錢(qián)建兵

【教學(xué)片段1】

出示題目：每次只能烙兩張餅，每面都要烙，每面3分鐘。

師：每次只能烙兩張餅是什么意思？你覺(jué)得放兩張合適，還是一張合適？為什么？照這樣的方法，兩張餅可能需要多長(zhǎng)時(shí)間？（6分鐘，12分鐘）

師：6分鐘真能烙熟？

師：那我們用手代表餅，你能試一試嗎？

學(xué)生以手代餅，每烙一次，配合有“嗞啦”聲，代表“3分鐘”。

師：兩張同時(shí)烙，用的時(shí)間最短。他給我們帶來(lái)了最重要的東西——經(jīng)驗(yàn)，在經(jīng)歷和活動(dòng)中產(chǎn)生的體驗(yàn)。掌聲送給帶給我們經(jīng)驗(yàn)的人。

師：你們知道有了經(jīng)驗(yàn)下次碰到問(wèn)題該怎么辦？敢挑戰(zhàn)嗎？挑戰(zhàn)來(lái)了。照這樣，烙4張餅，最少需要多少時(shí)間？（12分鐘）

師：耳聽(tīng)為虛，眼見(jiàn)為實(shí)。

學(xué)生演示。

師：你從哪兒想到是12分鐘的？怎么這么快？

生：因?yàn)?張餅是6分鐘，4張餅就是12分鐘。

生：4是兩個(gè)2。

師：我聽(tīng)出來(lái)了，你們是根據(jù)上面的經(jīng)驗(yàn)，4里有兩個(gè)2，當(dāng)然時(shí)間就是兩個(gè)6分鐘。

師：比較，你們發(fā)現(xiàn)這個(gè)經(jīng)驗(yàn)跟上面的經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，又產(chǎn)生了一個(gè)經(jīng)驗(yàn)。告訴你們一個(gè)小秘密，經(jīng)驗(yàn)加經(jīng)驗(yàn)，會(huì)產(chǎn)生新經(jīng)驗(yàn)。

師：你敢做加法嗎？試一試！烙6張餅至少要多少分鐘？是怎么烙的？

【賞析】積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，要通過(guò)必要的引導(dǎo)、反思，從而獲得對(duì)原有經(jīng)驗(yàn)的超越與提升。在學(xué)生經(jīng)歷了探索烙2張餅的活動(dòng)后，徐老師沒(méi)有讓學(xué)生按順序烙3張餅，而是讓學(xué)生烙4張、6張餅，烙2張餅的經(jīng)驗(yàn)立即得以運(yùn)用、驗(yàn)證，進(jìn)一步強(qiáng)化了2張同時(shí)烙的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生對(duì)經(jīng)驗(yàn)的作用有了較深刻的體驗(yàn)，促使學(xué)生積極主動(dòng)地調(diào)用經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，“經(jīng)驗(yàn)加經(jīng)驗(yàn)”的模式得以納入原來(lái)的經(jīng)驗(yàn)框架里。

【教學(xué)片段2】

師：照這樣下去，你能說(shuō)出烙更多張餅最少需要的時(shí)間了嗎？經(jīng)驗(yàn)豐富嗎？雖然你們經(jīng)驗(yàn)豐富，我覺(jué)得還不夠，因?yàn)槟銈兊慕?jīng)驗(yàn)還不全面。說(shuō)一說(shuō)，你們的經(jīng)驗(yàn)都是關(guān)于怎樣的經(jīng)驗(yàn)？（餅數(shù)是雙數(shù)的）

師：根據(jù)前后的經(jīng)驗(yàn)，告訴我3張餅至少需要多少時(shí)間？（9分鐘或12分鐘）

師：烙3張餅比2張的時(shí)間多，比4張少，怎么不對(duì)？（12分鐘）

教師請(qǐng)認(rèn)為是12分鐘的學(xué)生演示，先同時(shí)烙2張，再烙1張，一共用了12分鐘。

此時(shí)，有一位學(xué)生表示用6分鐘。

學(xué)生演示正確的方法，并在此過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)是9分鐘。

師：雖然不是6分鐘，但是我們通過(guò)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)真是9分鐘。

