尚 麗

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215104)

MATLAB仿真在一階RC電路響應(yīng)教學(xué)中的應(yīng)用

尚 麗

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215104)

一階RC電路響應(yīng)包括零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)以及全響應(yīng)等內(nèi)容。分析一階RC電路的理論前提是必須熟練掌握電路的過(guò)渡過(guò)程、換路定律及初始值的確定等，但是這些理論內(nèi)容較為抽象，在教學(xué)中不易為高職院校的學(xué)生理解和掌握。為了使學(xué)生易懂易學(xué)，對(duì)一階RC電路的動(dòng)態(tài)響應(yīng)引入MATLAB仿真技術(shù)，選擇不同的電阻和電容參數(shù)對(duì)響應(yīng)波形進(jìn)行分析，從而使學(xué)生對(duì)一階RC電路響應(yīng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程有直觀上的認(rèn)知，有助于更好地理解理論內(nèi)容，在實(shí)際教學(xué)中取得較好的效果。

一階RC電路；動(dòng)態(tài)時(shí)域分析；零輸入響應(yīng)；零狀態(tài)響應(yīng)；全響應(yīng)；MATLAB仿真

電路中含有電容(capacitance，C)、電感和開(kāi)關(guān)時(shí)，由于開(kāi)關(guān)的動(dòng)作或者某些參數(shù)的改變時(shí)，電路不會(huì)立即達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，而是有一個(gè)過(guò)渡過(guò)程，這種過(guò)程非常短暫，也稱為動(dòng)態(tài)過(guò)程，此時(shí)電容和電感就稱為動(dòng)態(tài)元件[1-3]。而當(dāng)電路中只含有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件時(shí)，稱電路為一階電路。典型的一階RC電路就是電路中僅含有一個(gè)電容和一個(gè)電阻(resistance，R)。在穩(wěn)態(tài)直流電路中，電容被視為開(kāi)路，而一階RC電路中，電容則表現(xiàn)出動(dòng)態(tài)的電壓和電流特性，電路的分析需要根據(jù)有無(wú)外部激勵(lì)(輸入電源)、電容的初始儲(chǔ)能情況和開(kāi)關(guān)的動(dòng)作情況進(jìn)行討論，涉及換路定律、動(dòng)態(tài)元件初始值的確定、整個(gè)電路的零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、全響應(yīng)、微積分特性、三要素方法等[3-5]，理論內(nèi)容較為抽象、復(fù)雜，對(duì)高職院校的大一新生來(lái)說(shuō)，接觸到高中學(xué)習(xí)階段沒(méi)有任何知識(shí)儲(chǔ)備的新內(nèi)容，很難理解一階RC電路的工作過(guò)程。為了使學(xué)生更好地理解和掌握一階RC電路，在教學(xué)中引入MATLAB仿真技術(shù)[6-9]，在扼要的理論分析的基礎(chǔ)上，考慮不同的R、C的參數(shù)設(shè)定，對(duì)電路的響應(yīng)過(guò)程給出了直觀的仿真波形和分析說(shuō)明，使學(xué)生在感官上和視覺(jué)上對(duì)一階RC電路的動(dòng)態(tài)過(guò)程和微積分特性能更好地理解，從而能夠更好地掌握該電路的理論工作過(guò)程。該方法已在實(shí)際課堂教學(xué)過(guò)程中取得了較好的效果。

1 換路定律和初始值的確定

對(duì)含有動(dòng)態(tài)元件的電路，當(dāng)電路中突然發(fā)生變化時(shí)，如電路的接通、關(guān)斷、電路元件參數(shù)的改變、電路連接方式的變化等，就會(huì)產(chǎn)生換路。但是在換路的瞬間，根據(jù)能量守恒定律，動(dòng)態(tài)元件中的儲(chǔ)能不能突然產(chǎn)生變化，因此電容元件兩端的電壓和電感元件中流過(guò)的電流不能突變，這個(gè)結(jié)論稱為換路定律[10-11]，研究的重點(diǎn)則是換路之后電路的動(dòng)態(tài)過(guò)程。設(shè)電容的端電壓為uc，電感中流過(guò)的電流為iL；把換路的瞬間作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)t=0，換路前的最后瞬間記為t0-=0，換路后的最后瞬間記為t0+=0，則對(duì)電容元件而言，其換路定律表示為Uc(0+)=Uc(0-)；對(duì)電感元件而言，其換路定律表示為iL(0+)=iL(0-)。

