劉均鋒

(廣東省高州中學，525200)

一題多解話審題

劉均鋒

(廣東省高州中學，525200)

審題是為了正確解題而進行閱讀、理解題目所涉及的數(shù)學知識,明確題目所給出的條件和要求,并試圖找出條件和結(jié)論之間的關(guān)系而進行的思維活動．審題時要善于觀察,多方聯(lián)想、學會構(gòu)造、合理轉(zhuǎn)化,以發(fā)現(xiàn)知識的內(nèi)在聯(lián)系,從而尋找合理的解題途徑．本文以一道三角題的研究性學習為例,窺探審題的奧秘．

學生在分組合作探究研討的基礎(chǔ)上得出如下解法:

解法1 如圖2,作CE⊥ BC,CE=BC，

則

∠ACE=∠DCB.

又CE=BC,AC=CD,

∴?BCD≌?ECA,

評注 條件是解題的主要材料，充分利用條件間的內(nèi)在聯(lián)系是解題的必由之路．審視條件要充分挖掘每一個條件的內(nèi)涵和隱含的信息，發(fā)揮隱含條件的解題功能．本解法依據(jù)初中知識構(gòu)造全等三角形,把BD轉(zhuǎn)化為?ABE的邊AE,再據(jù)三角不等式求得BD最大值．這是在充分審視已知條件AC⊥CD,AC=CD的基礎(chǔ)上引發(fā)聯(lián)想產(chǎn)生的妙解．

評注 結(jié)構(gòu)是數(shù)學問題的搭配形式，某些問題已知數(shù)式結(jié)構(gòu)中常常隱含著某種特殊的關(guān)系．審視結(jié)構(gòu)要對結(jié)構(gòu)進行分析、加工和轉(zhuǎn)化以實現(xiàn)解題突破．本解法在審視圖形結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上,把?BAC 繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90度到?MCD位置,使AC與CD重合,得點D在以M為圓心,半徑為1為的圓上,在?BDM中用三角不等式求得BD最大值．聯(lián)想的觸發(fā)點依然是AC=CD, AC⊥CD這一已知條件．

因為AC=CD, AC⊥CD,

解法4 由平面幾何的托勒密定理:四邊形對角線的乘積小于或等于兩組對邊的乘積之和,當且僅當四點共圓時取等號，可得

AC·BD≤AB·CD+BC·AD.

記AC=CD=m, 則

當且僅當A、B、C、D四點共圓時等號成立．

評注 結(jié)論是解題的最終目標，解決問題的思維很多情形下都是在目標意識下啟動和定向的．審視結(jié)論要探索已知條件和結(jié)論間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化規(guī)律，善于從結(jié)論中捕捉解題信息，確定解題方向．本解法在學生自學平面幾何的托勒密定理基礎(chǔ)上,審視已知條件與結(jié)論,對號入座,直接運用定理快速得出結(jié)果．

解法5 參照圖1, 記∠ACB=α,∠ABC=θ.

?ABC中,由正弦定理，得

∴ACsin α=ABsin θ=sin θ.

?BCD中,由余弦定理，得

評注 范圍是對數(shù)學概念、公式、定理中涉及的一些量以及相關(guān)解析式的限制條件，審視范圍要適時利用相關(guān)量的約束范圍從整體上把握問題的解決方向．本解法充分挖掘題中已知條件,在?ABC、?BCD中分別運用正弦定理、余弦定理產(chǎn)生邊與角的聯(lián)系,把問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題,一環(huán)扣一環(huán),水到渠成．

解法6 如圖5、圖6,記∠ABC=θ,θ∈(0°,180°).

當0°≤θ≤90°時,作AE⊥BC于點E,作DF⊥BC于點F.

因為AC=CD, AC⊥CD,所以

∠1=∠2=90°-∠3,

所以Rt?AEC≌Rt?CFD.

從而有CF=AE=ABsin θ=sin θ,

BE=ABcos θ=cos θ,

當90°<θ<180°時,同理可得

∴θ=1350時,

評注 形象是數(shù)學問題的幾何形式，審視形象要把握形象的本質(zhì)特征或賦予問題中的某些代數(shù)關(guān)系以幾何意義,借助圖象作出透徹分析，從而提供解題途徑．本解法在充分審視已知圖形形狀基礎(chǔ)上,大膽構(gòu)造三角形全等,結(jié)合解三角形知識,厘清BD與∠ABC=θ的聯(lián)系,把問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題,顯得新穎別致．

從以上解法分析我們可以看到:審好題是解好題的重要一環(huán)．在一些復(fù)雜的數(shù)學問題里,有的條件往往不是那么醒目,而是以隱藏的形式存在．它們有知識性隱含條件(如解法1、解法2、解法3用到的三角不等式)、臨界條件性隱含條件(如解法5、解法6中角θ的取值范圍)、數(shù)據(jù)性隱含條件(如解法2、解法3中由MD=1、AB=1聯(lián)想到單位圓)等．把隱含條件挖掘出來,常常是解題的關(guān)鍵所在．我們對題目隱含條件的挖掘,要從給出的條件出發(fā),展開聯(lián)想的翅膀,大膽構(gòu)思,才能創(chuàng)造性地解題．

(本文為廣東省教育科研“十二五”規(guī)劃2012年度研究項目《“立體引學”模式在教學中的應(yīng)用研究》,課題審批號2012YQJK219成果)