張夏葦

(廈門理工學院應用數(shù)學學院,福建廈門361024)

悲觀的多覆蓋模糊粗糙集

張夏葦

(廈門理工學院應用數(shù)學學院,福建廈門361024)

在樂觀的多覆蓋模糊粗糙集的基礎上,建立了悲觀的多覆蓋模糊粗糙集模型.分別討論了悲觀多覆蓋模糊粗糙集、基于交的覆蓋模糊粗糙集、覆蓋模糊粗糙集和樂觀多覆蓋模糊粗糙集之間的關系.該模型的建立和得到的諸多性質豐富了粗糙集理論.

模糊粗糙集;悲觀;多覆蓋

粗糙集理論首先是由波蘭數(shù)學家Pawlak[1]引入的,是一種處理不確定信息和數(shù)據(jù)非常有效的工具和方法.Pawlak粗糙集是由定義在論域上的一個劃分(等價關系)來定義的,這一要求在很多情形下卻成了Pawlak粗糙集進一步發(fā)展和應用的一個“短板”.于是Zakowski[2]對Pawlak粗糙集進行了推廣,引入論域上的一個覆蓋的定義,提出了覆蓋粗糙集模型.從另一個角度來看,因為Pawlak粗糙集是由一個等價關系定義的,從而Pawlak粗糙集是單粒化的.于是錢宇華等[3-4]又提出了樂觀的多?；植诩捅^的多粒化粗糙集2種模型.后來很多學者都對多?；植诩M行了深入的討論[5-11].接著在覆蓋粗糙集和多?；植诩幕A上,人們又研究了多覆蓋的粗糙集模型[12-13].

另一方面,模糊集理論也是一種處理模糊和不確定信息的有效工具.于是,人們便把粗糙集理論和模糊集理論結合起來研究,提出了各種模糊的粗糙集模型.例如,Xu等[14]研究了多?；哪：植诩挠嘘P性質.Kong等[15]也建立了覆蓋模糊粗糙集模型,得到了許多深刻的結論.此外,Liu等[16]還研究了樂觀多覆蓋模糊粗糙集模型.但是至今悲觀多覆蓋模糊粗糙集模型還沒有建立和研究,因此本研究在文獻[16]的基礎上,提出了悲觀的多覆蓋模糊粗糙集模型,并討論了有關性質,得到了一些有意義的結論.

1 預備知識

定義1[17]設U是一個論域,C是U的一個覆蓋,稱序對(U,C)為一個覆蓋近似空間.對任意x∈U,稱為x的最小描述.“∧”表示取最小值.

定義2[18]設(U,C)為一個覆蓋近似空間,對X?U,則分別稱

為X的覆蓋下近似和上近似.

在文獻[18]中,可以得到X的覆蓋下近似和上近似有如下性質:

定義3[16]設C是U的一個覆蓋且K∈C,如果K是C-{K}中某些元素的并,則稱K是覆蓋C的可去元素.本文中把覆蓋C中所有的可去元素都剔除后剩下的覆蓋稱為C的一個約簡,記為reduct(C).

定義4[19]設C1,C2是U的兩個覆蓋,若對任意的K1∈reduct(C1)都存在K2∈reduct(C2)使得K1?K2,則稱C1比C2細,記作C1?C2.

定義5[19]設C1={K11,K12,…,K1m1,},C2= {K21,K22,…,K2m2,}是U的兩個覆蓋,則定義這兩個覆蓋的交為

在本文中,F(U)表示所有定義在U上的模糊集的全體.

定義6[19]設(U,C)為一個覆蓋近似空間,對X∈F(U),則分別稱

為X的覆蓋模糊下近似和上近似.這里“∨”表示取最大值.

定義7[19]設U是一個論域,Ω={C1,C2,…, Cm}是U的一個覆蓋族,稱序對(U,Ω)為一個多覆蓋近似空間.

定義8[16]設(U,Ω)為一個多覆蓋近似空間,其中Ω={C1,C2,…,Cm},對X∈F(U),則分別稱

為X的樂觀多覆蓋模糊下近似和上近似.

