李家龍

摘 要：研究數(shù)量關(guān)系與空間形式是數(shù)學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容，數(shù)與形兩者沒有不可逾越的鴻溝，許多代數(shù)問題，往往有著很深的幾何背景，構(gòu)造幾何圖形來(lái)解決反而比用純代數(shù)手段更直觀、更簡(jiǎn)捷，便于發(fā)揮創(chuàng)造力、想象力探求最優(yōu)解法，從而激發(fā)學(xué)生研究數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。下面通過幾個(gè)典型例題說(shuō)明這一觀點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；數(shù)與形；結(jié)合

例1.設(shè)x是實(shí)數(shù)，y=x-1+x+1，下列四個(gè)結(jié)論：

①y沒有最大值；②只有一個(gè)x使y取到最小值；

③有有限個(gè)（不止一個(gè)）使y取到最小值；④有無(wú)窮多個(gè)x使y取到最小值；

其中正確的是（ ）

A.① B.② C.③ D.①④

解：由絕對(duì)值的幾何意義可知：y=x-1+x+1表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到-1和1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，如圖1。

顯然，當(dāng)時(shí)，這個(gè)距離之和最小且為2，故應(yīng)選D。

注：本題還可以利用函數(shù)圖象來(lái)解。

例2.求所有的實(shí)數(shù)x，使得x=+

解：由條件可知x>1，原方程可化為+=x，構(gòu)造△ABC，使AB=x，AC=，BC邊上的高AH=1，如圖2所示，則S△ABC=x··sin∠BAC，又S△ABC=（+）·1=x·，∴sin∠BAC=1，即∠BAC=90°；

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+AC2=BC2，即x2+x=x3（x>1），所以x2-x-1=0，解得x=

例3.解方程+=13

分析：此方程若用純代數(shù)的方法，顯然很難解；若將方程變

形為：

+=13，可聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形……

解：將原方程變形得+=13

故構(gòu)造如圖3的直角三角形，由△ADE∽△ABC，得=，即=，∴x=

例4.已知a，b，m都是正數(shù)，且a

分析一：待證的不等式可轉(zhuǎn)化為b（a+m）>a（b+m），這就使我們聯(lián)想到圖形的面積，因此，可構(gòu)造長(zhǎng)方形來(lái)解決。

證明一：如圖4，以a+m，b+m為邊長(zhǎng)作一矩形，由b>a>0，m>0，知bm>am，即s1>s3

∴s1+s3>s3+s2，b（a+m）>a（b+m），即>

分析二：待證的不等式可轉(zhuǎn)化為a（b+m）

證明二：如圖5，以a+b+m為直徑作⊙O，在直徑AB上取點(diǎn)P，使AP=a，PB=b+m。因?yàn)閎>a，所以P不是圓心，過P點(diǎn)作弦CD，使CD=b。設(shè)PD=x，由相交弦定理得a（b+m）=bx，x=

又因?yàn)镃D

即

例5.已知x，y，z∈（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1

分析：此題用代數(shù)方法證明比較困難，但若從結(jié)論觀察，式中有3個(gè)積，而1又可看做是12，故可以構(gòu)造出邊長(zhǎng)為1的正方形中幾個(gè)小長(zhǎng)方形，用面積法去證。

證明一：以1為邊長(zhǎng)作正方形，由于x，y，z∈（0，1），故在正方形的邊上取點(diǎn)，作出小長(zhǎng)方形（如圖6），則x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）即為所求的三塊小長(zhǎng)方形面積的和，顯然x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<12=1

證明二：如圖7，在邊長(zhǎng)為1的正△ABC的邊AC、BC、AB上分別取點(diǎn)D、E、F，使DA=x，EB=y，F(xiàn)C=z，則CD=1-x，AE=1-y，BF=1-z；

∵S△AED+S△EBF+S△DFC

∴x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<

∴x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1

例6.已知a·+b·=1，求證：a2+b2=1

分析：由已知可得a，b∈（0，1），且根據(jù)a，b之間的關(guān)系可構(gòu)造斜邊為1，直角邊為a和或直角邊為b和的直角三角形，如圖8所示。

證明：∵a·+b·=1∴a，b∈（0，1）

如圖8，構(gòu)造直徑AC=1的圓及圓內(nèi)接四邊形ABCD，使AB=b，AD=a，則CD=，BC=

由托勒密定理（圓內(nèi)接四邊形兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊的乘積和）知，AD×BC+AB×DC=AC×BD∴a·+b·=1×BD，

∴BD=1，即BD也是圓的一條直徑，∴a2+b2=1

例7.在銳角△ABC中，求證：cosA+cosB+cosC

分析：此題在檢查三角函數(shù)基礎(chǔ)上著重要求學(xué)生有解決陌生問題的能力，很多學(xué)生會(huì)陷入僵局。

證明一：如圖9，作銳角△ABC的高AE和CD，則兩高線的交點(diǎn)必在△ABC的內(nèi)部，可證：∠α=∠EAB，所以∠CAB>∠α，故cosA

∴cosA+cosB+cosC

證明二：如圖10，設(shè)⊙O為△ABC的外接圓，半徑為R，作直徑AE、BF，連EC、FC，則cos∠1=，又因?yàn)椤?=∠CAB，∴cosA=cos∠1=；同理sinB=sin∠2=。過F點(diǎn)作FG⊥FC于F，交AC于G，因此AC>GC>FC，所以sinB>cosA；同樣可得，sinA>cosC，sinC>cosB，故有cosA+cosB+cosC

例8.求證=++

分析：本題用三角變換證明，運(yùn)算量大，仔細(xì)觀察題目，可知四個(gè)角度成公比為2的等比數(shù)列，因此可構(gòu)造一個(gè)圖形，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題來(lái)證明。

證明：構(gòu)作Rt△ABC，使∠A=12°，則∠B=78°，作AB的中垂線交AC于點(diǎn)D，再作BD的中垂線交AC于點(diǎn)E，又作BE的中垂線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)BF，則∠BDC=24°，∠BEC=48°，∠BFC=84°，不妨設(shè)BC=1，則AB=，AD=BD=，DE=BE=，EF=BF==

∵∠ABF=∠AFB=84°∴△ABF是等腰三角形，故AD+DE+EF=AF=AB

∴=++

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)：“數(shù)與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，莫分離?！笔聦?shí)上，有些代數(shù)問題，通過構(gòu)造圖形來(lái)解，常使人茅塞頓開，突破常規(guī)思維，進(jìn)入新的境界，所以華先生還一語(yǔ)雙關(guān)地告誡學(xué)生“不要得意忘形”。

編輯 孫玲娟