“邊角”料的完美價(jià)值
—— 再論“SSA”

廣東省佛山南海實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528200) 劉鋒

“邊角”料的完美價(jià)值
—— 再論“SSA”

廣東省佛山南海實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528200) 劉鋒

這是一個(gè)樸素而又不失樂趣的平面幾何問題,我們甚至能不假思索地猜想到該問題相關(guān)的結(jié)論是什么,卻又對(duì)所猜想的相關(guān)結(jié)論總有一絲疑惑.問題的解決,既用到幾何畫板直觀驗(yàn)證,又用到代數(shù)知識(shí)推理論證,由淺入深,引人入勝.問題本身的內(nèi)在美及其所承載的數(shù)學(xué)價(jià)值,值得我們靜心感受.

1 引言

在現(xiàn)行的北師大版初中數(shù)學(xué)教材體系中,邊邊角(以下簡(jiǎn)稱SSA)是在八年級(jí)下冊(cè)第18頁作為反例出現(xiàn),說明“SSA”并不能確定三角形全等,而證明直角三角形全等有特殊方法“HL”.由此,會(huì)有部分學(xué)生有這樣的慣性思考:如果兩個(gè)三角形都是銳角三角形或者都是鈍角三角形時(shí),是否可以用“SSA”判斷它們?nèi)饶?

2 “SSA”適用性的初步討論

為了系統(tǒng)、完整地闡述這一問題,我決定按以下兩種方式進(jìn)行分類討論,一是按三角形本身進(jìn)行分類,分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形進(jìn)行討論;二是按對(duì)應(yīng)角(即“SSA”中的“A”)進(jìn)行分類,分為對(duì)應(yīng)角是銳角、對(duì)應(yīng)角是直角、對(duì)應(yīng)角是鈍角進(jìn)行討論.

2.1 對(duì)三角形的分類討論

若兩個(gè)三角形是直角三角形,可以簡(jiǎn)單論證.

若兩個(gè)三角形是銳角三角形:如圖1,在銳角△ABC和銳角△A1B1C1中,AB=A1B1,AC=A1C1,∠B=∠B1,求證:△ABC～=△A1B1C1.

圖1

若兩個(gè)三角形是鈍角三角形,則不能通過上述證明方法得到全等,那么是否可以找出反例說明“SSA”在兩個(gè)鈍角三角形中不適用呢?

借助幾何畫板,可以構(gòu)造圖2所示圖形,在△ABC和△ABC1中,AB=5cm,AC= AC1=4cm,∠B=30°.經(jīng)測(cè)量,∠CAC1=97.04°,∠BC1A=138.19°(精確到十分位).由此說明,“SSA”在兩個(gè)鈍角三角形中不適用.

圖2

通過以上討論,我們可以得出結(jié)論:

結(jié)論一:兩邊分別相等且其中一組對(duì)邊的對(duì)角相等的兩個(gè)直角三角形全等;

結(jié)論二:兩邊分別相等且其中一組對(duì)邊的對(duì)角相等的兩個(gè)銳角三角形全等;

結(jié)論三:兩邊分別相等且其中一組對(duì)邊的對(duì)角相等的兩個(gè)鈍角三角形不一定全等.

2.2 對(duì)對(duì)應(yīng)角的分類討論

若對(duì)應(yīng)角是直角,可以簡(jiǎn)單論證.

若對(duì)應(yīng)角是鈍角:

如圖3,在鈍角△ABC和鈍角△A1B1C1中,AB= A1B1,AC=A1C1,∠B=∠B1,90°＜∠B＜180°, 90°＜∠B1＜180°,求證:△ABC～=△A1B1C1.

圖3

若對(duì)應(yīng)角是銳角,圖2仍是一個(gè)很好的反例,說明對(duì)應(yīng)角是銳角時(shí),“SSA”不適用.

通過以上討論,我們可以得出結(jié)論:

結(jié)論四:兩邊分別相等且其中一組對(duì)邊的對(duì)角相等且對(duì)應(yīng)角是直角的兩個(gè)三角形全等;

結(jié)論五:兩邊分別相等且其中一組對(duì)邊的對(duì)角相等且對(duì)應(yīng)角是鈍角的兩個(gè)三角形全等;

結(jié)論六:兩邊分別相等且其中一組對(duì)邊的對(duì)角相等且對(duì)應(yīng)角是銳角的兩個(gè)三角形不一定全等.

