10(c)所示,從圖10可以看出,串聯(lián)式角加速度觀測(cè)器的高頻波動(dòng)更小,因?yàn)槎味囗?xiàng)式觀測(cè)器的白噪聲放大倍數(shù)比串聯(lián)式觀測(cè)器的白噪聲放大倍數(shù)高11%,串聯(lián)式角加速度觀測(cè)器的白噪聲抑制能力更強(qiáng),另外,在轉(zhuǎn)速過(guò)零時(shí)加速度存在幅值變小的階躍,這是由于靜摩擦力和減速機(jī)滯環(huán)的影響。

圖10 轉(zhuǎn)速為梯形波時(shí)的實(shí)驗(yàn)波形

4 結(jié) 論

針對(duì)二階差分角加速度觀測(cè)器缺乏統(tǒng)一的性能衡量指標(biāo)情況,本文首次提出用截止頻率、白噪聲放大倍數(shù)、頻率延時(shí)綜合衡量角加速度觀測(cè)器的性能,解決了定量分析二階差分角加速度觀測(cè)器的問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上,對(duì)比分析了三種多項(xiàng)式加速度觀測(cè)器的性能,結(jié)果表明二次多項(xiàng)式角加速度觀測(cè)器具有最優(yōu)的綜合性能。為了提高噪聲抑制能力,本文提出了一種基于位置信號(hào)線性擬合的串聯(lián)二階差分角加速度觀測(cè)器,將其與二次多項(xiàng)式角加速度觀測(cè)器進(jìn)行了對(duì)比分析,仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在截止頻率相同時(shí),串聯(lián)二階差分角加速度觀測(cè)器噪聲抑制能力更好。

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(編輯：賈志超)

Method of the 2nddifferential angular acceleration observer based on series position linear-fitting differential filters

QIU Wen-bin, CHAI Jian-yun, SUN Xu-dong, LU Hai-feng, FAN Ming

(State Key Lab of Power Systems, Department of Electrical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084,China)

The acceleration feedback can provide higher stiffness of the servo control system, and improve the system robustness. However, acceleration control is seldom implemented in practical, due to the high-frequency noises which are amplified by the 2nddifferential operation of position. Firstly, three kinds of angular acceleration observer based on polynomial curve fitting were thoroughly analyzed, and the results show that the 2nddegree polynomial angular acceleration observer has the best comprehensive performance. Secondly, in order to depress the noise, a method of the series 2nddifferential angular acceleration observer based on the position linear-fitting differential filters was proposed. From the cutoff frequency, white noise magnification and delay time, its performance was analyzed in three aspects and the comparative analysis was carried out between the proposed method and the 2nddegree polynomial observer. Better noise rejection ability of the proposed method is verified by simulations and experiments.

angular acceleration; polynomial curve fitting; angular acceleration observer; series 2nddifferential observer; high-frequency noises

2015-03-17

國(guó)家自然科學(xué)基金(51277102)

邱文彬(1981—)，男，博士研究生，研究方向?yàn)檫\(yùn)動(dòng)控制、伺服控制；

柴建云(1961—)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)轱L(fēng)力發(fā)電、電機(jī)設(shè)計(jì)、電機(jī)控制；

陸海峰

10.15938/j.emc.2016.01.013

TP 242,TP 216

A

1007-449X(2016)01-0088-06

孫旭東(1965—)，男，博士，教授，研究方向?yàn)殡姍C(jī)設(shè)計(jì)、電機(jī)控制;

陸海峰(1976—)，男，博士，副教授，研究方向?yàn)殡妱?dòng)汽車控制、電機(jī)調(diào)速；

樊 明(1982—)，男，博士研究生，研究方向?yàn)殡姍C(jī)設(shè)計(jì)。