寧鵬程

物體做曲線運(yùn)動(dòng)，無(wú)法直接求解，只能化曲為直，例如物體做平拋運(yùn)動(dòng)，物體的運(yùn)動(dòng)可分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，這種“化曲為直”的分解思想經(jīng)常在求解曲線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)應(yīng)用，下面舉例說(shuō)明，希望對(duì)同學(xué)們有所啟發(fā)和幫助.

例1（2016年高考物理天津卷第11題）如圖1所示，空間中存在著水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=53N/C，同時(shí)存在著水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其方向與電場(chǎng)方向垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.5 T.有一帶正電的小球，質(zhì)量m=1×10-6kg，電荷量q=2×10-6C，正以速度v在圖示的豎直面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)撤掉磁場(chǎng)（不考慮磁場(chǎng)消失引起的電磁感應(yīng)現(xiàn)象），g取10 m/s2.求：

（1）小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度v的大小和方向；

（2）從撤掉磁場(chǎng)到小球再次穿過(guò)P點(diǎn)所在的這條電場(chǎng)線經(jīng)歷的時(shí)間t.

答案：（1） v=20 m/s方向與電場(chǎng)E的方向之間的夾角為θ=600斜向上

（2） t=3.5 s

解析（1）小球勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)受力如圖2所示，其所受的三個(gè)力在同一平面內(nèi)，合力為零，有

qvB=q2E2+m2g2①

代入數(shù)據(jù)解得

v=20 m/s②

速度v的方向與電場(chǎng)E的方向之間的夾角θ滿(mǎn)足

tanθ=qEmg③

代入數(shù)據(jù)解得tanθ=3

θ=600 ④

（2） 解法一撤去磁場(chǎng)，小球在重力與電場(chǎng)力的合力作用下做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度為a，有

a=q2E2+m2g2m⑤

設(shè)撤掉磁場(chǎng)后小球在初速度方向上的分位移為x，有

x=vt⑥

設(shè)小球在重力與電場(chǎng)力的合力方向上分位移為y，有

y=12at2⑦

a與mg的夾角和v與E的夾角相同，均為θ，又

tanθ=yx⑧

聯(lián)立④⑤⑥⑦⑧式，代入數(shù)據(jù)解得

t=23s=3.5s⑨

解法二

撤去磁場(chǎng)后，由于電場(chǎng)力垂直于豎直方向，它對(duì)豎直方向的分運(yùn)動(dòng)沒(méi)有影響，以P點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向上為正方向，小球在豎直方向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，其初速度為

vy=vsinθ⑤

若使小球再次穿過(guò)P點(diǎn)所在的電場(chǎng)線，僅需小球的豎直方向上分位移為零，則有

vyt-12gt2=0⑥

聯(lián)立⑤⑥式，代入數(shù)據(jù)解得

t=23s=3.5s.

點(diǎn)撥物體的運(yùn)動(dòng)分解時(shí)要特別注意：物體的合運(yùn)動(dòng)就是物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)，物體的合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)互不干擾，相對(duì)獨(dú)立，具有時(shí)間上相等.

例2如圖3所示，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中有一個(gè)半徑為R=1 m的圓，電場(chǎng)方向與圓的平面平行，O、P兩點(diǎn)電勢(shì)差為10 V，一個(gè)電子在該勻強(qiáng)電場(chǎng)中僅受電場(chǎng)力作用下運(yùn)動(dòng)，且在P、Q兩點(diǎn)上速度方向與圓的切線一致，速度大小均為v0=1 m/s，則

A.電子從P到Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能先增大后減小

B.電子可能做圓周運(yùn)動(dòng)

C.該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E=10 V/m

D.O點(diǎn)與圓周上電勢(shì)最低的點(diǎn)的電勢(shì)差為102V

答案：D

解析電子從P到Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，電子在OQ方向上速度由v0=1 m/s減小到零，該方向上電子受到的分力為Fx，電子在PO方向上速度由零增加到v0=1 m/s，該方向上電子受到的分力為Fy，如圖4所示，根據(jù)平行四邊形定則可到電場(chǎng)力F的方向，由圖可得：電子受到的合力（即電場(chǎng)力F）和電子速度方向的夾角先是鈍角后是銳角，合力先做負(fù)功后做正功，根據(jù)動(dòng)能定理可得：電子的動(dòng)能先減小后增大，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；假設(shè)電子做圓周運(yùn)動(dòng)，電子受到合力是變力，不可能是恒力，由于電子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力是恒力，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；電子從P到Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由動(dòng)能定理可得 -qUPQ=12mv20-12mv20=0，可得UPQ=φP-φQ=0，解得φP=φQ，P、Q的連線為等勢(shì)線，根據(jù)電場(chǎng)線和等勢(shì)線垂直可得：電場(chǎng)線的方向和OP的夾角為450斜向下，O、P兩點(diǎn)電勢(shì)差為10 V，UOP=E×OPcos45°=10 V，解得該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度

E=102 V/m，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；沿著電場(chǎng)線的方向，電勢(shì)越來(lái)越低，可得過(guò)O點(diǎn)電場(chǎng)線和圓的交點(diǎn)為電勢(shì)的最低點(diǎn)，O點(diǎn)與圓周上電勢(shì)最低的點(diǎn)的電勢(shì)差為U=ER=102V，選項(xiàng)D正確.