電路的初始值就是換路后t0+=0時(shí)刻的電壓和電流值。動(dòng)態(tài)元件的初始值可以按照換路定律來(lái)確定，稱為獨(dú)立初始值；其他可以躍變的初始值根據(jù)獨(dú)立初始值、基爾霍夫電壓和電流定律、歐姆定律來(lái)確定，稱為相關(guān)初始值或非獨(dú)立初始值。在實(shí)際教學(xué)中，為便于學(xué)生理解，具體求解初始值的步驟歸納如下：

1) 換路前，即t0-=0時(shí)，電路被視為穩(wěn)態(tài)電路，電容視為開(kāi)路，電感視為一根導(dǎo)線，然后求出動(dòng)態(tài)元件的Uc(0+)、Uc(0-)；

2) 換路后，即t0+=0時(shí)，根據(jù)換路定律得到動(dòng)態(tài)元件Uc(0+)=Uc(0-)、iL(0+)=iL(0-)；

3) 動(dòng)態(tài)元件的等效。電容元件用理想的電壓源Us替代，Us=Uc(0+)；電感元件用理想的電流源is替代，is=iL(0+)；

4) 畫出t0+=0時(shí)刻的等效電路。如果Uc(0+)=0，則理想電壓源被短路(相當(dāng)于電容被短路)；如果iL(0+)=0，則理想電流源被斷路(相當(dāng)于電感被開(kāi)路)；

5) 利用基爾霍夫定律、電壓源等效、電流源等效等方法求解t0+=0時(shí)對(duì)應(yīng)的等效電路，求出電路中各元件的初始值。

在動(dòng)態(tài)電路中，僅對(duì)電容的端電壓和電感中的電流使用換路定律，使得Uc(0+)=Uc(0-)，iL(0+)=iL(0-)。而電容中的電流和電感的端電壓并不能使用換路定律，即ic(0+)≠ic(0-)、UL(0+)≠UL(0-)。一階RC電路中，僅考慮電容的換路。

2 一階RC電路零狀態(tài)的響應(yīng)及仿真

2.1 理論分析

本文應(yīng)用一階RC串聯(lián)電路來(lái)分析電路的零狀態(tài)響應(yīng)，電路如圖1所示。如果換路前電容元件沒(méi)有儲(chǔ)能，即Uc(0-)=0，此時(shí)由電壓激勵(lì)所產(chǎn)生的電路的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。分析一階RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)實(shí)際上是分析電容的充電過(guò)程。在圖1中，設(shè)開(kāi)關(guān)S閉合之前電容無(wú)儲(chǔ)能，即Uc(0-)=0；則開(kāi)關(guān)S閉合后，即換路后的t0+時(shí)刻，Uc(0+)=Uc(0-)=0；則根據(jù)初始值的確定步驟4)，t0+對(duì)應(yīng)的等效電路中，電容被短路，如圖1b所示；而當(dāng)在換路后再達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，即時(shí)，電容上的終值為，而根據(jù)三要素求解方法，同時(shí)考慮電路中電阻和電容的關(guān)聯(lián)參考方向，電容兩端電壓在充電過(guò)程中的計(jì)算公式為

圖1 一階RC串聯(lián)零狀態(tài)響應(yīng)電路及其換路后等效電路

把電容的初始值和終值代入式(1)，則得到電容的端電壓及其電流為

式中：Uc(t)的第一項(xiàng)Us為穩(wěn)態(tài)值，稱為穩(wěn)態(tài)分量；第二項(xiàng)隨著時(shí)間按照指數(shù)規(guī)律衰減到0，存在過(guò)渡過(guò)程，稱為暫態(tài)分量。因此，Uc(t)是由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量疊加而成。

2.2 仿真分析

根據(jù)一階RC電路零狀態(tài)響應(yīng)的理論分析計(jì)算公式(2)，采用MATLAB語(yǔ)言對(duì)主要討論的物理量進(jìn)行編程，具主要代碼為：初始化參數(shù)R=2，C=0.5，Us=50；橫坐標(biāo)時(shí)間軸的取值范圍(μs)t=0：0.1：10；電容充電時(shí)間常數(shù)(μs)τ=R*C；電容電壓值Uc=Us-Us*exp[(-1)*t/τ]；電阻和電容的電流值ic=(Us./R)*exp[(-1) *t/τ]；電阻的端電壓值Ur=ic*R；電容的功率Pc=ic*Uc；電阻的功率Pr=ic*Ur。這里初始化參數(shù)設(shè)置電壓源Us為50 V，電阻R為2 ?，電容C為1 μF。由于R、C串聯(lián)，則R和C中的電流相同，二者對(duì)電壓源進(jìn)行分壓。因此代碼中的ic參數(shù)即是電阻中的電流大小。代碼中加入繪圖命令plot及其線條顏色、粗細(xì)的設(shè)置、xlabel和ylabel命令對(duì)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)單位的設(shè)置，然后運(yùn)行代碼得到的仿真波形如圖2所示。觀察圖2中波形，顯然，在開(kāi)關(guān)閉合的瞬間，電容進(jìn)行充電，存儲(chǔ)能量，而電流ic隨著時(shí)間的增加進(jìn)行衰減；電阻兩端的電壓和功率波形變化情況和電流ic一致，也是一個(gè)衰減變化的過(guò)程。而每一種波形在t/RC＞3以后都趨于穩(wěn)態(tài)，此時(shí)可以認(rèn)為充電過(guò)程基本結(jié)束；而在穩(wěn)態(tài)時(shí)，電容端電壓為電源電壓值，ic為0，電阻端電壓為0，顯然，仿真波形變化情況和理論分析一致。

