從一道高考題談橢圓中點(diǎn)弦問題的處理策略

羅文軍●

甘肅省秦安縣第二中學(xué)(741600)

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從一道高考題談橢圓中點(diǎn)弦問題的處理策略

羅文軍●

甘肅省秦安縣第二中學(xué)(741600)

2015全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)Ⅱ卷理科第20題是一道橢圓的中點(diǎn)弦問題，該題考查了橢圓的幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系，也較全面地考查了學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識與基本方法的程度，入手容易，但是要想完整解法，需要考生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和較強(qiáng)的分析解決問題的能力，梯度性較強(qiáng).筆者對該題進(jìn)行了探究和推廣，現(xiàn)介紹如下，以饗讀者.

一、真題再現(xiàn)

2015年全國高考新課標(biāo)Ⅱ卷理科第20題：已知橢圓C：9x2+y2=m2(m>0)，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.

(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

二、解法探究

該試題第(1)問是橢圓中點(diǎn)弦的定值問題，筆者對第(1)問的解法進(jìn)行了探究，給出了四種解法，并且從相應(yīng)解法出發(fā)，總結(jié)出了處理橢圓中點(diǎn)弦問題的四種策略.

解法1 設(shè)直線l：y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

將y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2，故

即kOM·k=-9，

所以O(shè)M直線的斜率與l的斜率的乘積為定值.

點(diǎn)評1 將直線方程代入橢圓的方程，消元后得到一個(gè)一元二次方程，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立等式求解.

點(diǎn)評2 點(diǎn)差法，若直線l與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B,設(shè)出A(x1,y1)、B(x2,y2),代入橢圓方程，通過作差，構(gòu)造出x1+x2、y1+y2、x1-x2、y1-y2，從而建立中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.點(diǎn)差法是解決橢圓的中點(diǎn)弦問題的一種常用方法，本解法達(dá)到“設(shè)而不求”的目的，同時(shí)，還可以降低解題的運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程.

解法3 設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0),

由題設(shè)可知x1≠x2且y1≠y2且x0≠0且y0≠0.

點(diǎn)評3 參數(shù)方程法，若直線l與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，設(shè)出直線l的參數(shù)方程，將參數(shù)方程代入橢圓C方程得到一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，再根據(jù)參數(shù)的幾何意義t1+t2=0化簡.

筆者通過對該題進(jìn)行探究，得出了兩個(gè)結(jié)論，并利用兩個(gè)結(jié)論，簡解兩道歷年高考真題.

三、拓展推廣與應(yīng)用

同理可證以下結(jié)論2

G632

B

1008-0333(2016)28-0029-02