楊 梅

(江蘇師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,221116) (河南省商丘市夏邑實驗中學,476000)

函數(shù)概念教學的若干思考

楊 梅

(江蘇師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,221116) (河南省商丘市夏邑實驗中學,476000)

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學的重要內(nèi)容,也是世界各國中學數(shù)學課程的重要內(nèi)容.函數(shù)的概念是高中數(shù)學的重要概念之一,同時也是學生進入高中階段遇到的第一個難點,對函數(shù)概念的理解也將會影響學生對函數(shù)后續(xù)內(nèi)容的學習和理解.因此,有必要探討如何更好地優(yōu)化函數(shù)概念的教學設(shè)計,促進學生對函數(shù)概念的本質(zhì)理解.以下是筆者在構(gòu)思教學設(shè)計時的一些思考.

一、對教學目標的思考

教學目標是教學設(shè)計的出發(fā)點,也是一切教學過程和教學活動的根本歸宿，因此,在教學設(shè)計前,有必要厘清本節(jié)課的教學目標. 本節(jié)課是函數(shù)的第一節(jié)課,函數(shù)概念的抽象造成了其難懂、難學.因此,本節(jié)課應(yīng)當通過大量豐富的實例展示函數(shù)概念的形成過程,幫助學生深刻理解函數(shù)概念的本質(zhì)在于對應(yīng),引導學生在大量豐富的實例的支撐下用集合語言歸納函數(shù)的概念,并通過有效的例題幫助學生進一步加深對函數(shù)概念本質(zhì)的理解. 因此,本節(jié)課的教學目標應(yīng)定位于以下兩點:

一是在大量豐富的函數(shù)實例的支持下,讓學生經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過程,并能用現(xiàn)代集合語言歸納函數(shù)的概念.

二是運用例題幫助學生進一步加深對函數(shù)概念的認識和函數(shù)概念本質(zhì)的理解.

二、對教學過程的思考

縱觀歷史上函數(shù)概念的發(fā)展,眾多數(shù)學家從集合、代數(shù)、對應(yīng)、集合的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的內(nèi)涵,從而推動了整個數(shù)學的發(fā)展. 函數(shù)概念的一次次提出、一次次推翻、一次次修正、一次次完善,是后人對前人思維的一次次突破. 因此,教師可以還原函數(shù)概念發(fā)生的歷史過程,當然這里所說的歷史過程應(yīng)當是函數(shù)概念發(fā)生過程的課堂濃縮,而不是現(xiàn)實版的歷史過程. 從函數(shù)概念發(fā)生、演變的歷史過程中選取若干有代表性的觀點并結(jié)合有關(guān)實例編織函數(shù)概念的發(fā)生、發(fā)展線路圖. 如下表:

第一次認識第二次認識第三次認識第四次認識代表人物約翰·貝努利，歐拉歐拉柯西、狄利克雷康托爾、維布倫主要觀點函數(shù)就是解析式函數(shù)表示的是變量的一種依賴關(guān)系變量對應(yīng)說集合對應(yīng)說局限性并非所有的函數(shù)關(guān)系都能用表達式表示并非所有變量之間都具有依賴關(guān)系沒有局限性，經(jīng)典函數(shù)定義沒有局限性，現(xiàn)代函數(shù)定義

還原函數(shù)概念的發(fā)生、發(fā)展和形成過程,意圖有兩點:

其一,以學生的已有認知作為新知的重要生長點.所謂知識的生長點,是指“對學習新知識起支持作用的原有知識,或者能使所獲得新知識被固定在認知結(jié)構(gòu)中某一部位的那些知識.” 現(xiàn)代學習理論中的認知同化理論認為,數(shù)學學習主要是有意義的學習,如果原有認知結(jié)構(gòu)中的某些觀念能與新知識發(fā)生實質(zhì)性的、非人為的聯(lián)系,可根據(jù)新舊知識的邏輯關(guān)系,把原有的認知結(jié)構(gòu)主動地與新知識相互作用,形成新的認知結(jié)構(gòu). 因此,在教學前,要充分了解和分析學生的原有認知結(jié)構(gòu)中是否具有適當?shù)哪軌蚺c新知識建立聯(lián)系的知識生長點,找到知識生長點有助于找到新知識的源頭活水,才能使探求新知識成為可能. 學生初中階段所學的“函數(shù)的變量對應(yīng)說”(函數(shù)的經(jīng)典定義)是新知識“函數(shù)的集合對應(yīng)說”的知識生長點.

其二,滲透數(shù)學文化,引導學生體會數(shù)學的理性精神.函數(shù)概念的整個歷史進程中,經(jīng)歷了無數(shù)數(shù)學家“一次次的提出概念、一次次的推翻概念”的探究過程,不斷地引發(fā)更多的數(shù)學家在函數(shù)概念和函數(shù)本質(zhì)問題上進行更深層次的思考. 這是必然現(xiàn)象,因為人類在探索自然規(guī)律的過程中必然有各種假設(shè),雖然后來發(fā)現(xiàn)某些假設(shè)是錯誤的,但正是前人的失敗才使后人的思考走上了正確的道路. 通過明晰數(shù)學概念的發(fā)生、發(fā)展的過程,可以引導學生體會數(shù)學的人文價值、應(yīng)用價值和科學價值,開闊學生的視野,加強學生對數(shù)學的宏觀認識和整體把握,領(lǐng)會數(shù)學學科獨有的理性精神

三、對例題選取的思考

本課的目標在于引導學生建構(gòu)函數(shù)的概念,并能對函數(shù)的概念及其本質(zhì)有較為深刻的認識. 因此,本節(jié)課的例題選取應(yīng)摒棄大量技巧性繁雜的求函數(shù)定義域和求值域問題,而要把精力穩(wěn)穩(wěn)地放在幫助學生對于函數(shù)概念及其本質(zhì)的通透理解上. 在例題選取時,筆者認為應(yīng)注意以下兩點:

其一,既要呈現(xiàn)函數(shù)概念的正例,以突出概念的本質(zhì)屬性;也要呈現(xiàn)函數(shù)概念的反例,以消除函數(shù)概念非本質(zhì)屬性的干擾.

例1 判斷下列對應(yīng)是否為函數(shù):

(2)x→y,這里y2=x,x∈N,y∈R；

(3)x→1,x∈R;

(4)x→y,這里y=x-1,x∈N*,y∈N*.

其中(1)(3)的對應(yīng)是函數(shù),符合函數(shù)概念的本質(zhì)屬性;而(2)(4)不符合函數(shù)概念的本質(zhì)屬性,對應(yīng)都不是函數(shù),通過正例和反例的雙向作用,更有效地突出函數(shù)概念的本質(zhì)屬性.

其二,選取教材的習題作為進一步加強學生對函數(shù)概念本質(zhì)理解的例題.

例2 已知集合A=R,B={-1,1},對應(yīng)法則f如下:當x為有理數(shù)時,f(x)=-1;當x為無理數(shù)時,f(x)=1.該對應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)嗎?

例3 已知集合A={1,2,3,4},B={1,3,5},試寫出從A到B的兩個函數(shù).

例4 請寫出3個不同的函數(shù)y=f(x)的解析式,滿足f(1)=1,f(2)=4.

例5 已知一個函數(shù)的解析式為y=x2,它的值域為{1,4},這樣的函數(shù)有多少個?試寫出所有可能的函數(shù).

例6 已知一個函數(shù)的解析式為y=x2,它的值域為[1,4],這樣的函數(shù)有多少個?試寫出其中兩個函數(shù).