☉江蘇省南通市通州區(qū)教學(xué)研究室 王惠清

淺談思維定勢下的錯(cuò)題成因與應(yīng)對

☉江蘇省南通市通州區(qū)教學(xué)研究室 王惠清

定勢思維是非常常見的思維積累后的一種運(yùn)用表象（德國心理學(xué)研究者克勞斯語）.良好的思維定勢對于我們解決問題有極大的幫助作用，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最常見的思維定勢運(yùn)用體現(xiàn)在問題解決的模式識(shí)別中，這是思維定勢比較積極的一面.從雙基教學(xué)的扎實(shí)程度來看，思維定勢積極的一面的確能幫助很多學(xué)生解決典型固定模型問題，但是隨著教學(xué)整合的加深，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在問題解決過程中的難度也愈來愈大，不少學(xué)生（特別是偏文型的學(xué)生）總是不停地搜索腦海中的固有模型，或者總是問這樣的數(shù)學(xué)問題有沒有固定思維或模式可套用，這是典型的思維定勢的表象之一.

從教育心理學(xué)的角度來說，思維定勢最大的不足有兩個(gè)方面：其一，僵化知識(shí)的串聯(lián)，抹殺了知識(shí)間的穿插使用，這等于告訴學(xué)生代數(shù)問題代數(shù)解決，而沒有另外角度的思考，這種僵化對于學(xué)生知識(shí)的連貫度有重大的阻礙作用；其二，創(chuàng)新能力的不足，過于在思維定勢中糾結(jié)，往往讓學(xué)生對問題解決的創(chuàng)新精神發(fā)揮不足，這對于學(xué)生長期的成長來說有一定的阻礙作用.因此，教師教學(xué)中必須對學(xué)生依賴思維定勢進(jìn)而形成的錯(cuò)誤要及時(shí)關(guān)注和應(yīng)對，用發(fā)展的眼光來看待模式識(shí)別，積極發(fā)揮其優(yōu)勢作用而減少其消極的影響.來看一下高中數(shù)學(xué)中常見的一些由思維定勢而引起的錯(cuò)解和漏解.

一、思維縝密性不足

思維縝密性不足是定勢思維解決問題中的常態(tài)錯(cuò)誤.學(xué)生對于思維的常見僵化在于問題求解的慣性，一旦思維慣性使然，學(xué)生就將問題思考變得無意識(shí)化，從而問題的解決轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N定勢思維下的機(jī)械化操作，思維的縝密度大大下降，導(dǎo)致錯(cuò)誤產(chǎn)生.

問題1：已知集合A=｛x|x2+x-6=0｝，B=｛ax+1=0｝，滿足B?A，求實(shí)數(shù)a能取的一切可能值所組成的集合.

錯(cuò)誤分析：這是由事物表象迷惑引起的思維定勢，學(xué)生將“ax+1=0”簡單地看成是一個(gè)一元一次方程，而忽視了a=0的情況.事實(shí)上，當(dāng)a=0時(shí)，B=?，顯然滿足B?A，因此正確的結(jié)果是

變式：當(dāng)a為何值時(shí)，不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集為全體實(shí)數(shù)？

錯(cuò)誤分析：學(xué)生將原不等式簡單地看成一個(gè)一元二次不等式，被它的表象所迷惑，產(chǎn)生了解題上的思維定勢.事實(shí)上，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a2-1=0時(shí)，即a=±1時(shí)，它并不是一元二次不等式，經(jīng)過分類討論知，當(dāng)a=1時(shí)，也滿足題意，故本題正確的解集為

二、思維全面性缺失

定勢思維常見的第二種錯(cuò)誤是思考問題的片面性，這種片面性形成的主因是教學(xué)對知識(shí)全面性使用的忽視，造成了思維定勢.比如，等比數(shù)列求和公式中公比是否為1的討論，公式使用過程中對于公比為1的情形一般較少遇到，導(dǎo)致了學(xué)生思維定勢在公式使用過程中只考慮公比不為1的情形，造成了思考全面性缺失的錯(cuò)誤.

問題2：求和Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1.

錯(cuò)誤解法：因?yàn)镾n=1+2x+3x2+…+nxn-1①，則xSn=x+ 2x2+3x3+…（n-1）xn-1+nxn②.

①-②得（1-x）Sn=1+x+x2+…xn-1-nxn，所以Sn=

錯(cuò)誤分析：錯(cuò)誤的原因是缺少對x=1或x≠1時(shí)的討論.由于我們在計(jì)算等比數(shù)列的求和問題時(shí)，常見的等比數(shù)列的公比不是1，因此，有不少學(xué)生在解題時(shí)產(chǎn)生了思維上的定勢，只注重公式的“核心”部分，而忽視對特殊情況的考慮（例如本題中公比x=1），從而產(chǎn)生了顧此失彼的現(xiàn)象.

問題3：已知直線l：y=kx+1，拋物線C：y2=4x，問：當(dāng)k為何值時(shí)直線l與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)？

錯(cuò)誤分析：由于有不少學(xué)生對直線與圓的位置關(guān)系判斷中，直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)判別式Δ=0這種方法記憶深刻，從而產(chǎn)生了解題思維上的一種定勢，而忽視了當(dāng)直線l與拋物線C的對稱軸平行時(shí)，即只有一個(gè)公共點(diǎn)這種特殊的現(xiàn)象.