師：他的實(shí)踐，使我們懂得了一種方法，這樣輪流著烙，交替烙，每次鍋里都放幾張？（2張）

師：原來(lái)我們以為要12分鐘，現(xiàn)在只要9分鐘，還有3分鐘去哪兒了？我們來(lái)看看，第一次烙時(shí)有沒(méi)有充分利用資源。

教師分別演示用時(shí)12分鐘和9分鐘的方法。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，用時(shí)12分鐘的方法烙第3張時(shí)鍋里只放了一張，而用時(shí)9分鐘的方法每次鍋里都放2張。

師：恰恰因?yàn)槌浞掷昧速Y源。這3張餅?zāi)懿荒芊殖?張和1張？

師：是的，應(yīng)該看成一個(gè)整體。整體考慮，就不叫同時(shí)烙，叫？（交替烙）

師：換一個(gè)角度，是不是把經(jīng)驗(yàn)豐富了？還能加嗎？把哪兩個(gè)相加，就能得出烙5張餅至少需要多少時(shí)間呢？怎么烙呢？

師：6張餅除了同時(shí)的方法，還可以用什么方法？

師：孩子們，發(fā)現(xiàn)了嗎？在數(shù)學(xué)中，當(dāng)你的方法多了以后，你就可以用方法彼此驗(yàn)證自己的結(jié)論。

師：老師發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，5張餅是同時(shí)加交替，6張餅也是同時(shí)和交替，這中間應(yīng)該用哪個(gè)字？（或）

師：是什么意思？

生：可以選擇其中一種方法。

【賞析】通過(guò)引導(dǎo)觀察，學(xué)生意識(shí)到新的問(wèn)題用“經(jīng)驗(yàn)加經(jīng)驗(yàn)”的模式無(wú)法解決。學(xué)生認(rèn)識(shí)到已有經(jīng)驗(yàn)的局限性，打破了暫時(shí)的平衡，產(chǎn)生了解決烙奇數(shù)張餅的需求。學(xué)生進(jìn)入“失穩(wěn)階段”。

顯然，“交替烙”這種方法，是對(duì)學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)觀念的更新。要重組這一新經(jīng)驗(yàn)，需要學(xué)生親身經(jīng)歷，在此基礎(chǔ)上形成一種新的認(rèn)識(shí)與體悟，才能形成新的經(jīng)驗(yàn)?！敖惶胬印迸c“同時(shí)烙”的對(duì)比是新經(jīng)驗(yàn)的建立所必需的，這是因?yàn)楹拖扔械慕?jīng)驗(yàn)產(chǎn)生沖突對(duì)于超越、拓展這些經(jīng)驗(yàn)所帶來(lái)的局限是必需的。學(xué)生在活動(dòng)反思中進(jìn)一步優(yōu)化自己的經(jīng)驗(yàn)框架，從而使新經(jīng)驗(yàn)納入自己的經(jīng)驗(yàn)框架，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的豐富。這里的“交替烙”經(jīng)驗(yàn)的建立不一定要通過(guò)摧毀先有概念“同時(shí)烙”，徐老師將不同的經(jīng)驗(yàn)方法并存、互補(bǔ)，從而實(shí)現(xiàn)了新的平衡。從不平衡過(guò)渡到另一種平衡，整個(gè)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)都在發(fā)生變化。

理解“交替烙”后面所隱藏的統(tǒng)籌方法是本課重點(diǎn)。積累經(jīng)驗(yàn)的目的是在活動(dòng)過(guò)程中體會(huì)統(tǒng)籌優(yōu)化思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。對(duì)兩種方法的剖析，使學(xué)生對(duì)統(tǒng)籌優(yōu)化方法中的充分利用資源有了體驗(yàn)與感悟。

