陳 剛

(陜西省西鄉(xiāng)縣第二中學(xué)，723500)

○教學(xué)研究○

小組合作學(xué)習(xí)教學(xué)模式設(shè)計(jì)
——以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)為例

陳 剛

(陜西省西鄉(xiāng)縣第二中學(xué)，723500)

作為當(dāng)代主流教學(xué)理論與策略之一的小組合作學(xué)習(xí),它改變了原有傳統(tǒng)講授式的教學(xué)模式,讓學(xué)生在問題情境中探索,在解決問題的過程中合作與交流,使得學(xué)生的學(xué)習(xí)過程更加生動(dòng)活潑,更好地發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性．它不僅僅是一種學(xué)習(xí)方式,學(xué)習(xí)者在小組學(xué)習(xí)的環(huán)境里學(xué)會(huì)與他人互相交流合作.例如，彼此尊重、理解和寬容、表達(dá)、傾聽和說服他人等等.這種學(xué)習(xí)方式能從根本上改善課堂的氣氛,大面積提高學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī),促進(jìn)學(xué)生形成良好的非認(rèn)知心理品質(zhì)等．正是基于這一認(rèn)知,小組合作學(xué)習(xí)成為中學(xué)課堂教學(xué)中的一大亮點(diǎn)．

雖然小組合作學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式的重大變革,但在具體的教學(xué)實(shí)踐中,特別是在與每個(gè)學(xué)校具體實(shí)情相結(jié)合,每個(gè)教師在課堂具體的操作的過程中,又出現(xiàn)了一些新情況、新問題,這與小組合作學(xué)習(xí)的理論預(yù)期之間還存在著較大的差距．為了使小組合作學(xué)習(xí)能更好、更有效地促進(jìn)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué),筆者結(jié)合“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一節(jié)課的教學(xué)，就小組合作學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中存在的問題進(jìn)行了細(xì)致的研究和分析．

為了盡量規(guī)避小組合作學(xué)習(xí)在教學(xué)中出現(xiàn)的問題,結(jié)合小組合作學(xué)習(xí)的教學(xué)建議,在提取同組其他教師建議的基礎(chǔ)上,編擬了高中數(shù)學(xué)小組合作學(xué)習(xí)課堂設(shè)計(jì)案例,并在日常教學(xué)中加以實(shí)踐,收到了較好的教學(xué)效果．

一、教材及學(xué)情分析

本節(jié)課是北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章圓錐曲線與方程第一節(jié)橢圓的第一課時(shí)“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”,是在學(xué)習(xí)完圓與圓的方程后又一種新的圓錐曲線；同時(shí)為后面拋物線和雙曲線的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).因此，“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”這節(jié)課起到了承上啟下的重要作用．在這一章節(jié)中,我們將類比圓與圓的方程的學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)方法,繼續(xù)用解析幾何的思想探究橢圓的幾何特征及其定義,建立橢圓的方程,進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想．

本節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)含了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法,如數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等．因此,教學(xué)時(shí)應(yīng)重視體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法及價(jià)值．

根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn),教學(xué)過程中可充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用,用動(dòng)態(tài)作圖優(yōu)勢(shì)為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持．

二、教學(xué)目標(biāo)分析

按照教學(xué)大綱的要求,根據(jù)教材分析和學(xué)情分析,確定如下教學(xué)目標(biāo):

(1)知識(shí)與技能目標(biāo).理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,在化簡(jiǎn)橢圓方程的過程中提高學(xué)生的運(yùn)算能力．

(2)過程與方法目標(biāo).經(jīng)歷橢圓概念的產(chǎn)生過程,由形象到抽象,從具體到一般,掌握數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì),提高學(xué)生的歸納概括能力,進(jìn)一步感知數(shù)形結(jié)合和解析法的思想．

(3)情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo).充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位,引導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)、觀察、思考、合作、探究、歸納、交流、反思,促進(jìn)形成研究氛圍和合作意識(shí)．

三、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

(1)教學(xué)重點(diǎn).橢圓的定義及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

(2)教學(xué)難點(diǎn).橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

四、教法分析

新課程倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、小組合作學(xué)習(xí),要求教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作者和促進(jìn)者,使教學(xué)過程成為師生交流、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過程．本節(jié)課采用讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導(dǎo)的教學(xué)方法,按照“創(chuàng)設(shè)情境——學(xué)生實(shí)驗(yàn)——意義建構(gòu)——形成理論——知識(shí)應(yīng)用——回顧反思——鞏固提高”的程序設(shè)計(jì)教學(xué)過程；并以多媒體手段輔助教學(xué),使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐、觀察、猜想、論證、交流、反思等理性思維的基本過程,切實(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.課前小組合作學(xué)習(xí)

