整合 融通 建模

關勁文

[摘 要] 將孤立的知識點、技能點，重新編織成網(wǎng)，使題與題串聯(lián)，知識點深化，并將各知識點中的信息準確地、簡捷地進行交流、轉化和重組，從而建立思維模型，理清基本思路及解題的應對策略。

[關鍵詞] 整合；融通；建模

中考數(shù)學考什么，有課程標準；中考數(shù)學怎么考，有中考數(shù)學試卷。在這里，我們只關心中考數(shù)學復習怎么教——就是如何把中考數(shù)學的問題一節(jié)一節(jié)地落實到我們的復習過程當中。筆者認為中考數(shù)學復習課的目的就是要深化、綜合、提高。怎樣才能達到這個目的呢？這就需要我們細心地梳理專題，使知識能夠整合、遷移，把知識間的縱橫聯(lián)系適度綜合，當然也要優(yōu)化習題設計，從而提高能力。具體來說，要提高復習課的學習效率和教學效益或教學效果，可抓住三個關鍵點——整合、融通、建模。

一、中考數(shù)學復習要注重整合

整合是將孤立的知識點、技能點，重新編織成網(wǎng)。

筆者認為，復習絕不是重來一遍。而是將知識點整合，在舊中有新，讓學生感受到每一節(jié)復習課都是有新意的，絕不是他想象的那樣：你已經(jīng)會了。哪個層次的學生都是這樣，他來的時候是有困惑的，走的時候原來的困惑解決了，又有了新的困惑，把所學內容的重點，學生學習的難點，包括考試內容的富礦面，包括學生在復習階段知識能力的滑坡點，以及學科成績的提升點，重新鏈接——以新的線索把它鏈接起來。

波利亞的《怎樣解題》里面有一句話：最糟糕的老師，讓學生聽起來數(shù)學課就是每一課是每一課，每一節(jié)是每一節(jié)，每一題是每一題，沒有任何聯(lián)系；高明的數(shù)學老師會讓數(shù)學和生活發(fā)生聯(lián)系，讓這一節(jié)的知識只是和上一節(jié)的知識發(fā)生聯(lián)系。一旦聯(lián)系起來了，那么就簡單了。比如面積的求法，要加以總結的話，很簡單，無外乎就是哪幾種——這里筆者舉一個微課的例子來說明。課題名稱：注重數(shù)學思想，巧求陰影面積。

題目1：如圖1，在大圓O與小圓O1相切于C點，大圓半徑與小圓半徑相切于F點，且AB∥CD，AB=4cm，求陰影部分的面積。

其實陰影面積分兩類：一類是規(guī)則的，所謂規(guī)則就是學生熟識的，有公式計算的。第二類是不規(guī)則的，就是沒有公式直接計算的。由于陰影面積不規(guī)則，那么方法有三種。

第一種是運用轉化的思想求解，就是化為學生熟識的。比如題目1中的這個圖形可運用平移，轉化為兩個同心半圓的問題——這樣原來不熟識的陰影部分就變成了學生非常熟識的一個圖形，然后利用垂徑定理來求得圓環(huán)的面積，這樣就顯得非常簡單。

第二種方法是運用方程的思

想求解。

題目2：如圖2，正方形的邊長為a，以個邊長為直徑在正方形內畫半圓，求圖中陰影部分的面積。

雖然這個花瓣陰影部分的面積是不規(guī)則的，如果用轉化的方法也能求得正確答案，但是更好的辦法，筆者認為是用方程的思想。

第三種方法是運用整體思想求解。

題目3：如圖3，⊙A、⊙B、⊙C兩兩不相交，且半徑都為0.5cm，求圖中的三個扇形陰影的面積之和。

我們可以通過旋轉和平移，把這三個扇形“挪”在一起，這樣三個扇形就組合成了一個半圓了，從而求解。

筆者認為，求陰影部分的面積可歸結為四種方法。第一種，利用公式直接計算；第二種，轉化思想，利用平移、旋轉進行計算——就是把不會的變成會的，把未知的變成已知的；第三種，巧設未知數(shù)，利用方程思想求陰影部分的面積——這就是數(shù)形結合最完美的時刻，也是代數(shù)與幾何融為一體的一個關鍵；第四種方法：整體思想——縱觀全局進行整體計算。

把以上四種方法教給學生后，學生將受益無窮——我們不用再做那么多題了！所有題都考不出這四種方法之外。

從以上微課的例子可以看出，整合就是要題從教材當中，從習題編制的共性和解題的相識點中，從題與題方法之間，能夠串聯(lián)，使很多知識點可以深化、結合。換句話說，我們要從雜亂無章的習題中，概括出一般的原理來，只有這樣，才能遷移和應用。要想“舉一反三”，前提是“舉三反一”。

二、中考數(shù)學復習要注重融通

數(shù)學這門學科，它的知識是鏈條化的，環(huán)環(huán)相扣，不斷延伸。知識之間就像藤蔓一樣，盤根錯節(jié)，你中有我，我中有你，不斷發(fā)展。所以說，數(shù)學是一門關系學。比如：方程與不等式解扯上關系，與函數(shù)又有關系……如果我們把這個都研究透了，內化成了自己的東西，然后交給學生，學生就不用死記硬背。