在上述代碼中，僅僅改變電容的參數(shù)(即改變?chǔ)?RC的值)，令C=100 μF，則t=200 μs，則t＜τ，運(yùn)行程序得到的仿真結(jié)果如圖3所示。顯然，不能觀察到電容和電阻上的物理量都趨于穩(wěn)態(tài)時(shí)的變化情況。因此，在仿真時(shí)要注意仿真時(shí)間t和充電時(shí)間τ的比例關(guān)系。在實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)中，一般保證選取t≥5τ。

圖2 一階RC電路零狀態(tài)響應(yīng)的相關(guān)物理量的波形（τ=RC=1 μs，t≥τ， 快速充電）

圖3 一階RC電路零狀態(tài)響應(yīng)的相關(guān)物理量的波形（τ=RC=200 μs，t＜τ，充電時(shí)間長(zhǎng)）

3 一階RC電路的零輸入響應(yīng)及仿真

3.1 理論分析

在一階RC動(dòng)態(tài)電路中，如果動(dòng)態(tài)元件在換路前已儲(chǔ)能，則即使在換路后電路中沒(méi)有激勵(lì)源存在，電路中仍會(huì)有電流和電壓存在。通常把這種沒(méi)有獨(dú)立源作用，僅僅由儲(chǔ)能元件初始儲(chǔ)能所引起的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)。典型的一階RC電路零輸入響應(yīng)的電路原理如圖4a所示。而分析一階RC電路的零輸入響應(yīng)實(shí)際上分析電容的放電過(guò)程。在開(kāi)關(guān)閉合前，電容已儲(chǔ)能，令Uc(0-)=Uc；當(dāng)開(kāi)關(guān)閉合后，根據(jù)換路定律，Uc(0+)=Uc(0-)=Uc；根據(jù)初始值確定的步驟，在t0+時(shí)刻的等效電路圖如圖4b所示(電容被一個(gè)理想電壓源替代，大小即為Uc，此時(shí)電流ic(0+)=Uc/R；換路后達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)時(shí)，電容開(kāi)路，即當(dāng)。根據(jù)三要素公式(1)和電容的動(dòng)態(tài)電壓電流關(guān)系，則此時(shí)電容的端電壓和電流計(jì)算為

圖4 一階RC串聯(lián)零輸入響應(yīng)電路及其換路后等效電路

在電阻不變時(shí)，由于放電時(shí)間常數(shù)τ=RC，電容值越大，則初始儲(chǔ)能就越大，放電時(shí)間τ就越長(zhǎng)；當(dāng)電容不變，電阻增大時(shí)，放電電流ic(t)減少，放電的時(shí)間也加長(zhǎng)。因此，時(shí)間常數(shù)τ越大，電容放電越慢，過(guò)渡過(guò)程或者動(dòng)態(tài)過(guò)程就越長(zhǎng)。

3.2 仿真分析

根據(jù)一階RC電路零輸入響應(yīng)的理論分析計(jì)算公式(3)，對(duì)主要討論的物理量進(jìn)行MATLAB編程，其主要代碼為：初始化參數(shù)R=2，C=0.5，Uc=50；橫坐標(biāo)時(shí)間軸的取值范圍(μs)t=0：0.1：10；電容充電時(shí)間常數(shù)(μs)τ=R*C；電容電壓值Uc1=Uc*exp[(-1)*t./τ]；電阻和電容電流值ic1=(-1)*(Uc1./R)*exp[-1)*t./τ]；電阻的端電壓值Ur1=ic1*R；電容的功率Pc1=ic1*Uc1；電阻的功率Pr1=i2c1*r1。