【教學(xué)片段3】

師：7張要多少分鐘？8張呢？怎么這么快就說(shuō)出答案了？

生：找到規(guī)律了！

師：當(dāng)經(jīng)驗(yàn)足夠豐富了以后，就可以歸類(lèi)，找出規(guī)律。有了規(guī)律，離答案還遙遠(yuǎn)嗎？

教師在板書(shū)下面補(bǔ)上省略號(hào)。

師：誰(shuí)知道表示什么意思？

生：知道就不用寫(xiě)了。

師：隱藏的規(guī)律與前面是一樣的。以此類(lèi)推，就是以此歸類(lèi)，再推出規(guī)律。

師：那你推的規(guī)律是什么？

生：每增加一張餅，時(shí)間就加3分鐘。

師：倒過(guò)來(lái)說(shuō)呢？

師：規(guī)律難嗎？考考你們！4張？3張？2張？1張呢？

生1：3分鐘。

生2：不對(duì)，6分鐘！

師：為什么1張餅不符合我們今天找到的規(guī)律？

生3：因?yàn)?張餅兩個(gè)面，每面都要3分鐘。

生4：因?yàn)?張餅每次只烙1張，其他的每次都烙兩張。

師：暴風(fēng)驟雨般的掌聲送給他！

師：是啊，因?yàn)檫@里有個(gè)信息——2（將表示鍋的長(zhǎng)方形平均分成兩份），它是我們這口鍋的資源數(shù)。我們剛才研究規(guī)律時(shí)，都是在充分使用資源的條件下尋找的規(guī)律，所以它適用于充分使用資源的餅數(shù)，即大于等于2的情況下。而1小于資源數(shù)，能這樣算嗎？說(shuō)明一切規(guī)律都是有條件的規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題要關(guān)注規(guī)律適用的條件。

師：回頭看，你覺(jué)得這些經(jīng)驗(yàn)中哪些經(jīng)驗(yàn)最重要？

生：烙的方法，同時(shí)烙和交替烙。

師：你們找得很對(duì)。這兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)與其他的經(jīng)驗(yàn)不同，這叫基本經(jīng)驗(yàn)，有了他們，其他的都可以拋掉。

師：一張餅真的不能用3分鐘嗎？

教師出示電餅鐺圖片。

師：改變環(huán)境條件，同樣是一種優(yōu)化。

師：我們今天研究的是方法上的優(yōu)化，而它改變了環(huán)境與條件，是本質(zhì)的優(yōu)化，創(chuàng)造性的優(yōu)化。把不可能變?yōu)榭赡埽侨祟?lèi)永遠(yuǎn)追求的創(chuàng)造。

【賞析】經(jīng)驗(yàn)形成后，并不是被簡(jiǎn)單地儲(chǔ)存起來(lái)，它必須隨時(shí)可以被調(diào)用，并經(jīng)常處于調(diào)用狀態(tài)。對(duì)省略號(hào)意義的反思，一是引導(dǎo)學(xué)生調(diào)用經(jīng)驗(yàn)，思考經(jīng)驗(yàn)背后的規(guī)律，也是將學(xué)生的注意力引導(dǎo)至基本經(jīng)驗(yàn)中來(lái)。以“此”類(lèi)推，“此”即是基本經(jīng)驗(yàn)，這也是數(shù)學(xué)方法的滲透。復(fù)雜的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。經(jīng)驗(yàn)的積累起源于解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。隨著經(jīng)驗(yàn)的豐富，學(xué)生對(duì)烙餅活動(dòng)后面所隱藏的規(guī)律也水落石出，對(duì)背后的統(tǒng)籌方法也有所悟。

徐老師利用學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的豐富與熟練應(yīng)用而導(dǎo)致的思維自動(dòng)化，讓他們不假思索說(shuō)出了“烙1張餅要花3分鐘”。學(xué)生頓悟后的理性思考就更具教育意義，對(duì)規(guī)律的適用范圍有了理解。值得一提的是，結(jié)束時(shí)提出的“如何3分鐘烙一張餅”的挑戰(zhàn)，是對(duì)已建立起的“在一定條件下充分利用資源的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)”的挑戰(zhàn)，又一次打破平衡?！案淖儹h(huán)境與條件”這一創(chuàng)造性的優(yōu)化與統(tǒng)籌安排方法優(yōu)化并存，完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)西亭小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）