秦 棟，陳慧艷

(大唐環(huán)境產(chǎn)業(yè)集團股份有限公司大唐(北京)水務工程技術(shù)有限公司，北京 100097)

空間自回歸模型在水庫邊坡位移預測中的應用

秦 棟，陳慧艷

(大唐環(huán)境產(chǎn)業(yè)集團股份有限公司大唐(北京)水務工程技術(shù)有限公司，北京 100097)

針對傳統(tǒng)位移監(jiān)測很少考慮不同測點之間相互作用的問題，基于經(jīng)濟學領(lǐng)域空間計量學基本理論，研究了空間自回歸模型在邊坡位移預測中的應用。以某工程高邊坡外觀位移數(shù)據(jù)為例，對邊坡的位移狀況進行預測，并與傳統(tǒng)的自回歸積分滑動平均模型相比較。結(jié)果表明：(a)在空間自相關(guān)系數(shù)較為顯著的條件下，運用空間自回歸模型可以較為精確地預測邊坡變形狀況，且優(yōu)于傳統(tǒng)模型；(b)空間自回歸模型相較于傳統(tǒng)模型參數(shù)更加簡潔、考慮的影響因素更全面，可以同時對空間所有測點位移進行估計。

空間計量學；空間自回歸模型；水庫邊坡；邊坡位移預測；自回歸積分滑動平均模型

水庫邊坡安全關(guān)系到水利工程的根本安全，如果邊坡出現(xiàn)滑坡，后果不堪設想。歷史上有很多水庫邊坡滑坡災害的實例，滑坡也因此被稱為世界三大自然災害之一。針對邊坡的安全監(jiān)測，一般主要進行外部的變形監(jiān)測、內(nèi)部的多點位移計變形監(jiān)測、應力計應力監(jiān)測等[1-5]。因為內(nèi)觀儀器很容易損壞，因此最為可靠和穩(wěn)定的監(jiān)測數(shù)據(jù)為外觀變形數(shù)據(jù)。外觀變形數(shù)據(jù)是了解邊坡變形狀態(tài)的重要參考和依據(jù)。

為了研究外觀變形數(shù)據(jù)和邊坡安全狀態(tài)的關(guān)系，有很多算法被用于邊坡變形的預測，以此判斷邊坡的安全變化趨勢[6-9]。根據(jù)Tobler提出的著名的“地理學第一定律”：萬事萬物之間存在廣泛的關(guān)聯(lián)性，并且相近的事物之間關(guān)系更緊密。邊坡作為一個整體，不同區(qū)域的變形有可能存在很強的關(guān)聯(lián)性，但傳統(tǒng)的變形預測很少考慮多測點變形值之間的相互關(guān)系?？臻g自回歸模型是空間計量經(jīng)濟學領(lǐng)域的模型之一，主要用來分析空間不同區(qū)域參數(shù)值之間的關(guān)聯(lián)性，從而實現(xiàn)對數(shù)值的分析和預測[10-15]。邊坡的監(jiān)測數(shù)據(jù)也有變形值、測點坐標、時間段等多個維度，本質(zhì)上可以被看作一種面板數(shù)據(jù)。本文基于空間計量學基本理論，探討這種空間自回歸模型在邊坡變形面板數(shù)據(jù)預測中的應用的可行性，并和傳統(tǒng)的單測點模型的預測效果進行比較。

1 空間自回歸模型

1.1 空間權(quán)重矩陣

為了衡量不同測點之間的關(guān)聯(lián)性，有人提出了空間權(quán)重矩陣，這也是空間自回歸模型最基礎的部分，是進行空間自相關(guān)分析的基礎。假設空間有n個測點，如果用wij表示測點i和測點j之間的距離，定義空間權(quán)重矩陣如下：

(1)

關(guān)于wij的最為經(jīng)典的取值方法是根據(jù)不同測點的鄰近關(guān)系進行取值，公式如下：

(2)

1.2 空間自相關(guān)系數(shù)

空間自相關(guān)系數(shù)一般被用來衡量空間上數(shù)據(jù)的聚集程度。最常用的空間自相關(guān)系數(shù)為莫蘭指數(shù)(I)，其取值一般介于-1～1之間。當自相關(guān)系數(shù)大于0，說明空間數(shù)值存在高高聚集或低低聚集；當自相關(guān)系數(shù)小于0，說明空間數(shù)值存在高低聚集或者低高聚集；當自相關(guān)系數(shù)接近于0，說明空間基本不存在空間自相關(guān)關(guān)系，各測點的數(shù)值相對比較獨立。莫蘭指數(shù)的計算公式為