變式：求曲線y=3x-x3過點(diǎn)A（2，-2）的切線方程.

錯(cuò)誤解法：因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)y′=3-3x2，又點(diǎn)A在曲線上，所以k=y′|x=2=-9，解得該曲線的切線方程為9x+y-16=0.

錯(cuò)誤分析：不少學(xué)生在學(xué)習(xí)曲線的切線方程時(shí)，只知道過光滑曲線上一點(diǎn)，一定有一條直線和已知曲線相切，并且該點(diǎn)即為切點(diǎn)，但忽視了這一點(diǎn)可能是曲線的另一條切線與該曲線的交點(diǎn).從根本上講仍然是學(xué)生認(rèn)為過曲線上一點(diǎn)至多有一條直線與已知曲線相切，就好像是直線與圓一樣，這種狹隘的思想根深蒂固.

正確解法：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)y′=3-3x2，所以又由直線方程的兩點(diǎn)式得k=從而有解得x=-1或0x0=2，故切線的斜率k=0或k=-9，因此切線方程為y+2=0或9x+y-16=0.

三、思維轉(zhuǎn)化度不足

思維轉(zhuǎn)化度是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識(shí)是否靈活的重要評判標(biāo)準(zhǔn)，而長期訓(xùn)練會(huì)導(dǎo)致這樣那樣的思考定勢，讓學(xué)生在某些問題的處理上往往失去靈性.有時(shí)思維不能及時(shí)轉(zhuǎn)化，還導(dǎo)致了學(xué)生在方法選擇上的單一，甚至是因?yàn)榉椒ㄟx擇的困難導(dǎo)致最終無法得到正確的答案，這些都是思維轉(zhuǎn)化度不足的表現(xiàn)，因此教師教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生多角度地思考來解決問題，弱化思維定勢，及時(shí)形成應(yīng)對解決.

問題4：等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=m，前m項(xiàng)和Sm=n（m≠n），求前m+n項(xiàng)的和Sm+n.

思維定勢解答：設(shè)｛an｝的公差為d，則由Sn=m，Sm=n

思維轉(zhuǎn)化下的突破：設(shè)Sn=An2+Bn（n∈N*），則

③-④得A（m2-n2）+B（m-n）=n-m.因?yàn)閙≠n，所以A（m+n）+B=-1.

所以A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），所以Sm+n=-（m+n）.

說明：這是筆者給學(xué)生進(jìn)行的一次數(shù)列測試中的問題，令筆者失望的是，絕大多數(shù)學(xué)生都是用第一種思維定勢下的解決方式在處理，學(xué)生對于本題的解答是典型的定勢思維：只要解決首項(xiàng)和公差，必定可以求解Sm+n，這是思維方式比較簡潔的解法，但是實(shí)際操作如何呢？大多數(shù)學(xué)生花費(fèi)了較多的時(shí)間運(yùn)算，卻最終沒能得到正確的答案.考慮到條件的對稱性，本題的解決思路從數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)入手，這樣會(huì)更為簡潔和輕快.

總之，與任何事物存在兩面性一致，思維定勢既有其優(yōu)點(diǎn)，也存在其不足.讓學(xué)生在不斷扎實(shí)典型問題思維的基礎(chǔ)上，進(jìn)行有效的、有創(chuàng)造性的發(fā)展，是我們提高學(xué)生思維發(fā)展和應(yīng)對定勢思維存在缺陷最好的手段.從教學(xué)一線得到的經(jīng)驗(yàn)來看：

首先，加強(qiáng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，重視知識(shí)的形成過程.在教學(xué)中，我們不僅要使學(xué)生牢記相應(yīng)的知識(shí)，而且要使學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，得到思維能力方面的提高.有不少學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)定義、定理、公式等，只要記著就行了，對定理的證明，公式的推導(dǎo)很少能給以足夠的重視.甚至有不少教師也往往只重視讓學(xué)生把定義、定理、公式正確地、全面地接受下來，而不去探討它們的由來和實(shí)質(zhì)，缺少對相應(yīng)定理或公式的證明和推導(dǎo)，忽略其證明和推導(dǎo)的原因.這樣學(xué)生只會(huì)機(jī)械地記公式，套定理，而忽視了運(yùn)用的前提和條件，一來學(xué)生很難記憶這些公式和定理，二來也很容易造成解題和思維上的某種定勢.

其次，應(yīng)當(dāng)指出，任何事物都有它的兩面性，數(shù)學(xué)中的思維定勢并非純粹只有消極影響，它也有好的一面，例如，正確的思維方式可以幫我們建立完整的解題模式，可以帶來解題上的方便，節(jié)約不少的時(shí)間.因此，教師真正要做的是如何加深學(xué)生對概念、公式、定理和方法的理解，如何使學(xué)生學(xué)會(huì)正確的思考，培養(yǎng)學(xué)生合理解決數(shù)學(xué)問題的能力，從而有效地避免由思維定勢所產(chǎn)生的消極影響.

1.傅瑞琦.試題分析讓教研更精彩［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2012（3）.

2.曹鳳山.你能看出結(jié)果嗎？——以一道例題的探究為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2011（9）.

3.宋衛(wèi)東.從生“動(dòng)”到生動(dòng)，詮釋思維品質(zhì)的提升［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月考，2013（5）.