學(xué)生活動(dòng)內(nèi)容分組目標(biāo)成果展示小組困惑工具教師活動(dòng)1．復(fù)習(xí)圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．列舉生活中橢圓的例子．6人一組1．掌握?qǐng)A的定義和圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程；2．感知解析幾何的思想；3．感知數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)來源于生活．整理成紙質(zhì)材料小組長(zhǎng)記錄課前對(duì)學(xué)生復(fù)習(xí)整理的相關(guān)材料進(jìn)行檢查，并評(píng)出質(zhì)量較好的小組在班內(nèi)通過投影儀展示

設(shè)計(jì)意圖 為本節(jié)課橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．

2.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

用圓柱狀水杯盛半杯水,將水杯放在水平桌面上,截面為圓形；當(dāng)端起水杯喝水時(shí),水杯傾斜,再觀察水平面,此時(shí)截面為橢圓形.看來,橢圓是與圓有著密切關(guān)系的一種曲線.圓是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡,根據(jù)圓的定義,用一根細(xì)繩就可畫出一個(gè)圓.將細(xì)繩的一貫固定在黑板上,在另一端系上一支粉筆,將細(xì)繩繃緊并繞固定端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周即可.將圓心從一點(diǎn)“分裂”成兩點(diǎn),將細(xì)繩的兩端固定在這兩點(diǎn),用粉筆挑起細(xì)繩并繃緊,移動(dòng)粉筆,可畫出什么圖形?

設(shè)計(jì)意圖 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索欲望．

3.課中小組合作學(xué)習(xí)

學(xué)生活動(dòng)內(nèi)容分組目標(biāo)成果展示小組困惑工具教師活動(dòng)1．三人一組合作，在紙板上畫一個(gè)橢圓；2．通過橢圓的形成過程，類比圓的定義，給出橢圓的定義；3．思考：作圖過程中，兩個(gè)圖釘?shù)奈恢檬欠窨梢匀我膺x??？3人一組1．感知橢圓的形成過程；2．理解和掌握橢圓的定義；1．部分小組給出橢圓的定義，其他小組加以補(bǔ)充或改正；2．對(duì)活動(dòng)內(nèi)容中的3思考題展開小組之間的辯論．小組長(zhǎng)記錄細(xì)繩一段，圖釘兩枚，紙板一張1．參與各個(gè)小組的活動(dòng)，在各小組之間巡視，并適時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)；2．對(duì)小組的辯論加以總結(jié)和概括，形成橢圓的概念．

設(shè)計(jì)意圖 一方面,在小組合作實(shí)驗(yàn)的過程中感知橢圓的形成過程;另一方面,通過小組之間的討論使學(xué)生準(zhǔn)確理解橢圓以及橢圓的焦點(diǎn)和焦距有關(guān)的概念,從而提升學(xué)生合作的探究能力以及數(shù)學(xué)概括、表達(dá)能力．

4.形成理論，建立數(shù)學(xué)

(1)橢圓定義的完善

提出問題:橢圓的定義中對(duì)于常數(shù)有沒有要求?這個(gè)常數(shù)可以是任意正實(shí)數(shù)嗎?

引導(dǎo)學(xué)生回答:在“定義”中需要加上“常數(shù)>|F1F2|”的限制；繼續(xù)深化問題:若常數(shù)=|F1F2|或常數(shù)<|F1F2|,情況會(huì)發(fā)生什么變化?

以平面幾何中的“三角形任意兩邊之和大于第三邊”、“兩點(diǎn)之間線段最短”為理論依據(jù),得出結(jié)論:當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時(shí),與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2;當(dāng)常數(shù)<|F1F2|時(shí),與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡不存在.

請(qǐng)學(xué)生給出經(jīng)過修改的橢圓定義,教師用幻燈片給出完善的橢圓定義,并介紹焦點(diǎn)、焦距的定義.

