關于Green公式教學中的幾點探討

王莉　王玉春

摘要：本文對Green公式教學過程中的重點、難點問題，從公式提出、概念引入、定理證明、例題的選取和講授等幾個方面進行探討，給出了相應的教學思路和教學設計。

關鍵詞：Green公式；外微分；圍線；變換

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）05-0193-02

Green公式在現(xiàn)代分析學中起著承上啟下的作用，且在實際中有著廣泛的應用。在教學時，對于Green公式的理解及應用是教學的重、難點，在以往的教學反饋中，普遍反映理論性較強，結論較抽象，證明復雜，定理條件不易理解等問題。在近兩年的省數(shù)學授課競賽中，許多青年教師將Green公式選作授課內容，教學中大多遵循“公式引入—定理證明—應用舉例”這一脈絡，但在重、難點的處理上都顯不足，在知識點的聯(lián)系、學生的能力培養(yǎng)等方面缺乏思考。如何處理教學重、難點，將抽象知識具體化，掌握公式的內涵，培養(yǎng)學生靈活應用知識的能力是教學設計的主要著力點和關注點。對此，根據(jù)多年的教學實踐，從以下幾個方面進行探討。

一、突出數(shù)學本質，引入自然

Green公式在現(xiàn)代分析學中起著承上啟下的作用，它與Newton-Leibniz公式、Stokes公式、Gauss公式是一脈相承的。Newton-Leibniz公式刻畫了一元函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值與它的導函數(shù)在閉區(qū)間上的定積分之間的聯(lián)系；Green公式刻畫了二元函數(shù)沿區(qū)域邊界的曲線積分與它的偏導數(shù)在區(qū)域上的二重積分之間的聯(lián)系；Gauss公式刻畫了三元函數(shù)沿空間閉曲面上的曲面積分與它的偏導數(shù)在所圍空間區(qū)域上三重積分的關系；Stokes公式則刻畫了三元函數(shù)沿光滑曲面的邊界曲線的曲線積分與它的偏導數(shù)在光滑曲面上的曲面積分之間的聯(lián)系。四個公式描述一個共同的數(shù)學本質，即邊界積分和區(qū)域積分的聯(lián)系。

由四個公式的關系，可見Green公式是Newton-Leibniz公式在二維空間上的拓廣。在講授Green公式時，自然可從一元微積分學中的Newton-Leibniz公式進行啟發(fā)：若將公式中的積分域由閉區(qū)間換為二維有界閉區(qū)域，那么二元函數(shù)沿區(qū)域邊界的曲線積分與它的偏導數(shù)在區(qū)域上的二重積分有什么聯(lián)系呢？這樣的引入既顯自然，又突出了它的數(shù)學本質。

二、旁引“圍線”概念，化抽象為具體

在以往的教學反饋中，對于單連域情形掌握較好，而對于復連域情形，很多學生對內外邊界曲線的正方向的選取分辨不清。在《數(shù)學分析》[1]教材中，邊界曲線的正方向規(guī)定如下：當人沿邊界行走時，區(qū)域D總在他的左邊。若與上述方向相反，則稱負方向。此規(guī)定與復變函數(shù)中簡單曲線的正方向規(guī)定是一致的，在國內大多數(shù)《復變函數(shù)》[2]教材中，對于復連域的邊界曲線做了“硬性”規(guī)定，外部邊界的逆時針方向為正方向，內部各邊界的順時針方向為負方向。據(jù)此規(guī)定，學生清楚明白，在教學中，將“圍線”的概念引入，很好的解決上述問題。

五、強調變換思想，培養(yǎng)學生能力

Green公式在二重積分與區(qū)域邊界上的曲線積分之間建立一座橋梁，實現(xiàn)了兩類積分的相互轉化。利用Green公式計算曲線積分或二重積分，其核心在于計算積分時，若某條曲線上的積分難以計算，則將其變換為另一區(qū)域上的積分，反之亦然，這體現(xiàn)了數(shù)學中的變換思想[5]。在Green公式應用中，對于“挖掉奇點”等技巧，它們的本質都是為了進行變換積分公式。講透這一數(shù)學思想，可以避免死記硬背方法，培養(yǎng)知識的靈活應用能力。

在例2中，邊界L是由抽象的曲線，過渡為具體曲線，然后采用“挖掉奇點”的方法，皆是圍繞如何成功變換這一中心，鍛煉了學生分析解決問題的能力。掌握三個小問題后，進一步探索，若邊界曲線中的“奇點”不止一個，引導學生解決可得到結論“外圍線線上的曲線積分等于各內部圍線上的曲線積分之和”，這與《復變函數(shù)》中的柯西積分定理就呼應起來，拓展了應用，在知識能力上得到升華。

參考文獻：

[1]華東師范大學數(shù)學系編.數(shù)學分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.6.

[2]鐘玉泉.復變函數(shù)論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.1.

[3]李嫻嫻，李復山.幾個積分公式的注釋及其應用[J].曲阜師范大學學報，2007，33（2）：19-23.

[4]龐惠君.利用外積、外微分統(tǒng)一微積分中四大公式的教學探討[J].江西農(nóng)業(yè)大學學報，1995，17（1）：100-104.

[5]孫玉泉，楊小遠.變換思想在重積分三大公式講授中的應用[J].高等數(shù)學研究，2011，14（2）：37-40.