解后反思電子從P到Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，電子在OQ方向上加速度大小為ax，則0=v0-axt，由牛頓第二定律可得：Fx=max；電子在PO方向上加速度大小為ay，則v0=0+ayt，由牛頓第二定律可得：Fy=may，可得：ax=ay=a，F(xiàn)x=Fy，進(jìn)一步可得：電場(chǎng)力F和Fx的夾角為45°，由于電子帶負(fù)電荷，電場(chǎng)線的方向和OP的夾角為45°斜向下.

拓展求電子從P到Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，電子的最小速度？

設(shè)電子從P開(kāi)始經(jīng)過(guò)時(shí)間t電子的速度最小，此時(shí)OQ方向上vx=v0-at，PO方向上vy=at，

電子的速度v=v2x+v2y=（v0-at）2+a2t2=2a2t2-2av0t+v20，當(dāng)t=v02a時(shí)，電子的速度有最小值vmin=22v0=22 m/s，此時(shí)vx=vy=12v0，可得此時(shí)電子的速度方向和電子受到的合力垂直.類(lèi)比聯(lián)想物體做斜上拋運(yùn)動(dòng)，物體的運(yùn)動(dòng)可分解為：物體在豎直方向上受重力作用，物體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)；物體在水平方向上不受力，物體在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，物體在豎直方向的分速度為零，此時(shí)物體只有水平方向的速度；從能量轉(zhuǎn)化和守恒的角度來(lái)分析：物體只受重力作用，物體的機(jī)械能守恒，物體到達(dá)最高點(diǎn)，物體的重力勢(shì)能最大，物體的動(dòng)能最小，物體的速度最小.由于在最高點(diǎn)物體的速度最小，此時(shí)速度方向沿著水平方向，物體的合力（物體的重力）豎直向下，可總結(jié)為：物體有最小速度時(shí)，物體的合力方向和速度方向垂直.

例3如圖5所示，小物塊以初速度v0從O點(diǎn)沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)從O點(diǎn)斜向上拋出一個(gè)速度大小也為v0的小球，物塊和小球在斜面上的P點(diǎn)相遇.已知物塊和小球質(zhì)量相等（均可視為質(zhì)點(diǎn)），空氣阻力忽略不計(jì).則下列說(shuō)法正確的是

A.斜面可能是光滑的

B.小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)離斜面最遠(yuǎn)

C.在P點(diǎn)時(shí)，小球的動(dòng)能大于物塊的動(dòng)能

D.小球和物塊到達(dá)P點(diǎn)過(guò)程中克服重力做功的平均功率不相等

答案：C

解析設(shè)斜面的傾角為θ，小球的初速度方向和斜面的夾角為α，設(shè)OP=s，小球的運(yùn)動(dòng)可分解為沿平行于斜面向上做初速度大小為v0cosα，加速度大小為gsinθ的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，小球從O點(diǎn)到P點(diǎn)的時(shí)間為t，由x=v0t+12at2得s=v0cosαt-12gsinθt2；小物塊沿平行于斜面向上做初速度大小為v0，加速度大小為a的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合題意可得s=v0t-12at2，進(jìn)一步得a>gsinθ，對(duì)小物塊由牛頓第二定律可得：mgsinθ+f=ma，得f>0 N，斜面是粗造的，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；小球的速度在垂直于斜面方向的分速度為零時(shí)（即小球的速度方向平行于斜面時(shí)），小球離斜面最遠(yuǎn)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；從O點(diǎn)到P點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理，

對(duì)小物塊：-fs-mgssinθ=Ek1-12mv20，對(duì)小球：-mgssinθ=Ek2-12mv20，Ek2>Ek1即在P點(diǎn)時(shí)，小球的動(dòng)能大于物塊的動(dòng)能，選項(xiàng)C正確；小球和物塊到達(dá)P點(diǎn)過(guò)程中克服重力做功的平均功率都為P-=mgssinθt，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

解后反思求解曲線運(yùn)動(dòng)經(jīng)常分解速度，分解位移，有時(shí)候也分解力或分解加速度，特別注意分解時(shí)要遵循平行四邊形定則.