梁素萍

【摘要】在判斷l(xiāng)imx→+∞f（x）=0是否成立時(shí)，有時(shí)應(yīng)用直接辦法太復(fù)雜，我們也可以借助∫+∞af（x）dx的斂散性，再結(jié)合一些已知條件來(lái)判斷，常使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

【關(guān)鍵詞】收斂；發(fā)散；極限

預(yù)備知識(shí)

定義設(shè)函數(shù)f（x）定義在無(wú)窮區(qū)間[a，+∞），且在任何有限區(qū)間[a，b）上可積.如果存在極限limx→+∞∫xaf（t）dt=J，則稱此極限為函數(shù)f（x）在[a，+∞）上的無(wú)窮限非正常積分，記作：J=∫+∞af（x）dx.

同時(shí)稱∫+∞af（x）dx收斂.如果極限不存在，則稱無(wú)窮限積分發(fā)散.但∫+∞af（x）dx收斂時(shí)不能推出limx→+∞f（x）=0.

例如，∫+∞0sinx2dx=∫+∞0sint2tdt收斂，但limx→+∞sinx2≠0，看來(lái)只在∫+∞af（x）dx收斂的條件下不可能推出limx→+∞f（x）=0，下面給f（x）付加一些條件就可以推出limx→+∞f（x）=0.

（1）設(shè)∫+∞af（x）dx收斂，且limx→+∞f（x）存在，則一定有l(wèi)imx→+∞f（x）=0.

證明若limx→+∞f（x）為有限正數(shù)或無(wú)窮大，則都存在x0>a和c>0，使得當(dāng)x>x0時(shí)，有f（x）>c，因此對(duì)A>x0有∫Aaf（x）dx=∫x 0af（x）dx+∫Ax0f（x）dx>∫x 0af（x）dx+c（A-x0）>+∞，這與無(wú)窮限積分收斂的條件矛盾，可見(jiàn)limx→+∞f（x）不可能是有限正數(shù)或無(wú)窮大，同樣可以證明limx→+∞f（x）也不可能是負(fù)數(shù)或負(fù)無(wú)窮大，因此得：limx→+∞f（x）=0.

（2）∫+∞af（x）dx收斂且f（x）在[a，+∞）上一致連續(xù)，則有l(wèi)imx→+∞f（x）=0.

證明（反證法）若x→+∞時(shí)，有f（x）不趨于0，則存在ε0>0，使得任意A>0，存在x1>A，有|f（x1）|≥ε0，又因?yàn)閒（x）在[a，+∞）上一致連續(xù)，對(duì)ε02>0，存在δ>0，當(dāng)|x′-x″|≤δ時(shí)，有|f（x′）-f（x″）|≤ε02，故當(dāng)x∈[x1，x1+δ]時(shí)，有

|f（x）|≥|f（x）-f（x1）+f（x1）|≥|f（x1）|-|f（x）-f（x1）|≥ε02.

并且f（x）與f（x1）同號(hào)（因?yàn)椴蝗坏脑挘瑋f（x）-f（x1）|>ε0產(chǎn)生矛盾）.

若f（x1）>0，則f（x）>0，從而由上式得f（x）>ε02故

∫x 1+δx1f（x）≥ε02∫x 1+δx1dx=ε02δ.同理f（x1）<0，也有∫x 0+δx1f（x）≥ε02δ這就證明了對(duì)ε02>0，對(duì)任意A，存在x1+δ>x1>A，使得∫x 1+δx0f（x）≥ε02δ.

根據(jù)cauchy準(zhǔn)則，即∫+∞af（x）dx發(fā)散，與假設(shè)矛盾.所以limx→+∞f（x）=0.

（3）∫+∞af（x）dx收斂且f（x）連續(xù)可微，且∫+∞af′（x）dx也收斂，則limx→+∞f（x）=0.

證明要證明x→+∞時(shí)f（x）有極限，根據(jù)Heine定理，我們只要證明對(duì)任意{xn}→+∞恒有{f（xn）}收斂，事實(shí)上，∫+∞af′（x）dx收斂，根據(jù)Cauchy準(zhǔn)則，對(duì)任意ε>0，存在A>a以及任意x1，x2>A，∫x 2x1f′（x）dx=|f（x2）-f（x1）|<ε，

因此任意{xn}→+∞，存在N>0，當(dāng)n，m>N時(shí)，有xn，xm>A，從而，∫x mxnf′（x）dx=|f（xm）-f（xn）|<ε.這表明{f（xn）}收斂，故由Heine定理推出limx→+∞f（x）=a，由（1）可知limx→+∞f（x）=a=0.

（4）∫+∞af（x）dx收斂，且函數(shù)f（x）在x≥0上有一階導(dǎo)數(shù)，|f′（x）|

證明|f′（x）|

（5）如果將函數(shù)f（x）變?yōu)閱握{(diào)，不僅有l(wèi)imx→+∞f（x）=0而且對(duì)“階”作了估計(jì).

例∫+∞af（x）dx收斂，且f（x）單減，則有l(wèi)imx→+∞xf（x）=0.

證明首先有f（x）≥0，因?yàn)槿舸嬖谀硏1，使得f（x1）<0，則x>x1時(shí)，恒有f（x）

其次，由∫+∞af（x）dx收斂，知對(duì)任意的ε>0，存在A>a，當(dāng)A″>A′>A時(shí)，有∫A″A′f（x）dx<ε2，故任意x>2A，有0

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