同一階RC電路零狀態(tài)響應(yīng)仿真一樣，在程序中加入畫圖和設(shè)置縱橫坐標(biāo)指令，運(yùn)行程序得到的仿真波形如圖5所示。觀察電容放電波形，其按照指數(shù)規(guī)律進(jìn)行衰減。由于選擇的電容值較小，滿足t≥RC，因此電容放電速度很快，在t＞3RC=3以后電容的端電壓衰減到0，基本認(rèn)為放電過(guò)程結(jié)束。在電容放電的過(guò)程中，電容的電流值快速衰減到0。因?yàn)殡娮韬碗娙荽?lián)，所以二者的電流波形變化一致，只是縱坐標(biāo)不同。

保證電阻和其他參數(shù)不變，僅改變電容值進(jìn)行仿真分析。令電容C=100 μF，即τ=200 μs時(shí)，得到的仿真結(jié)果如圖6所示。觀察電容和電阻的電壓和電流波形，可以看到在給定的仿真時(shí)間范圍內(nèi)，不能觀察到完整的放電過(guò)程，即此時(shí)電路的過(guò)渡過(guò)程長(zhǎng)，和理論分析一致。參照?qǐng)D5中的參數(shù)選擇，保證電容和其他參數(shù)不變，僅僅增加電阻的值進(jìn)行仿真分析時(shí)，時(shí)間常數(shù)τ也增加，放電過(guò)程也延長(zhǎng)，得到的仿真波形形狀和分析結(jié)果和圖6是一致的，這里不再贅述。所得到的仿真波形變化趨勢(shì)和理論分析結(jié)果是一致的。

圖5 一階RC電路零輸入響應(yīng)的相關(guān)物理量的波形（τ=RC=1 μs，t≥τ，快速放電）

圖6 一階RC電路零輸入響應(yīng)的相關(guān)物理量的波形（τ=RC=200 μs，t＜τ，放電時(shí)間長(zhǎng)）

4 一階RC電路的全響應(yīng)及仿真

4.1 理論分析

由動(dòng)態(tài)儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能和獨(dú)立電源(激勵(lì))共同作用引起的電路響應(yīng)稱為全響應(yīng)，即全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加，典型的一階RC全響應(yīng)電路如圖7所示。在開(kāi)關(guān)S閉合前，電容已儲(chǔ)能，設(shè)令Uc(0-)=U0；當(dāng)開(kāi)關(guān)閉合后，根據(jù)換路定律，則有Uc(0+)=Uc(0-)=U0；那么在t0+時(shí)刻的等效電路圖如圖7b所示(電容被一個(gè)大小為U0理想電壓源替代)，此時(shí)電路中的電流為。當(dāng)t →t∞最終達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)時(shí)，電容開(kāi)路，，則根據(jù)三要素公式和電容的動(dòng)態(tài)歐姆定律，電容的端電壓和電流計(jì)算為

圖7 一階RC串聯(lián)全響應(yīng)電路及其換路后等效電路

根據(jù)式(4)中電壓的表示式，可知Uc(t)=由電容的初始儲(chǔ)能U0和外部激勵(lì)Us組成。其第一項(xiàng)Uc'由Us決定，而且Uc'長(zhǎng)期存在，是一個(gè)強(qiáng)制分量，當(dāng)換路后電路達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)時(shí)，該項(xiàng)即是穩(wěn)態(tài)分量；第二項(xiàng)Uc"只存在過(guò)渡過(guò)程中，當(dāng)電路達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)時(shí)該項(xiàng)就為0，因此該項(xiàng)稱為暫態(tài)分量。

4.2 仿真分析

根據(jù)一階RC電路全響應(yīng)的理論分析計(jì)算公式(4)，采用MATLAB對(duì)主要的物理量進(jìn)行編程，其主要代碼如下：初始化參數(shù)R=2，C=0.5，Us=100，U0=50；橫坐標(biāo)時(shí)間軸的取值范圍(μs)τ=0：0.1：10；電容充電時(shí)間常數(shù)(μs)τ=R*C；電容電壓值Uc2=Us+(U0-Us)*exp[(-1)* t/τ]；電阻和電容電流值ic2=[(Us-U0)./R] *exp[(-1)*t/τ]；電阻的端電壓值Ur2=ic2*R；電容的功率Pc2=ic2*Uc2；電阻的功率Pr2=ic2*Ur2。

