王莉 王玉春
摘要:本文對Green公式教學過程中的重點、難點問題,從公式提出、概念引入、定理證明、例題的選取和講授等幾個方面進行探討,給出了相應的教學思路和教學設計。
關鍵詞:Green公式;外微分;圍線;變換
中圖分類號:G642.3 文獻標志碼:A 文章編號:1674-9324(2017)05-0193-02
Green公式在現(xiàn)代分析學中起著承上啟下的作用,且在實際中有著廣泛的應用。在教學時,對于Green公式的理解及應用是教學的重、難點,在以往的教學反饋中,普遍反映理論性較強,結論較抽象,證明復雜,定理條件不易理解等問題。在近兩年的省數(shù)學授課競賽中,許多青年教師將Green公式選作授課內容,教學中大多遵循“公式引入—定理證明—應用舉例”這一脈絡,但在重、難點的處理上都顯不足,在知識點的聯(lián)系、學生的能力培養(yǎng)等方面缺乏思考。如何處理教學重、難點,將抽象知識具體化,掌握公式的內涵,培養(yǎng)學生靈活應用知識的能力是教學設計的主要著力點和關注點。對此,根據(jù)多年的教學實踐,從以下幾個方面進行探討。
一、突出數(shù)學本質,引入自然
Green公式在現(xiàn)代分析學中起著承上啟下的作用,它與Newton-Leibniz公式、Stokes公式、Gauss公式是一脈相承的。Newton-Leibniz公式刻畫了一元函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值與它的導函數(shù)在閉區(qū)間上的定積分之間的聯(lián)系;Green公式刻畫了二元函數(shù)沿區(qū)域邊界的曲線積分與它的偏導數(shù)在區(qū)域上的二重積分之間的聯(lián)系;Gauss公式刻畫了三元函數(shù)沿空間閉曲面上的曲面積分與它的偏導數(shù)在所圍空間區(qū)域上三重積分的關系;Stokes公式則刻畫了三元函數(shù)沿光滑曲面的邊界曲線的曲線積分與它的偏導數(shù)在光滑曲面上的曲面積分之間的聯(lián)系。四個公式描述一個共同的數(shù)學本質,即邊界積分和區(qū)域積分的聯(lián)系。
由四個公式的關系,可見Green公式是Newton-Leibniz公式在二維空間上的拓廣。在講授Green公式時,自然可從一元微積分學中的Newton-Leibniz公式進行啟發(fā):若將公式中的積分域由閉區(qū)間換為二維有界閉區(qū)域,那么二元函數(shù)沿區(qū)域邊界的曲線積分與它的偏導數(shù)在區(qū)域上的二重積分有什么聯(lián)系呢?這樣的引入既顯自然,又突出了它的數(shù)學本質。
二、旁引“圍線”概念,化抽象為具體
在以往的教學反饋中,對于單連域情形掌握較好,而對于復連域情形,很多學生對內外邊界曲線的正方向的選取分辨不清。在《數(shù)學分析》[1]教材中,邊界曲線的正方向規(guī)定如下:當人沿邊界行走時,區(qū)域D總在他的左邊。若與上述方向相反,則稱負方向。此規(guī)定與復變函數(shù)中簡單曲線的正方向規(guī)定是一致的,在國內大多數(shù)《復變函數(shù)》[2]教材中,對于復連域的邊界曲線做了“硬性”規(guī)定,外部邊界的逆時針方向為正方向,內部各邊界的順時針方向為負方向。據(jù)此規(guī)定,學生清楚明白,在教學中,將“圍線”的概念引入,很好的解決上述問題。
五、強調變換思想,培養(yǎng)學生能力
Green公式在二重積分與區(qū)域邊界上的曲線積分之間建立一座橋梁,實現(xiàn)了兩類積分的相互轉化。利用Green公式計算曲線積分或二重積分,其核心在于計算積分時,若某條曲線上的積分難以計算,則將其變換為另一區(qū)域上的積分,反之亦然,這體現(xiàn)了數(shù)學中的變換思想[5]。在Green公式應用中,對于“挖掉奇點”等技巧,它們的本質都是為了進行變換積分公式。講透這一數(shù)學思想,可以避免死記硬背方法,培養(yǎng)知識的靈活應用能力。
在例2中,邊界L是由抽象的曲線,過渡為具體曲線,然后采用“挖掉奇點”的方法,皆是圍繞如何成功變換這一中心,鍛煉了學生分析解決問題的能力。掌握三個小問題后,進一步探索,若邊界曲線中的“奇點”不止一個,引導學生解決可得到結論“外圍線線上的曲線積分等于各內部圍線上的曲線積分之和”,這與《復變函數(shù)》中的柯西積分定理就呼應起來,拓展了應用,在知識能力上得到升華。
參考文獻:
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[4]龐惠君.利用外積、外微分統(tǒng)一微積分中四大公式的教學探討[J].江西農(nóng)業(yè)大學學報,1995,17(1):100-104.
[5]孫玉泉,楊小遠.變換思想在重積分三大公式講授中的應用[J].高等數(shù)學研究,2011,14(2):37-40.