張淑貞 張 雄
高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)
——以“數(shù)列綜合復(fù)習(xí)(觀察—猜想—證明)”為例
張淑貞 張 雄
以“數(shù)列綜合復(fù)習(xí)(觀察—猜想—證明)”為例,介紹如何在高三第二輪復(fù)習(xí)中組織教學(xué)內(nèi)容和設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng);基于考情和學(xué)情設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo);在教學(xué)中采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的形式,循序漸進(jìn)地提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。
教學(xué)設(shè)計(jì) 數(shù)學(xué)思想 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)
在高三數(shù)學(xué)的第二輪復(fù)習(xí)中,怎么做才能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到思維上的漏洞,運(yùn)算、推理等能力上的不足并逐步改進(jìn),這一直困擾著高三數(shù)學(xué)教師們。本文以“數(shù)列綜合復(fù)習(xí)”課為例,談?wù)劰P者對(duì)高三復(fù)習(xí)課的看法。
筆者學(xué)校中的大多數(shù)學(xué)生對(duì)于理解數(shù)列綜合型題目以及根據(jù)題意采用一定的方法去探究問(wèn)題,存在較大困難;部分學(xué)生甚至在心理上已經(jīng)對(duì)數(shù)列問(wèn)題產(chǎn)生了負(fù)面情緒,影響了正常的思維過(guò)程。因此,在二輪復(fù)習(xí)中,教師既要提高學(xué)生解決數(shù)列綜合問(wèn)題的能力,克服盲目機(jī)械訓(xùn)練的傾向,扎扎實(shí)實(shí)地向落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、切實(shí)提高數(shù)學(xué)思維能力的方向發(fā)展,又要幫助其樹(shù)立信心。
本課側(cè)重于提升學(xué)生的問(wèn)題分析與解決能力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)探究與創(chuàng)新能力,根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)要求,筆者將教學(xué)目標(biāo)具體列為以下幾點(diǎn):
(1)能自主地學(xué)習(xí)一些有關(guān)數(shù)列的“新概念”,并能初步運(yùn)用;
(2)能運(yùn)用“特殊與一般”的思想研究數(shù)列問(wèn)題;
(3)能運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法和科學(xué)研究方法,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究,尋求和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的規(guī)律和聯(lián)系;能正確地表述探究過(guò)程和結(jié)果,并予以證明;
(4)會(huì)利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)和提出有一定價(jià)值的問(wèn)題。
根據(jù)以上目標(biāo),本課的重難點(diǎn)為:能運(yùn)用“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行探究;能正確地表述探究過(guò)程和結(jié)果,并運(yùn)用基本知識(shí)、基本技能予以證明。針對(duì)這一目標(biāo),筆者計(jì)劃通過(guò)層層遞進(jìn)的例題驅(qū)動(dòng),利用不同問(wèn)題解決方法的差異,引領(lǐng)學(xué)生深入理解“化歸與轉(zhuǎn)化”與“特殊與一般”這兩種數(shù)學(xué)思想方法,尤其是發(fā)現(xiàn)“觀察—猜想—證明”在解決一些數(shù)列綜合問(wèn)題時(shí)的重要作用。
基于以上教學(xué)目標(biāo),筆者在實(shí)施教學(xué)前進(jìn)行了以下思考:
(1)在教學(xué)設(shè)計(jì)上,要注重教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)。精心設(shè)計(jì)的復(fù)習(xí)課模式,有利于學(xué)生掌握雙基,同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課堂中重視知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程。如果教師能將教學(xué)過(guò)程變成學(xué)生對(duì)知識(shí)的回顧過(guò)程,變成學(xué)生自己探索提升的過(guò)程,就能有效提升學(xué)生的能力。
(2)在教法上,可以采用“啟發(fā)—探究—討論—?dú)w納—應(yīng)用”的教學(xué)模式,教師只引導(dǎo)、點(diǎn)撥,使學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí),使學(xué)生完全成為課堂主人,啟發(fā)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。
(3)在學(xué)法上,可以以促進(jìn)學(xué)生發(fā)展為出發(fā)點(diǎn),著眼于知識(shí)的形成和發(fā)展,以問(wèn)題鏈形式,由淺入深、循序漸進(jìn),讓不同層次的學(xué)生都能參與到課堂教學(xué)中。
(4)在教學(xué)策略上,可以將觀察、思考、討論貫穿于整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中,采用啟發(fā)式教學(xué)法和師生互動(dòng)式教學(xué)模式,注意師生之間的情感交流,并教給學(xué)生“多觀察、動(dòng)腦想、大膽猜、勤鉆研”的研討式學(xué)習(xí)方法。
