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    Integrability and solutions to multi-component degenerate CH-type equations

    2016-12-21 08:24:58ZhenXiaoyan
    關(guān)鍵詞:哈密頓寧波大學(xué)國家自然科學(xué)基金

    Zhen Xiaoyan

    (Department of Mathematics,Ningbo University,Ningbo315211,China)

    Integrability and solutions to multi-component degenerate CH-type equations

    Zhen Xiaoyan

    (Department of Mathematics,Ningbo University,Ningbo315211,China)

    In this paper,we propose a multi-component degenerate CH-type system with cubic nonlinearity.This system is shown to be integrable with admitting Lax pair,bi-Hamiltonian structure and recursion operator.In particular,the two-component degenerate Novikov equation is mainly concerned and its exact singular solutions with a finite number of corners are obtained.

    bi-Hamiltonian structure,short-wave limit,exact singular solution,multi-component Camassa-Holm type equation

    1 Introduction

    The Hunter-Saxton(HS)equation

    was derived by Hunter and Saxton as a model for describing propagation of orientation waves in a massive nematic liquid crystal director field[1].It can be derived as the high-frequency limit of the Camassa-Holm(CH)equation[2-3],so it can be regarded as a degenerate CH equation. Similar to the CH equation,the HS equation is also integrable[4],which admits bi-Hamiltonian structure,Lax-pair and rich symmetries[5-6].Interestingly,the HS equation can be linearizedby a reciprocal transformation[5].In the similar manner,the short-pulse equation[7]

    They further showed that the Novikov equation(1)is related to a negative flow in the Sawada-Kotera hierarchy.Its infinitely many conserved quantities and a bi-Hamiltonian structure are also presented.

    It is of interest to find multi-component generalizations of these CH-type equations[14-19].Some of them have physical applications[20-21]and nice geometric formulations[14]. For instance,Geng and Xue[15]introduced the two-component Novikov equation:

    It is also a completely integrable system,possessing Lax representation and bi-Hamiltonian structure.Moreover,they studied the special reductions of their general spectral problem.In this sense,almost all known 3×3 spectral problem for the CH-type equations are contained in this case.Recently,Popowicz[24]introduced the matrix version of the Lax representation of equation(3)in which mi=ui-uixx,ni=vi-vixx,i=1,2 are N-dimensional matrices.

    In this paper,we consider the case where mi=-uixx,ni=-vixx,i=1,2 are N-dimensional vector function.Since the HS equation can be derived from high-frequency limitof the celebrated CH equation.A natural question is to extend such a study to the multicomponent systems.Analogous to the derivation of the HS equation,we construct multicomponent degenerate CH-type equation.

    The structure of the paper is as follows.In Section 2,we will show that the multicomponent degenerate CH-type system is completely integrable with a Lax pair and bi-Hamiltonian structure.In Section 3,an infinite sequence of symmetries is constructed by its recursion operator.In Section 4,we consider the special reductions of our general spectral problem.

    2 Construction of multi-component degenerate CH-type equation

    3 An infinite sequence of symmetries

    4 Reductions

    Reference

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    [6]Tian K,Liu Q P.Conservation laws and Symmetries of Hunter-Saxton equation[J]:revisited,arXiv:1501.03666v1[nlin.Si],2015.

    [7]Sch?fer T,Wayne C E.Propagation of ultra-short optical pulses in cubic nonlinear media[J].Phys.D,2004,196:90-105.

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    [25]Olver P J.Applications of Lie Groups to Differential Equations[M].New York:Spring-Verlag,1998.

    多分量退化的CH型方程的可積性及其解

    甄肖燕

    (寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系,浙江,寧波315211)

    主要研究多分量退化的含有立方項(xiàng)的CH型方程,并證明了其可積性:Lax表示,雙哈密頓結(jié)構(gòu),以及遞推算子.特別地,得到了一個(gè)退化的兩分量的Novikov方程,并給出了其有限個(gè)拐點(diǎn)的奇性解.

    雙哈密頓結(jié)構(gòu),多分量CH型方程,極限約束,奇性解

    O175.2

    2016-01-10.

    國家自然科學(xué)基金(11471174).

    甄肖燕(1990-),碩士生,研究方向:非線性偏微分方程的研究.

    10.3969/j.issn.1008-5513.2016.02.008

    2010 MSC:35A01Document Code:AArticle ID:1008-5513(2016)02-0169-13

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