(3)

其中

莫蘭指數(shù)I的期望為

(4)

標準化的莫蘭指數(shù)服從漸進標準正態(tài)分布，可以使用標準正態(tài)的臨界值進行顯著性檢驗，一般用p值表示。一般認為，當p<0.05，莫蘭指數(shù)顯著成立。

1.3 空間自回歸模型的構(gòu)建

因為邊坡不同測點的監(jiān)測數(shù)據(jù)具有時間和測點2個維度，所以邊坡監(jiān)測數(shù)據(jù)從根本上講是一種面板數(shù)據(jù)。因為測點的位置還具有一定空間特性，所以稱這種數(shù)據(jù)為空間面板數(shù)據(jù)。如果僅僅考慮時間的一階滯后，則一階動態(tài)面板數(shù)據(jù)的空間自回歸模型為

(5)

其中

如果僅僅針對橫截面數(shù)據(jù)，由于共時性的存在，最小二乘法的估算將不會隨著樣本量的增加而收斂到它們的“真實”值。相反，在最小二乘形式中被忽略的反饋效應或依賴效應將增大，因此對空間自回歸模型一般采用最大似然估計。

假設擾動項εmt～N(0,σ2Ik)，有樣本對數(shù)似然函數(shù)如下：

(6)

對式(6)的最大化估計分2步進行：(a)在給定λ的情況下，選擇最優(yōu)的β、σ2；(b)根據(jù)最優(yōu)β、σ2，選擇最優(yōu)的λ。

對于面板數(shù)據(jù)，如果采用固定效應模型，可以先做組內(nèi)離差變換，去掉vm，然后采用類似橫截面模型的最大似然估計得到各系數(shù)；如果采用隨機效應模型，可以通過廣義離差變換，然后采用最大似然估計。隨機模型和固定效益模型的選擇需要通過豪斯曼檢驗(HausmanTest)確定。這樣就可以確定式(5)的參數(shù)，至此完成空間自回歸模型的建立。

1.4 模型運作流程

綜上，可以發(fā)現(xiàn)空間自回歸模型僅僅適用于空間自相關(guān)效應比較明顯的情況。根據(jù)這點，可以簡單將空間自回歸模型的運作流程歸納如下:(a)收集并整理變形數(shù)據(jù)，剔除錯誤數(shù)據(jù)，插補缺失數(shù)據(jù)。(b)計算變形數(shù)據(jù)的空間自相關(guān)系數(shù)，并檢驗其顯著性。(c)如果存在顯著的空間自相關(guān)性質(zhì)，則采用空間自回歸模型；如果不存在顯著的空間自相關(guān)性質(zhì)，則采用傳統(tǒng)預測模型。(d)回代各項回歸系數(shù)，檢驗模型的預測精度。

2 工 程 實 例

2.1 工程概況

我國西南某省某電站下游為滿足工程布置需要，開挖形成長約1 530m，最大坡高為230m的人工高邊坡。為保證工程運行安全，需要對高邊坡進行安全監(jiān)測。外觀變形監(jiān)測共設有16個監(jiān)測剖面，一共布置了94個變形測點，實際觀測81個測點。測點布置情況如圖1所示。因為L11斷面和L12斷面相距較遠，可以認為它們之間基本沒有相互影響。以L11斷面為界，將邊坡分為L1～L11和L12～L16兩部分。為方便起見，只研究測點分布均勻且損壞率較低的L1～L11部分。

圖1 某工程下游人工高邊坡外觀變形測點布置

圖2 L1～L11斷面區(qū)域測點拓撲關(guān)系

L1～L11斷面共有49個有效測點，將這49個測點單獨提取出來并對所有測點進行編號。這里考慮測點在水平和豎直2個方向上的臨近關(guān)系，如果兩點有直接的臨近關(guān)系，則認為這兩點“相鄰”，反之認為“不相鄰”；同時對所有測點之間的相互影響做出假設：即認為測點對臨近測點的影響程度與空間權(quán)重矩陣成正比(空間自回歸模型的基本假設)。如果用連接的直線表示測點之間的臨近關(guān)系，那不同測點之間的臨近拓撲關(guān)系如圖2所示。

根據(jù)圖2的拓撲關(guān)系圖，可以根據(jù)式(2)得到相應的空間權(quán)重矩陣W。進一步，對空間權(quán)重矩陣進行“行標準化”操作，便可以得到標準化的空間權(quán)重矩陣。