為提高學(xué)生主動(dòng)性,筆者采取了問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式組織本節(jié)課,并針對(duì)部分問(wèn)題,采取對(duì)話的形式進(jìn)行教學(xué),激發(fā)學(xué)生自主研究問(wèn)題和參與評(píng)價(jià)的意識(shí)。
(一)問(wèn)題導(dǎo)入,激發(fā)思考
筆者以一個(gè)非特殊(非等差、等比)數(shù)列求通項(xiàng)作為引例,引導(dǎo)學(xué)生思考解決方法,尋找解題途徑。此處的解題方式基本可歸納為兩種方案:求出數(shù)列的前若干項(xiàng),通過(guò)觀察,猜想數(shù)列通項(xiàng),進(jìn)而用數(shù)學(xué)歸納法證明;也可以將遞推關(guān)系通過(guò)取對(duì)數(shù),轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的通項(xiàng)解決。通過(guò)比較,使學(xué)生感受到“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法。
環(huán)節(jié)1
【問(wèn)題 1】當(dāng)遇到等差數(shù)列或等比數(shù)列中的求值問(wèn)題時(shí),我們通常用什么方法解決?
【問(wèn)題2】我們一般用什么方法證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列呢?
【問(wèn)題3】是不是所有的數(shù)列都是等差數(shù)列或等比數(shù)列呢?如果遇到不是等差數(shù)列或者等比數(shù)列的數(shù)列問(wèn)題,我們?cè)撊绾谓鉀Q呢?
【引例】 數(shù)列{an}滿足:a1=3,an+1=an3,n∈N*,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=_______。
(設(shè)計(jì)思路)由新數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究,通過(guò)觀察得到的規(guī)律,歸納出結(jié)果。或者轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列,求出通項(xiàng)公式。使學(xué)生感受到“特殊與一般”數(shù)學(xué)思想方法在解數(shù)列問(wèn)題時(shí)的重要性。
【小結(jié)】 遇到非等差數(shù)列或等比數(shù)列的新數(shù)列問(wèn)題時(shí),我們通常采用以下兩種思想方法:
(1)運(yùn)用“觀察—猜想—證明”的方法解決問(wèn)題。證明時(shí)可用數(shù)學(xué)歸納法。
(2)運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的思想,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的問(wèn)題后求解。
導(dǎo)入環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì),實(shí)際是提出解決非特殊數(shù)列問(wèn)題的方法,讓學(xué)生通過(guò)具體的解決過(guò)程,感悟數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解決問(wèn)題的意義,形成解決方案的具體途徑,從而培養(yǎng)獨(dú)立思考的習(xí)慣和能力。
(二)深入探究,總結(jié)方法
在導(dǎo)入環(huán)節(jié)后,筆者又提出了例1和例2。例題的解決方案并不是對(duì)引例方法進(jìn)行簡(jiǎn)單地套用,而是需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行具體分析和深入思考。如例1不能轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列,但可通過(guò)特殊值猜想等式,從而用數(shù)學(xué)歸納法證明;例2可通過(guò)特殊值歸納奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng),但又較難用所學(xué)的數(shù)學(xué)歸納法證明,從而促使學(xué)生對(duì)遞推關(guān)系再進(jìn)行思考,感悟問(wèn)題所給的條件實(shí)際是數(shù)列的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比構(gòu)成的新數(shù)列是一個(gè)后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之和為常數(shù)的“等和”數(shù)列,進(jìn)而能尋找解決途徑。
環(huán)節(jié)2
【例1】 已知數(shù)列{an}中,,n∈N*,且Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和。試問(wèn):是否存在關(guān)于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)·g(n)對(duì)一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在,寫(xiě)出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,試說(shuō)明理由。
(設(shè)計(jì)思路)此題不方便用“化歸與轉(zhuǎn)化”的思想轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問(wèn)題。進(jìn)一步突出“觀察—猜想—證明”思想方法的重要性。
【例2】 若數(shù)列{an}滿足(k為常數(shù)),則稱(chēng)數(shù)列{an}為“等比和數(shù)列”,k稱(chēng)為公比和。已知數(shù)列{an}是以3為公比和的等比和數(shù)列,其中a1=1,a2=2,則a2017= ______。
【追加問(wèn)題】 在例2的題設(shè)下,我們還能提出什么問(wèn)題?