說明 這里的教學(xué)方式并沒有采用小組合作學(xué)習(xí)形式,讓學(xué)生進(jìn)行小組討論交流,而是借鑒了傳統(tǒng)教學(xué)模式中的引導(dǎo)法和啟發(fā)法,讓每個(gè)學(xué)生能進(jìn)行自主思考探究,使學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的完善過程,加深對(duì)橢圓本質(zhì)的認(rèn)識(shí),逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)．避免了小組合作學(xué)習(xí)流于形式,甚至成了個(gè)別數(shù)學(xué)優(yōu)秀生展示的舞臺(tái),學(xué)困生的看臺(tái)．

(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(i)回顧用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟:建系設(shè)點(diǎn)、寫出動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何約束條件、坐標(biāo)化、化簡(jiǎn)、證明等價(jià)性．

(ii)建立焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

① 建系設(shè)點(diǎn):觀察橢圓的幾何特征,如何建系能使方程更簡(jiǎn)潔?——利用橢圓的對(duì)稱性特征.

以直線F1F2為x軸,以線段F1F2的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)焦距為2c(c>0),則F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0).設(shè)M(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)M與點(diǎn)F1、F2的距離之和為2a(2a>2c).

② 動(dòng)點(diǎn)M滿足的幾何約束條件:

|MF1|+|MF2|=2a.

③ 坐標(biāo)化:

④ 化簡(jiǎn):化簡(jiǎn)橢圓方程是本節(jié)課的難點(diǎn),突破難點(diǎn)的方法是引導(dǎo)學(xué)生思考如何去根號(hào).

5.課中小組合作學(xué)習(xí)

活動(dòng)內(nèi)容分組目標(biāo)成果展示學(xué)生困惑工具教師活動(dòng)化簡(jiǎn)(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a6人一組掌握化簡(jiǎn)含根號(hào)的方法，提升學(xué)生的運(yùn)算力，培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神小組選取代表進(jìn)行方法展示小組長(zhǎng)記錄1．參與各個(gè)小組的活動(dòng)，在各小組之間巡視，并適時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)；2．對(duì)小組的辯論加以總結(jié)和概括，評(píng)出方法最優(yōu)小組，得出焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

教師預(yù)想小組可能的化簡(jiǎn)方法:

(1)移項(xiàng)后兩次平方法;

(2)用等差數(shù)列法:設(shè)

(3)三角換元法:

設(shè)計(jì)意圖 進(jìn)一步熟悉用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法,掌握化簡(jiǎn)含根號(hào)等式的方法,提高運(yùn)算能力,從而突破本節(jié)課的難點(diǎn)．

6.數(shù)學(xué)應(yīng)用，鞏固新知

例1 判斷分別滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是否為橢圓：

(1)到點(diǎn)F1(-2,0)和點(diǎn)F2(2,0)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡;(是)

(2)到點(diǎn)F1(-2,0)和點(diǎn)F2(2,0)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡.(不是)

例2 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是F1(-1,0)、F2(1,0),橢圓上一點(diǎn)M到F1、F2的距離之和為4,求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

7.回顧反思——?dú)w納提煉

(1)知識(shí)點(diǎn):橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)數(shù)學(xué)方法:用坐標(biāo)化的方法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程；

(3)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想.

設(shè)計(jì)意圖 明確目標(biāo),掌握數(shù)學(xué)思想與方法,易于掌握所學(xué)內(nèi)容,構(gòu)建知識(shí)鏈．

8.課后作業(yè),鞏固提高

必做題:課本第96頁(yè)習(xí)題1,2.

9.課后小組合作學(xué)習(xí)

活動(dòng)內(nèi)容分組目標(biāo)成果展示學(xué)生困惑工具教師活動(dòng)1．求焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．辨析焦點(diǎn)分別在x軸、y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點(diǎn)．3人一組體會(huì)數(shù)學(xué)中類比法的思想以及化歸的思想小組以書面作業(yè)的形式上交對(duì)各個(gè)小組上交的作業(yè)批改，并對(duì)學(xué)生的各種思路和方法加以總結(jié)，評(píng)出最佳方法．

教師預(yù)想小組可能的化簡(jiǎn)方法:(1)類比焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程;(2)借助于化歸思想,要得到焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,只需將焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的x軸與y軸互換位置．

設(shè)計(jì)意圖 一方面,體會(huì)數(shù)學(xué)中類比的思想以及化歸思想;另一方面，分解本節(jié)課的重難點(diǎn),同時(shí)為下節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊．