摘要：數(shù)學(xué)根植于生活并應(yīng)用于生活，數(shù)學(xué)模型來(lái)自于現(xiàn)實(shí)世界，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑；探究一次函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景模型，有利于學(xué)生理解一次函數(shù)中兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系及其圖象和性質(zhì)，并利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：一次函數(shù)；現(xiàn)實(shí)背景；模型探究

作者簡(jiǎn)介：周占鋒（1963-），男，福建省龍巖市武平縣，本科，高級(jí)教師，武平縣教師進(jìn)修學(xué)校中學(xué)教研室主任.數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科六個(gè)核心素養(yǎng)之一，而模型思想是初中數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）指出：數(shù)學(xué)與人類發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步息息相關(guān)，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)更加廣泛應(yīng)用于社會(huì)生產(chǎn)和日常生活的各個(gè)方面. 課標(biāo)把模型思想作為十個(gè)核心概念之一，認(rèn)為模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.一次函數(shù)是初中學(xué)生學(xué)習(xí)和理解函數(shù)的重要素材，其中自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是初學(xué)者理解兩個(gè)變量間對(duì)應(yīng)關(guān)系的難點(diǎn)，探究一次函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景模型，有利于學(xué)生理解一次函數(shù)中兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系及其圖象和性質(zhì)，并利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.以下是幾種一次函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景模型探究.

一、行程問(wèn)題的一次函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景模型

設(shè)路程為s，速度為v，時(shí)間為t，則s=vt . 當(dāng)速度v為常量，如v=30km/s，s=30t是正比例函數(shù)；而正比例函數(shù)是最特殊的一次函數(shù). 若行程問(wèn)題中出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上對(duì)象，不同時(shí)間段有不同的位置狀態(tài)，就構(gòu)成一次函數(shù)的分段函數(shù)模型.

例1甲乙兩人勻速?gòu)耐坏攸c(diǎn)到1500米處的體檢中心體檢，甲出發(fā)5分鐘后，乙以50米/分的速度沿同一路線行走，s關(guān)于t的函數(shù)圖象的一部分如圖1所示.設(shè)甲乙兩人相距s（米），甲行走的時(shí)間為t（分）.

（1）求甲行走的速度；

（2）在坐標(biāo)系中，補(bǔ)畫s關(guān)于t函數(shù)圖象的其余部分；

（3）問(wèn)甲、乙兩人何時(shí)相距360米？

分析此現(xiàn)實(shí)背景中出現(xiàn)甲、乙兩人為兩個(gè)不同對(duì)象，出發(fā)時(shí)間不同使各個(gè)時(shí)間段兩人的相對(duì)位置不同，構(gòu)成距離s與時(shí)間t在不同時(shí)間段有各自不同的一次函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中題設(shè)信息以文字信息和圖象信息相結(jié)合的形式出現(xiàn)，從圖象信息發(fā)現(xiàn)背景涉及四種不同情形：

①t=5分鐘時(shí)甲走了150米；

②甲出發(fā)5分鐘后，乙開(kāi)始出發(fā)，t=12.5分鐘時(shí)，甲追上乙，s=0；

③t=35分鐘時(shí)，甲走了1050米；乙用時(shí)30分鐘走了1500米，到達(dá)體檢中心，s=450米；

④t>35分鐘時(shí)，乙已到達(dá)體檢中心，甲還要用15分鐘走完450米的路程，t=50分鐘時(shí)甲也到達(dá)體檢中心，s=0.

根據(jù)以上分析s與t的函數(shù)關(guān)系式是：

s=30t（0≤t≤5）

-20t+250（5

20t-250（125

-30t+1500（35

試題設(shè)計(jì)要點(diǎn)：

1.基礎(chǔ)題設(shè)置：從圖象信息中發(fā)現(xiàn)甲5分鐘走的路程為150米，可求甲行走的速度為30米/分.

2.對(duì)實(shí)際問(wèn)題的再現(xiàn)：t=35分鐘時(shí)，乙實(shí)際用時(shí)30分鐘，乙已經(jīng)到達(dá)圖書館，此時(shí)s=450米，甲用時(shí)t=15分鐘才能到達(dá)圖書館，此時(shí)s=0. 在坐標(biāo)系中，補(bǔ)畫s關(guān)于t函數(shù)圖象的其余部分是連接（35，450），（50，0）的一條線段.