(設(shè)計(jì)思路)能自主地學(xué)習(xí)數(shù)列的“新概念”,并能初步運(yùn)用。會(huì)利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)和提出有一定價(jià)值的問(wèn)題。能運(yùn)用“觀察—猜想—證明”的思想方法探究數(shù)列問(wèn)題,并在證明時(shí)能夠回歸基本知識(shí)和定義。
通過(guò)設(shè)計(jì)導(dǎo)入環(huán)節(jié)及解決例1、例2,筆者的著眼點(diǎn)是讓學(xué)生體驗(yàn)問(wèn)題解決過(guò)程中反映出的數(shù)學(xué)思想方法,在解決過(guò)程中建立培養(yǎng)能力的途徑,避免數(shù)學(xué)習(xí)題的套路化、模式化的訓(xùn)練體系。
這節(jié)課,筆者通過(guò)對(duì)數(shù)列知識(shí)的復(fù)習(xí),牢牢鎖住數(shù)列的定義,引導(dǎo)學(xué)生從觀察題目、分析條件,到猜想和歸納結(jié)果,再加以論證,由因到果,層層遞進(jìn);尤其注重討論式、參與式活動(dòng)的設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展觀察、操作、比較、猜想、推理、交流等多種形式的活動(dòng),注重培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí),使學(xué)生有效地經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。在后半階段,筆者還讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)并提出相關(guān)問(wèn)題,真正做到探究式學(xué)習(xí)。在這節(jié)課中,教師不再是整節(jié)課的主導(dǎo)者,而是將課堂還原給學(xué)生,通過(guò)深入淺出和層層遞進(jìn)的啟發(fā),使學(xué)生思維活躍、信息交流暢通。反思本節(jié)課的教學(xué),筆者得到了以下收獲:
(1)高三的第二輪復(fù)習(xí)課看似簡(jiǎn)單,其實(shí)不容易上,往往都會(huì)變成習(xí)題講解課。復(fù)習(xí)中,教師應(yīng)該著重于講解數(shù)學(xué)思想方法,不能一味地就題論題。例題應(yīng)圍繞著教學(xué)的核心思想來(lái)安排,最好是有關(guān)聯(lián)性,層層遞進(jìn)。
(2)課堂上應(yīng)該更多地讓學(xué)生講、讓學(xué)生寫(xiě),規(guī)范其語(yǔ)言及文字表達(dá)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在講解題目時(shí)更多地揭示自己的思維過(guò)程。這樣講題的同學(xué)能最大程度地提高思維能力,聽(tīng)講的同學(xué)也能有所收獲。
(3)積極在課堂中引入各類(lèi)評(píng)價(jià)機(jī)制,既能了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況,又能反過(guò)來(lái)促進(jìn)學(xué)生的理解和表達(dá)。
張淑貞 上海市風(fēng)華中學(xué) 200072
張 雄 上海市延安中學(xué) 200336