3 “SSA”不確定性的深入探討

若我們的探討就到此為止,未免平淡無味.以上兩種分類方法,有一定的重合度,經(jīng)過比較分析,我們可以進(jìn)一步縮小“SSA”不適用的范圍,得到以下結(jié)論:

結(jié)論七:兩邊分別相等且其中一組對(duì)邊的對(duì)角相等且對(duì)應(yīng)角是銳角的兩個(gè)鈍角三角形不一定全等.原因很簡(jiǎn)單,我們并不清楚另外一組相等的邊所對(duì)的角是否相等,這組角可能相等,也可能互補(bǔ).我們?cè)龠M(jìn)行以下的嘗試:

根據(jù)以上論證可以得出以下結(jié)論:

結(jié)論八:兩邊分別相等且其中一組對(duì)邊的對(duì)角相等且對(duì)應(yīng)角是銳角的兩個(gè)鈍角三角形,若對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊不小于三角形中的最短邊,則這兩個(gè)三角形全等.

結(jié)論九:兩邊分別相等且其中一組對(duì)邊的對(duì)角相等且對(duì)應(yīng)角是銳角的兩個(gè)鈍角三角形,若對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是三角形最短邊,則這兩個(gè)三角形不一定全等.

4 “SSA”的相關(guān)應(yīng)用

在現(xiàn)行的教材中,“SSA”不能用來證明三角形全等,也沒有對(duì)此做過多的論述,但這并不代表“SSA”沒有用武之地.

例:同學(xué)們都知道,只有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.你如何處理和安排這三個(gè)條件,使這兩個(gè)三角形全等?比如:設(shè)有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形,如果這組角的對(duì)邊恰好都是這兩邊中較大的邊,那么這兩個(gè)三角形全等.請(qǐng)你仿照上例,再寫出三個(gè)使這兩個(gè)三角形全等的方案.

解析:可以有以下參考方案:

方案一:如果這個(gè)角是這兩邊的夾角,那么這兩個(gè)三角形全等;

方案二:如果這個(gè)角是直角,那么這兩個(gè)三角形全等;

方案三:如果這個(gè)角是鈍角,那么這兩個(gè)三角形全等;

方案四:如果這兩個(gè)三角形都是銳角三角形,那么這兩個(gè)三角形全等.

這是一道開放型的方案設(shè)計(jì)題,通過分析,可以知道在什么情況下“SSA”能判斷兩個(gè)三角形全等.

結(jié)論

行文至此,已近尾聲.縱觀現(xiàn)今初中數(shù)學(xué)教材的安排,“SSA”猶如滄海遺孤,很少被提及或是作為反例,未免有些遺憾.運(yùn)用分類討論思想,我們不難發(fā)現(xiàn),從三角形的三條邊、三個(gè)角中選取三個(gè)條件,應(yīng)該有三個(gè)角(AAA)、兩角一邊、一邊兩角和三條邊(SSS)四大類,兩邊一角分為邊角邊(SAS)和邊邊角(SSA),一邊兩角分為角邊角(ASA)和角角邊(AAS).因此,只有“SSA”的加入,才能使得這是一個(gè)完整的體系.而對(duì)“SSA”的研究和討論,其過程遠(yuǎn)比其它幾個(gè)判定三角形全等的定理或推論的獲得更富有趣味性和思想性.而“SSA”本身,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的完整美.

[1]黃國輝.全等三角形判定中的“邊、邊、角”問題探討.撫州師專學(xué)報(bào), 1985.

[2]陳德前.滿足“SSA”的兩個(gè)三角形全等嗎?.中學(xué)生數(shù)理化(八年級(jí)數(shù)學(xué))(配合人教社教材),2014.7-8.

[3]查萍偉.“SSA”與中考題.中學(xué)生數(shù)理化(八年級(jí)數(shù)學(xué))(配合人教社教材),2015.7-8.