為此,在定義8的基礎上也可以定義悲觀的多覆蓋模糊下近似和上近似:

定義9 設(U,Ω)為一個多覆蓋近似空間,其中Ω={C1,C2,…,Cm},對X∈F(U),則分別稱

為X的悲觀多覆蓋模糊的下近似和上近似.

2 主要結果

定理1 設(U,Ω)為一個多覆蓋近似空間,其中Ω={C1,C2,…,Cm},對X∈F(U),則有下列性質成立

證明 由定義9顯然可得.

但是對悲觀的多覆蓋模糊粗糙集而言,如下性質

一般卻并不成立.下面舉例說明.

例1 設論域U={x1,x2,x3,x4,x5},C1= {{x1,x2},{x2,x3,x4},{x5}},C2={{x1,x2,x3, x4},{x3,x4,x5}},則有

對模糊集X={0.1,0.2,0.3,0.4,0.5},有

設C1,C2,…,Cm是U的m個覆蓋,根據(jù)定義5, m個覆蓋的交仍然是U的一個覆蓋.于是對任意模糊集X,可以定義基于覆蓋的覆蓋模糊粗糙集.那么悲觀的多覆蓋模糊粗糙集和基于覆蓋的覆蓋模糊粗糙集有何關系呢?首先,不妨舉個例子對此做一個初步的說明.

從而,可得

因此,由例2有如下結論:

定理2 設(U,Ω)為一個多覆蓋近似空間,其中Ω={C1,C2,…,Cm},對X∈F(U),則有下列性質成立

證明 1)為了論述方便,只對m=2的情形給于證明.

設C1,C2是U的兩個覆蓋,對任意x∈U,把C1, C2中所有包含x的元素的集合分別記為

從而有

2)仿1)的證明可得.

悲觀的多覆蓋模糊粗糙集是由m個覆蓋C1,C2,…,Cm定義的,為研究由m個覆蓋C1,C2,…,Cm所定義的悲觀的多覆蓋模糊粗糙集與m個覆蓋C1,C2,…, Cm中任一個覆蓋Ci,i=1,2,…,m所定義的覆蓋模糊粗糙集的關系,本研究通過一個例子來做一個初步的探討.

例3 設U={x1,x2,x3,x4,x5},C1={{x1, x2},{x2,x3},{x2,x3,x4,x5},{x3,x4,x5},{x5}}, C2={{x1,x2,x3},{x1,x2,x3,x4},{x3,x4,x5}},對X={0.5,0.4,0.3,0.2,0.1},有

同樣,對Y={0.5,0.6,0.7,0.8,0.9},也有

因此,由例3有如下結論:

定理3 設(U,Ω)為一個多覆蓋近似空間,其中Ω={C1,C2,…,Cm}.對任意的Ci,i=1,2,…,m和任意X∈F(U),下列性質成立:

證明 由定義6和定義9顯然可證.

注1 在文獻[9]中,我們知道若C1,C2,…,Cm滿足條件:C1?C2?…?Cm,則有等式成立:另一方面,在例3中發(fā)現(xiàn)盡管C1?C2,但是

下面回答由C1,C2,…,Cm定義的悲觀的多覆蓋模糊粗糙集和由reduct(C1),reduct(C2),…, reduct(Cm)定義悲觀的多覆蓋模糊粗糙集的關系.于是有下面的結論.

定理4 設(U,Ω)為一個多覆蓋近似空間,其中Ω={C1,C2,…,Cm},對X∈F(U),則有下列性質成立:

證明 因為對任意x∈U,覆蓋C和其約簡reduct(C)生成的md(x)是相同的,于是由定義9顯然可證.

最后,根據(jù)定義8和定義9,可得樂觀的多覆蓋模糊粗糙集和悲觀的多覆蓋模糊粗糙集的如下關系.

定理5 設(U,Ω)為一個多覆蓋近似空間,其中Ω={C1,C2,…,Cm},對X∈F(U),則有下列性質成立

3 結 論

探討各種廣義粗糙集模型的性質是當前粗糙集理論研究的一個熱點問題.本研究則在文獻[9]的基礎上建立了悲觀的多覆蓋模糊粗糙集模型,并對該模型的有關性質進行了探討,得到了一些有意義的結果.

[1] PAWLAK Z.Rough sets[J].International Journal of Computer and Information Sciences,1982,11(5): 341-356.

