黃學(xué)財(cái)

（江西省贛州中學(xué)）

分類討論思想在等腰三角形中的運(yùn)用

黃學(xué)財(cái)

（江西省贛州中學(xué)）

數(shù)學(xué)思想方法對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有著重要的促進(jìn)和指導(dǎo)作用，它不僅是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，還是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)，形成優(yōu)良思維素質(zhì)的關(guān)鍵。很多學(xué)生不太重視數(shù)學(xué)思想方法，只是一味做題，不會(huì)總結(jié)，很難達(dá)到“懂一題、曉一類、通一片”，因此要有加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的意識(shí)，并在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中不斷挖掘和滲透。

等腰三角形；分類討論；坐標(biāo)系；周長(zhǎng)

考查等腰三角形的題目時(shí)，學(xué)生很容易漏解，主要是學(xué)生沒(méi)有認(rèn)真分析題意，或者是沒(méi)有考慮周全，解題經(jīng)驗(yàn)還不夠豐富。我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中要多提醒學(xué)生，即考查等腰三角形的題目，一般都會(huì)指明哪兩條邊相等，如果不指明就要分類討論，分類討論在等腰三角形中的運(yùn)用非常廣泛，如等腰三角形沒(méi)有指明腰，或者指明了腰，但沒(méi)有給圖，就要分頂角為銳角或鈍角，下面我們通過(guò)例題來(lái)展現(xiàn)分類討論思想在等腰三角形中的運(yùn)用。

一、等腰三角形涉及邊的問(wèn)題時(shí)，可以按照“腰”和“底邊”來(lái)分類討論，但要利用三角形三邊關(guān)系來(lái)判斷三角形是否存在

例1.（1）等腰三角形有兩邊長(zhǎng)為4cm和7cm，則周長(zhǎng)為_(kāi)______厘米。（15cm或18cm）

（2）等腰三角形的周長(zhǎng)為24cm，一邊長(zhǎng)為6cm，則其余兩邊長(zhǎng)為_(kāi)______厘米。（9cm和9cm）

練習(xí)1：等腰三角形有兩邊長(zhǎng)為3cm和7cm，則周長(zhǎng)為_(kāi)___厘米。（答案：17cm）

二、等腰三角形中涉及“高”的內(nèi)角求解問(wèn)題，可以按照三角形類型分類討論

此時(shí)學(xué)生最容易犯的錯(cuò)誤是畫一個(gè)頂角是銳角的等腰三角形，導(dǎo)致漏解，這一點(diǎn)也提醒我們老師在教學(xué)中應(yīng)多畫頂角是鈍角的三角形，才不會(huì)形成思維定式。

例2.ΔABC中，AB=AC，CD為AB上的高，且ΔADC為等腰三角形，則∠BCD等于_______.（22.5°或67.5°）

練習(xí)2：等腰三角形一腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，則頂角的度數(shù)是_______.（30°或150°）

三、在等腰三角形內(nèi)角求解的問(wèn)題中，可以按“頂角”“底角”來(lái)分類討論

例3.已知一個(gè)等腰三角形的兩內(nèi)角度數(shù)之比為1∶4，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為_(kāi)_____（20°或120°）

練習(xí)3：等腰三角形的一個(gè)外角等于100°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為_(kāi)______.（80°或20°）

四、在等腰三角形中涉及中線的問(wèn)題，也需要分類討論

例4.已知一個(gè)等腰三角形一腰上的中線將這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)分成15和6兩部分，求這個(gè)等腰三角形底邊的長(zhǎng)。（1）

練習(xí)4： 已知一個(gè)等腰三角形一腰上的中線將這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)分成9和12兩部分，求這個(gè)等腰三角形底邊和腰的長(zhǎng)。（當(dāng)腰長(zhǎng)是6cm時(shí)，底邊長(zhǎng)是9cm；當(dāng)腰長(zhǎng)是8cm時(shí)，底邊長(zhǎng)是5cm）

五、在方格紙或平面直角坐標(biāo)系中，給出等腰三角形其中一線段或兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，未指明是腰還是底邊，求等腰三角形第三個(gè)頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)或坐標(biāo)

例5.用3×3的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知A、B是兩格點(diǎn)，并且A、B在最中間小正方形的相對(duì)格點(diǎn)上，如果點(diǎn)C也是圖中的格點(diǎn)，且使得ΔABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為_(kāi)______.（答案：8）

練習(xí)5：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，A（2， 1），點(diǎn)P在x軸上，若以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有_______個(gè)。（答案：4）

本題還可發(fā)散為點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，則符合條件的點(diǎn)P有幾個(gè)？

六、等腰三角形與四邊形的結(jié)合問(wèn)題，求相關(guān)線段的長(zhǎng)度

例7.在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)DP交AC于點(diǎn)Q.若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，ΔADQ恰為等腰三角形.

（分析：若ΔADQ是等腰三角形，則有DA=DQ或QD=QA或AQ=AD

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C也重合，此時(shí)DA=DQ，ΔADQ是等腰三角形；

②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，由四邊形ABCD是正方形知QD=QA，此時(shí)ΔADQ是等腰三角形；

③設(shè)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有AD=AQ，可算出當(dāng)CP=4 2

■ -4時(shí)，ΔADQ是等腰三角形.）

總之，學(xué)習(xí)等腰三角形，必須熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，看到等腰三角形題目要能聯(lián)想到它的性質(zhì)，如，等邊對(duì)等角、三線合一，還有等腰三角形容易出現(xiàn)分類討論，要讓學(xué)生養(yǎng)成分類討論等數(shù)學(xué)思想在等腰三角形中的應(yīng)用。

［1］常汝吉.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京師范大學(xué)出版社，2011.

［2］林群.教師教學(xué)用書［M］.華東師范大學(xué)出版社，2013.

·編輯 孫玲娟