運(yùn)行上述代碼(τ=RC=1 μs)得到的仿真波形如圖8所示。觀察電容電壓的仿真波形，在換路前電容初始電壓為50 V(即有初始儲(chǔ)能)，換路后達(dá)到新穩(wěn)態(tài)時(shí)，電容兩端的電壓大小為外部激勵(lì)值100 V。而在過(guò)渡過(guò)程中，電容按照指數(shù)規(guī)律衰減，最終穩(wěn)定時(shí)，電容開(kāi)路，電容中的電流為0。由于電阻和電容串聯(lián)，電阻兩端的電壓波形變化情況和電容電流的波形相同。

圖8 一階RC電路全響應(yīng)的相關(guān)物理量的波形（τ=RC=1 μs，t≥τ ）

另外，根據(jù)“全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)”的關(guān)系，對(duì)一階RC電路全響應(yīng)的電容電壓仿真波形進(jìn)行分解。因?yàn)?，所以參考一階RC電路全響應(yīng)的編程代碼，輔以畫圖命令給出(零狀態(tài)響應(yīng))的仿真波形，如圖9所示。對(duì)照零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的仿真圖形(參見(jiàn)圖2a和圖5a)，顯然，圖9中的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)波形形狀是一致的。

圖9 一階RC電路的全響應(yīng)波形的分解

當(dāng)τ=RC=200 μs時(shí)，仿真時(shí)間變化范圍仍為0～10 μs，則可認(rèn)為t＜τ，此時(shí)對(duì)應(yīng)的仿真波形如圖10所示，顯然，這種情況下，不能看到完全的一階RC全響應(yīng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。

圖10 一階RC電路全響應(yīng)的相關(guān)物理量的波形（τ=RC=200 μs，t＜τ ）

5 結(jié)語(yǔ)

本文主要討論一階RC串聯(lián)電路在動(dòng)態(tài)過(guò)程中的零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和全響應(yīng)的理論分析過(guò)程，在掌握換路定律和各元器件初始值的確定方法的基礎(chǔ)上，采用三要素法給出零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和全響應(yīng)的理論計(jì)算依據(jù)。為了使學(xué)生更直觀地理解這三種響應(yīng)情況下各元件的物理量變化過(guò)程，特別是電容兩端的電壓和電流的變化趨勢(shì)，引入MATLAB仿真軟件，在不同的R和C的參數(shù)配置下，輔以MATAB中的畫圖命令，給出相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和全響應(yīng)的波形。在每一種響應(yīng)情況下，對(duì)比理論分析結(jié)論和仿真波形變化的趨勢(shì)，可知仿真運(yùn)行結(jié)果和理論分析結(jié)論是一致的，從而使學(xué)生對(duì)復(fù)雜的理論知識(shí)有視覺(jué)上的感知，更容易理解電容在抽象的動(dòng)態(tài)過(guò)程中的整個(gè)充放電過(guò)程。在實(shí)際教學(xué)中，結(jié)合三種響應(yīng)波形來(lái)講述教材中相應(yīng)的理論內(nèi)容，學(xué)生很容易理解。該教學(xué)方法同樣適用于學(xué)習(xí)一階或者二階RC并聯(lián)電路、電阻和電感串并聯(lián)電路，近兩年應(yīng)用于實(shí)際教學(xué)中，已取得較好的教學(xué)效果。

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(責(zé)任編輯：沈鳳英)

The Application of MATLAB Simulation in Teaching Dynamic Response Analysis of RC Circuit with One Order

SHANG Li

(School of Electronic Information Engineering，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

The RC circuit with one order contains zero input response， zero state response，complete response and so on. The theoretical premise of this circuit analysis is that students must have a good command of this circuit’s process of transition， the law of switching and the definition of initial value and so on. However， these theoretical contents are very abstract and are difficult to understand and master for students in vocational colleges. To help students understand better and learn it more easily， the MATLAB simulation technique is introduced into the dynamic response analysis of the RC circuit with one order in the teaching process. In the simulation process，different parameters of resistance and capacitance are selected to anglicize the response waves. Thus，students can obtain directly visual perception of the dynamic response process of RC circuit so as to help students comprehend better theoretical contents. In practical teaching，this method has obtained better teaching efficiency.

one order RC circuit；dynamic time analysis；zero input response；zero state response；complete response；MATLAB simulation

TP391.1

A

1008-5475(2017)01-0071-08

10.16219/j.cnki.szxbzk.2017.01.016

2016-09-14；

2016-10-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61373098)

尚 麗(1972-)，女，安徽碭山人，教授，博士，主要從事人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模式識(shí)別、數(shù)字圖像處理研究。

尚麗.MATLAB仿真在一階RC電路響應(yīng)教學(xué)中的應(yīng)用[J].蘇州市職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，28(1)：71-78.