吳旭紅

(江蘇省常熟市中學(xué)，215500)

分類例說(shuō)雙變量問(wèn)題的求解策略

吳旭紅

(江蘇省常熟市中學(xué)，215500)

一、單一函數(shù)類

1.恒成立問(wèn)題

例1 已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x=1時(shí)f(x)取得極值-2.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值;

(2)證明對(duì)任意x1,x2∈[-1,1],不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.

分析 本題是同一函數(shù)的最值問(wèn)題,只需求出函數(shù)f(x)在[-1,1]上的最值(或范圍),再由|f(x)max-f(x)min|<4著手即可.

2.零點(diǎn)問(wèn)題

例2 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.

(1)若a>b>c,且f(1)=0,試證明f(x)必有兩個(gè)零點(diǎn);

分析 本題第(2)問(wèn)使用零點(diǎn)存在定理,用f(x1)·f(x2)與0的大小比較,學(xué)生往往無(wú)從下手,聯(lián)想不到零點(diǎn)存在定理.

3.斜率等式型

例3 設(shè)函數(shù)f(x)=ax+sin x+cos x,若函數(shù)f(x)圖象上存在不同的兩點(diǎn)A,B,使得曲線y=f(x)在A,B處的切線互相垂直,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

函數(shù)f(x)在不同的兩點(diǎn)A,B處的斜率

∴-1≤a≤1.

二、兩個(gè)函數(shù)類

1.常規(guī)任意存在問(wèn)題

常規(guī)任意存在問(wèn)題,相對(duì)簡(jiǎn)單.不等式型基本規(guī)則如下:假如函數(shù)f(x),g(x)分別在其定義域M,N內(nèi)最值存在,則

?x1∈M,x2∈N,都有f(x1)≥g(x2),可得f(x)min≥g(x)max;

?x1∈M,?x2∈N,使f(x1)≥g(x2),可得f(x)min≥g(x)min;

?x1∈M,?x2∈N,使f(x1)≥g(x2),即f(x)max≥g(x)max;

?x1∈M,x2∈N,使f(x1)≥g(x2),即f(x)max≥g(x)min.

此類問(wèn)題學(xué)生掌握較好,弄清模式,在最值取不到或者不等號(hào)為“>”、“ <”時(shí)注意區(qū)間的端點(diǎn)是否取到,就可以解決問(wèn)題.等式型問(wèn)題理解上相對(duì)困難,需要理解存在為大(子集)原則.如:?x1∈M,?x2∈N,使f(x1)=g(x2)的解題策略為:若f(x)在M上值域?yàn)锳,g(x)在N上值域?yàn)锽,則A?B.類似于上述斜率等式型.

2.構(gòu)造型任意性問(wèn)題

(1)當(dāng)a=1 時(shí),求函數(shù) f(x) 的最小值;

(2)當(dāng)a<0 時(shí),討論函數(shù) f(x) 的單調(diào)性;

分析 本題解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù).對(duì)于(3)，不妨設(shè)0a(x2-x1).令h(x)=f(x)-ax,則h(x2)>h(x1)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為h′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.

初接觸這類問(wèn)題時(shí),學(xué)生往往用導(dǎo)函數(shù)f′(x)>a處理,原因是他們對(duì)導(dǎo)函數(shù)和平均變化率的關(guān)系混淆,需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行區(qū)別,學(xué)會(huì)等價(jià)轉(zhuǎn)化.

3.構(gòu)造型存在性問(wèn)題

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)令g(x)=ax2-2ln x,則g(x)=1時(shí)有兩個(gè)不同的根,求a的取值范圍;

(3)存在x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,使|f(x1)-f(x2)|≥k|ln x1-ln x2|成立,求k的取值范圍.

解 (1)(2)略.

(3)不妨設(shè)x1>x2>1,由(1)知x∈(1,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞減.

|f(x1)-f(x2)|≥k|ln x1-ln x2|

等價(jià)于f(x2)-f(x1)≥k(ln x1-ln x2)，

即 f(x2)+kln x2≥f(x1)+kln x1，

也即存在x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,使f(x2)+kln x2≥f(x1)+kln x1成立.

本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù).但由于不等號(hào)為“≥”,與例4不同,本題為不等式有解問(wèn)題,需要注意不等號(hào),區(qū)別于恒成立問(wèn)題.亦可以先求反面,轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題.

三、綜合應(yīng)用類

1.與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)

例6 已知直線x-y-1=0為曲線f(x)=logax+b在點(diǎn)(1,f(1))處的一條切線.

(1)求a,b的值;

解 (1)略. a=e, b=0.

(2)先求出k1,k2(用x1,x2表示),探尋k1,k2兩者的關(guān)系,然后結(jié)合基本不等式求解.

f(x)=ln x,

以下有兩種處理方法：

∵t>1時(shí),r′(t)>0,∴r(t)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,∴r(t)>r(1)=0,∴k2>k1.

2.與指數(shù)函數(shù)相關(guān)

解 (1)a>e2(過(guò)程略).

設(shè)g(s)=2s-(es-e-s),則g′(s)=2-(es+e-s)<0,∴g(s)是單調(diào)減函數(shù),則有

又f ′(x)=ex-a是單調(diào)增函數(shù),且

(3)依題意，有exi-axi+a=0,則a(xi-1)=exi>0，∴xi>1(i=1,2))，且

由直角三角形斜邊的中線性質(zhì),可知

=0.

∴(a-1)(t-1)=2.

解析幾何中的曲線上的兩點(diǎn)問(wèn)題也比較多,本質(zhì)是點(diǎn)的雙重身份,即既在這個(gè)曲線上,又在那條曲線(直線)上,亦即方程組的根,處理方法往往聯(lián)立方程,或者用點(diǎn)差思想,本文不再贅述.

總之,雙變量問(wèn)題首先要讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)熟悉題型,在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)解題策略,再通過(guò)思考,歸納解決問(wèn)題的方法：以單調(diào)性為背景,集合思想為原則,構(gòu)造函數(shù)為橋梁,函數(shù)定義域?yàn)楦?等價(jià)轉(zhuǎn)化為解題策略.