楊愛東

(江蘇省鹽城市田家炳中學(xué)，224001)

三角函數(shù)最值問題的常見解法

楊愛東

(江蘇省鹽城市田家炳中學(xué)，224001)

縱觀江蘇近幾年高考試卷不難發(fā)現(xiàn),在對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行考查時(shí),出現(xiàn)了一種重要的題型——求三角函數(shù)的最值.該題型靈活多變,對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力有著重要意義．本文結(jié)合具體案例簡(jiǎn)要闡述三角函數(shù)最值問題的幾種常見解法．

一、利用配方法

配方法是高中數(shù)學(xué)解題中的基本方法,也是解決三角函數(shù)最值問題的重要依據(jù)之一．配方法是指將一個(gè)二次多項(xiàng)式通過變形配成一個(gè)一次多項(xiàng)式平方與一個(gè)常數(shù)和的形式的一種方法,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì),從而達(dá)到求取最值的目的．配方法在三角函數(shù)求最值中應(yīng)用較多,其僅適用于只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的三角函數(shù)求最值問題．

配方后得

利用二次函數(shù)的性質(zhì),即可知當(dāng)

從而解決問題．

二、利用輔助角

利用輔助角也是三角函數(shù)求最值常用的方法之一.三角函數(shù)公式繁多,題型靈活,大部分求最值問題往往不可直接得出,而是需要借助于一些三角函數(shù)的公式進(jìn)行變形,通過引入輔助角達(dá)到解決問題的目的．

分析 乍看好像與上面的題目相似,但仔細(xì)分析又會(huì)發(fā)現(xiàn),無法將這個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)只含有正弦或余弦的函數(shù),顯然用配方法無法解決．通過觀察發(fā)現(xiàn),函數(shù)中cos2x、sin2x都與cos 2x有著一定的聯(lián)系,于是,可將2cos2x-1=cos 2x,1-2sin2x=cos 2x經(jīng)過變形后代入原函數(shù),即可得到

三、利用三角函數(shù)的有界性

三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù),有界性是正、余弦函數(shù)一個(gè)最重要的特征,這也就給求三角函數(shù)最值問題提供了一個(gè)重要的方法．利用三角函數(shù)的有界性求函數(shù)的最值主要解決的是分子分母同名、同角的題目,通過變形化為分式形式,再利用有界性去解決．

分析 這道題無法用配方法去解決,也無法通過降次利用輔助角去解決.但通過發(fā)現(xiàn),此題最大的特點(diǎn)是分子、分母中只含有正弦函數(shù),于是可將函數(shù)關(guān)系通過恒等變形，得

(y+1)sin x=2y+1.

由于y≠-1,可得

根據(jù)正弦函數(shù)|sin x|≤1,可得

這種利用正、余弦函數(shù)的有界性求三角函數(shù)最值的方法為高中數(shù)學(xué)中其它求最值問題提供了借鑒．

總之,三角函數(shù)求最值問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,是高考中經(jīng)常涉及到的問題,正確研究此類題目的解題方法有著重要的意義．利用配方法、利用輔助角、利用三角函數(shù)的有界性求三角函最值問題是求三角函數(shù)最值最基本的幾種方法.在教學(xué)過程中教師一定要加強(qiáng)方法指導(dǎo),提高學(xué)生的解題能力,為學(xué)生在后來的學(xué)習(xí)中打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．