當知識越來越豐富時，聯(lián)系就越來越復雜。新知識不但豐富了原有的知識，新知識在沿襲原有知識的一些特殊同時，又會發(fā)生重要變化。

例如，相似三角形和全等三角形，全等三角形是相似三角形的特殊情況——先接觸特殊，再去弄清一般，掌握這一根鏈條，學生學起來就會輕松一些。把一個知識點及其中的信息準確、簡捷地進行交流、傳輸、轉化和重組，學生學起來就覺得有味。

復習課要融通，就是將各知識點及其中的信息準確地、簡捷地進行交流、傳輸、轉化和重組。融通要做到兩個方面：第一是講解與訓練，就是講練結合，理順所學知識點，理順解題方法，理清解題規(guī)律；第二是把課內與課外融通，對于教材和試卷，教材和試題之間要搭建橋梁。我們的本和根都在教材，其他都是枝葉。

題目（1），如圖4，圓內接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G，求證：陰影部分四邊形的面積是△ABC的面積的。

題目（2），如圖5，若∠DOE保持1200角度不變，求證：當∠DOE繞著點O旋轉時，由半徑OE、OD和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的。

其實這樣的題目，如果我們平時給學生灌輸好數(shù)學習慣——搞特殊，問題就迎刃而解。特殊情況是：一般情況下圖形的位置發(fā)生變化，結論有時候不變，有時候是有規(guī)律地變化。

這道題在復習的時候，筆者將其豐富了：

（1）將正三角形換成圓內接正方形，其他的條件不變。

（2）換成圓內接正五邊形。

（3）換圓內接正六邊形。

最后，擴展為圓內接正n邊形。里面的陰影部分的面積與這個正多邊形的面積的關系也跟著有規(guī)律地變化——和邊長有關系。

三、中考數(shù)學復習要滲透建模思想

建模思想是數(shù)學科中非常重要的思想。在復習課中如何建模？這里談兩個方面，第一個是要有思維模型，就是學生遇到這樣的問題，要有基本思路和應對策略。要讓學生的思維要有落腳點，有出發(fā)點也要有落腳點，知道他的思維落到何處去。第二個是要有答案模型。就是老師為什么要在黑板上示范呢？更多時候是給學生示范答案模型——這一類問題，就是這樣解決的。因此，我們要優(yōu)化講課的模式。在復習課當中，內容要全，當然不是指面面俱到。這里說的是知識點，思想方法，包括規(guī)律，這些每節(jié)課都要揭示出來，時間要足（學生訓練時間要足），解題方法要靈活。反對三點：（1）蜻蜓點水式講評；（2）就題論題式講評；（3）面面俱到式講評。

例如：解直角三角形這一章的復習，歸根到底，就是要揭示它的模型和方法。

例如：圖6，在ABC中，∠A=30゜，tanB=，AC=2，求AB。

學生在復習課堂上，出現(xiàn)的第一類錯誤：有的學生想當然的∠C=90゜；第二類錯誤：認為tanB=是錯誤的。教師請學生來說，問題在哪里？他是怎么做的。多數(shù)學生回答說，題目中沒有直角，所以要作垂線，教師鼓勵他想法很好，你是怎么做的呢？他說過點C作高。教師追問，為什么選C呢？過點A作高，過點B也可以呀，他就回答不出來了。教師又問：其他同學是不是過點C作高？做出來的同學都是選過點C作高，教師問他為什么過點C作高？學生回答說AB水平，教師說，你可以把作業(yè)本轉一下，那樣做行不行？大家一致認為：可以。這就出問題了。教師說：不行！理由是過點A作高，把已知∠A=30゜的條件破壞了，過點B作高，也把條件tanB=破壞了，學生才恍然大悟，他們知道了為什么要作垂線，目的就是要構造直角三角形。為什么要構造直角三角形，因為在題目中，30゜這個條件經(jīng)常會和直角三角形聯(lián)系，尤其是∠B的正切，它出現(xiàn)的前提條件，背景必須是直角三角形，所以我們要這樣做，而且為什么過C點作，已經(jīng)說清楚了。這樣就引導學生觀察求AB，AB由于過點C的垂線分成了AD、DB兩段了，是兩條線段的和，同時AD和BD是極為特殊的線段，因為它們都在直角三角形中——轉化為解直角三角形，所以這個問題可以解決了。學生把這道題解完后，覺得很滿足。因為平時作業(yè)沒有這樣做過。

總之，在中考數(shù)學復習中，教師要關注學生的薄弱在哪里，不光是知識上的欠缺，還有解釋模塊上的一些薄弱點，包括思維方式上的習慣錯誤，整個解決應用問題一些錯誤的定勢，我們都要把它牢牢地掌握。將那些若明若暗的知識、若斷若續(xù)的線索、若即若離的知識，用一條明線串起來。那些五花八門、錯綜復雜的題目，是做不完的——但我們可用一條暗線貫穿其中，那就是思想和方法。所以說：中考數(shù)學復習課大有作為。

[參 考 文 獻]

[1]劉案清.如何讓中考專題復習更“專”[J].中國數(shù)學教育，2015（05）.

[2]陳紅云.初中數(shù)學培養(yǎng)學生“自主”學習能力初探[J].課程教材教學研究，2014（04）.

[3]翟友勇.重視解題后反思，讓思維繼續(xù)飛翔[J].初中數(shù)學教與學，2015（10）.

（責任編輯：張華偉）