◇ 山東 孫墨涵

兩招制勝幾何體與球的切、接問題

◇ 山東 孫墨涵

柱、錐、臺、球等簡單幾何體的結構特征,是立體幾何的基礎,它們的表面積與體積(尤其是體積)是每年高考熱點,其中幾何體與球的切、接問題出現頻率較高.一般情況下旋轉體中的圓錐、圓柱與球的切、接問題比較簡單,在此不做贅述,本文重點研究多面體與球的切、接問題.

1 幾何體與球的相接問題

例1 若長、寬、高分別為a、b、c的長方體的頂點都在同一球面上,求該球的直徑2R.

過長方體的一個對角面作組合體的截面圖,顯然有

長(正)方體的外接球直徑是長(正)方體的體對角線.

方法1 過正四面體的高AG所在直線和正四面體的一條側棱AB作出組合體的截面如圖1,找準球心位置,構造三角形求解半徑.在Rt△ABG中,由勾股定理可求得在 Rt△ABE中,由射影定理可求得AE即直徑2R＝

圖1

圖2

正四面體外接球的球心在高線上,半徑是正四面體高的3/4.

兩招制勝 幾何體的外接球問題:一方面,可以考慮作組合體的合適的截面,在截面中找到球的半徑和所給棱長的關系;另一方面,也可以考慮所給幾何體是哪個常見幾何體(長方體、正方體、棱柱)的切割后的圖形.

2 幾何體與球的相切問題

例3 求棱長為a的正四面體的內切球的半徑.

由正四面體本身的對稱性可知,內切球的球心就是正四面體的體心,連接體心和4個頂點,正四面體被分成4個全等的正三棱錐,正三棱錐和正四面體的底面積相同,體積是正四面體的1/4,所以高是正四面體高的1/4,所以球心為正四面體高的四等分點,即內切球的半徑為h/4(h為正四面體的高),從而可以通過圖3中正四面體的截面圖如圖4所示,在Rt△BEO中,BO2＝BE2＋EO2,即R2＝因為R＝3r,解得

圖3

圖4

圖5

方法2 連接球心與四棱錐的5個頂點,則四棱錐被分割為一個小四棱錐和四個等底的三棱錐,由等體積法可求得球的半徑.

兩招制勝 幾何體與球相切問題:1)作組合體的合適的截面,在截面中根據線段關系解三角形或者用等面積法求解;2)因為球心到幾何體的各個面的距離相等,都為球半徑,所以求球的半徑可轉化為求球心到幾何體各面的距離,直接用等體積法解決.

(作者單位:山東省萊蕪市萊城區(qū)鳳城高級中學)