2.2 自相關(guān)性檢驗

為驗證空間自回歸模型的適用性，還需要了解邊坡不同測點測值的空間自相關(guān)程度。本文截取了邊坡49個測點從2010年2月到2013年12月共47個時間截面沿左右岸方向(X軸方向)的變形測值，并根據(jù)式(3)分別計算每個截面的空間自相關(guān)系數(shù)。其中部分空間自相關(guān)系數(shù)如表1所示，47個時間截面的莫蘭指數(shù)和P的均值分別為0.284、0.088。由表1可知，大部分時間截面都表現(xiàn)出顯著的空間自相關(guān)性質(zhì)(P<0.05)，所有時間截面平均莫蘭指數(shù)為0.284，表明L1～L11斷面表現(xiàn)出較強的空間正自相關(guān)性質(zhì)，可以采用空間自回歸模型對邊坡的變形進行預測。

表1 不同時間截面的莫蘭指數(shù)

2.3 擬合精度分析

47組數(shù)據(jù)中，用前42組數(shù)據(jù)進行擬合建模，對后5組數(shù)據(jù)進行預測并與實測值進行比較。為驗證模型的擬合精度，選用傳統(tǒng)的自回歸積分滑動平均模型(autoregressive integrated moving average model， ARIMA)對所有測點的變形進行擬合，并與空間自回歸模型的擬合精度相比較。

不同模型的回歸結(jié)果及擬合精度見表2。因為空間自回歸模型在邊坡監(jiān)測領(lǐng)域的應用較少，這里分別采用了隨機效應模型和固定效應模型進行建模。可以看出，空間自回歸模型(包含隨機效應模型和固定效應模型)的擬合精度要明顯高于傳統(tǒng)時間序列模型。

表2 空間自回歸模型和ARIMA模型擬合精度比較

注：d1、W1、W2為模型系數(shù)；R為相關(guān)系數(shù)；RSQ為殘差平方和；AIC、BIC為信息準則;S為Spatial空間自相關(guān)系數(shù)。

2.4 預測精度分析

運用隨機效應模型、固定效應模型、ARIMA模型對變形數(shù)值預測進行，預測時如果沒有實測值可以將預測值作為實測值代入下一步預測之中。模型的最后預測結(jié)果見表3。從表3可知，隨著時間的推移，3種模型的精度都出現(xiàn)了下降的情況；但是整體來看，隨機效應模型和固定效應模型的精度相當，其中固定效應模型的精度要更高一些，但都明顯高于傳統(tǒng)單測點的ARIMA模型。

3 結(jié) 語

基于空間計量學基本理論，將空間自回歸模型引入邊坡位移預測的研究當中，計算簡單，原理清晰。研究結(jié)果表明：對于整體性較好的邊坡，可以用空間自相關(guān)系數(shù)驗證其整體性；在空間自相關(guān)系數(shù)較為顯著的條件下，運用空間自回歸模型可以較為精確地預測邊坡變形狀況，且優(yōu)于傳統(tǒng)單測點模型；空間自回歸模型相較于傳統(tǒng)模型參數(shù)更加簡潔，可以同時對空間所有測點進行估計；空間自回歸模型還可以在一定程度上揭示邊坡的空間變形性質(zhì)，值得進一步研究和推廣。

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Application of spatial autoregressive model in prediction of high slope deformation

QIN Dong,CHEN Huiyan

(Datang(Beijing)WaterEngineeringTechnologyCo.,Ltd.,DatangEnvironmentIndustryGroupCo.,Ltd.,Beijing100097,China)

In consideration of the fact that the interaction between different monitoring points is seldom considered in traditional displacement monitoring, the application of the spatial autoregressive model in the prediction of high slope deformation was examined based on the basic theory of spatial econometrics. Using a high slope as an example, the results of displacement prediction based on the monitoring data of exterior deformation were compared with those from the traditional autoregressive integrated moving average model. The results show that, with a significant spatial autocorrelation coefficient, the spatial autoregressive model is more accurate than the traditional model in prediction of slope deformation, and that, compared with the traditional model, the spatial autoregressive model has more concise parameters, considers the factors more comprehensively, and can perform displacement prediction at different monitoring points at the same time.

spatial econometrics; spatial autoregressive model; reservoir slope; slope deformation prediction; autoregressive integrated moving average model

10.3876/j.issn.1000-1980.2017.02.002

2016-06-13

秦棟(1986—)，男，山東萊州人，博士研究生，主要從事水工結(jié)構(gòu)安全監(jiān)控研究。E-mail：qind@dteg.com.cn

TV698.1

A

1000-1980(2017)02-0104-05