3.設(shè)甲、乙兩人t分鐘后相距360米，此處的難點(diǎn)是乙實(shí)際用時(shí)為（t-5）分鐘，而不是t分鐘，根據(jù)圖象信息時(shí)間應(yīng)在12.5

二、收費(fèi)問(wèn)題的一次函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景模型

收費(fèi)問(wèn)題通常與兩種或兩種以上的收費(fèi)方式相關(guān)，收費(fèi)金額有的與時(shí)間建立一次函數(shù)關(guān)系，有的與用量建立一次函數(shù)關(guān)系.

例2（2014龍巖中考第23題）隨著地球上的水資源日益枯竭，各級(jí)政府越來(lái)越重視倡導(dǎo)節(jié)約用水.某市對(duì)居民生活用水按“階梯水價(jià)”方式進(jìn)行收費(fèi)，人均月生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如圖2所示.圖中x表示人均月生活用水的噸數(shù)，y表示收取的人均月生活用水費(fèi)（元）.請(qǐng)根據(jù)圖象信息，回答下列問(wèn)題：

（1）該市人均月生活用水的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：不超過(guò)5噸，每噸按元收取；超過(guò)5噸的部分，每噸按元收?。?/p>

（2）請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若某個(gè)家庭有5人，五月份的生活用水費(fèi)共76元，則該家庭這個(gè)月用了多少噸生活用水？

水費(fèi)問(wèn)題通常采用“階梯水價(jià)”方式進(jìn)行收費(fèi)，水費(fèi)與用水量建立一次函數(shù)的分段函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景模型，考查學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出一次函數(shù)模型的數(shù)學(xué)思考，并用數(shù)學(xué)思考進(jìn)行問(wèn)題解決的考量.

三、銷售問(wèn)題的一次函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景模型

銷售問(wèn)題通常以何種銷售、銷售單價(jià)與銷售量為現(xiàn)實(shí)背景模型出現(xiàn)，多數(shù)是利潤(rùn)與銷售量建立一次函數(shù)關(guān)系的模型，關(guān)注利潤(rùn)的合理區(qū)間. 有時(shí)通過(guò)圖象信息提供已知條件，考查學(xué)生的讀圖能力.

例3（2016龍巖中考第23題）某廠家在甲、乙兩家商場(chǎng)銷售同一商品所獲利潤(rùn)分別為y甲、y乙（單位：元），y甲、y乙與銷售數(shù)量x（單位：件）的函數(shù)關(guān)系如圖3所示，試根據(jù)圖象解決下列問(wèn)題：

（1）分別求出y甲、y乙關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）現(xiàn)廠家分配該商品800件給甲商場(chǎng)，400件給乙商場(chǎng)，當(dāng)甲、乙商場(chǎng)售完這批商品后，廠家可獲得總利潤(rùn)是多少元？

該題以圖象信息顯示問(wèn)題背景，突現(xiàn)從實(shí)際生活中抽象出一次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力，考查用解析法求解一次函數(shù)解析式.

四、圖形運(yùn)動(dòng)的一次函數(shù)現(xiàn)實(shí)背景模型

圖形運(yùn)動(dòng)通常有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)和面動(dòng)等，其構(gòu)成的軌跡、距離、面積等可以用函數(shù)來(lái)刻畫，初中數(shù)學(xué)常有用一次函數(shù)刻畫圖形運(yùn)動(dòng)的情況.

例4已知如圖4，在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC，CD，DA運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖5所示，則△ABC的面積是（）

A.10B.16C.18D.20

分析此模型是由點(diǎn)動(dòng)而產(chǎn)生面動(dòng)，觀察圖4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，到點(diǎn)C位置時(shí)△ABC的面積最大；動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，△ABC的面積保持最大數(shù)值不變；從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，△ABC的面積由最大值變?yōu)?.這一變化過(guò)程在圖5的函數(shù)圖象中得到充分刻畫.由圖5可知：BC=4，DC=AB=5，S△ABC=12×4×5=10答案是A.

現(xiàn)實(shí)背景模型的探究和建立飽含了教師的智識(shí)，教師只有不斷加強(qiáng)業(yè)務(wù)學(xué)習(xí)，細(xì)心觀察和品味現(xiàn)實(shí)生活中的事物關(guān)聯(lián)性才能使教學(xué)有的放矢，課標(biāo)對(duì)建立和求解模型的觀察作了很好的闡述：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.函數(shù)教學(xué)中重視現(xiàn)實(shí)背景模型的探究，有利于學(xué)生理解函數(shù)的概念，掌握從現(xiàn)實(shí)背景中抽象出函數(shù)模型的方法，學(xué)會(huì)用函數(shù)思想刻畫事物的變化規(guī)律，提高課堂教學(xué)的有效性.