[2] ZAKOWSKI W.Approximations in the space(u,π)[J]. Demons Mathematica,1983,16:761-769.

[3] QIAN Y H,LIANG J Y,YAO Y Y,et al.MGRS:a multigranulation rough set[J].Information Sciences,2010,180: 949-970.

[4] QIAN Y H,LIANG J Y,WEI W.Pessimistic rough decision[J].Journal of Zhejiang Ocean University(Natural Science),2010,29(5):19-21.

[5] LI W T,XU W H.Multigranulation decision-theoretic rough set in ordered information system[J].Fundamenta Informaticae,2015,139:67-89.

[6] LI W T,XU W H.Double-quantitative decision-theoretic rough set[J].Information Sciences,2015,316:54-67.

[7] XU W H,WANG Q R,LUO S Q.Multi-granulation fuzzy rough sets[J].Journal of Intelligent and Fuzzy Systems, 2014,26:1323-1340.

[8] XU W H,WANG Q R,ZHANG X T.Multi-granulation rough sets based on tolerance relations[J].Soft Computing,2013,17:1241-1252.

[9] Xu W H,Sun W X,Zhang X Y,et al.Multiple granulation rough set approach to ordered information systems[J].International Journal of General Systems,2012,41(5): 475-501.

[10] XU W H,WANG Q R,ZHANG X T.Multi-granulation fuzzy rough sets in a fuzzy tolerance approximation space[J].International Journal of Fuzzy Systems,2011, 13(4):246-259.

[11] XU W H,ZHANG X T,WANG Q R.A generalized multi-granulation rough set approach[J].Lecture Notes in Bioinformatics,2011,6840:681-689.

[12] LIU C H,MIAO D Q,QIAN J.On multi-granulation covering rough sets[J].International Journal of Approximate Reasoning,2014,55:1404-1418.

[13] LIN G P,LIANG J Y,QIAN Y H.Multigranulation rough sets:from partition to covering[J].Information Sciences,2013,241:101-118.

[14] XU W H,WANG Q R,LUO S Q.Multi-granulation fuzzy rough sets[J].International Journal of Intelligent &Fuzzy Systems,2014,26:1323-1340.

[15] Kong Q Z,Wei Z X.Covering-based fuzzy rough sets[J]. International Journal of Intelligent&Fuzzy Systems, 2015,29:2405-2411.

[16] LIU C H,WANG M Z.Covering fuzzy rough set based on multi-granulations[J].International Conference on Uncertainty Reasoning and Knowledge Engineering, 2011,2:146-149.

[17] ZHU W,WANG F Y.Reduction and axiomatization of covering generalized rough sets[J].Information Sciences,2003,152:217-230.

[18] ZHU W.Relationship among basic concepts in coveringbased rough sets[J].Information Sciences,2009,179: 2478-2486.

[19] WANG J,DAI D,ZHOU Z.Fuzzy covering generalized rough sets[J].Zhoukou Teachers College,2004,21(2): 20-22.

Pessimistic Multi-covering Fuzzy Rough Sets

ZHANG Xiawei

(School of Appliced Mathematics,Xiamen University of Technology,Xiamen 361024,China)

In this article,based on the optimistic multi-covering fuzzy rough sets,the model of pessimistic multi-covering fuzzy rough sets is developed.Furthermore,relationships among optimistic multi-covering fuzzy rough sets,covering fuzzy rough sets based on intersection,covering fuzzy rough sets and pessimistic multi-covering fuzzy rough sets have been studied.All of these results enrich the fuzzy rough set theory.

fuzzy rough sets;pessimistic;multi-covering

O 22

A

0438-0479(2016)06-0918-04

10.6043/j.issn.0438-0479.201603032

2016-03-21 錄用日期:2016-09-20

國家自然科學基金(61472463,61402064);福建省科技計劃項目(JA15281,JAT160369)

xiawzhang@163.com

張夏葦.悲觀的多覆蓋模糊粗糙集[J].廈門大學學報(自然科學版),2016,55(6):918-921.

ZHANG X W.Pessimistic multi-covering fuzzy rough sets[J].Journal of Xiamen University(Natural Science),2016,55 (6):918-921.(in Chinese)