深圳中考之最值歸納

廣東省深圳市龍崗區(qū)龍城初級中學(xué)(518100) 杜春聯(lián) ●

深圳中考之最值歸納

廣東省深圳市龍崗區(qū)龍城初級中學(xué)(518100) 杜春聯(lián) ●

在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常會遇到求最值的問題，這也是學(xué)生感覺比較難處理的問題，甚至很多學(xué)生無從下手，原因是對問題的基本模型不了解，如果把無關(guān)緊要的東西都去掉，讓題目原形畢露，回到最基本的數(shù)學(xué)模型，問題就容易解決了，突破口是線段公理及其推論即兩點(diǎn)間線段最短和三角形的兩邊之和大于第三邊，以下是深圳中考幾種常見的最值類型．

深圳;數(shù)學(xué)中考;最值

一、基本模型一 兩定點(diǎn)在定直線同側(cè)，求兩線段和的最小值

已知A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小．

分析 根據(jù)對稱性先找到點(diǎn)P然后根據(jù)線段公理證明最小值．作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'，連接A'B交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)PA+ PB的值最?。蓪ΨQ性可知PA=PA'，∴PA+PB=PA'+?PB=A'B．

如果在直線l上還存在一點(diǎn)P'，則

P'A+P'B=P'A'+P'B＞A'B．∴當(dāng)A'，P，B三點(diǎn)在一條直線上，使PA+PB的值最?。?/p>

例題分析

1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2，－2)，B(4，2)兩點(diǎn)，P是直線x=1上的動點(diǎn)，則PA+PB 的值最小是___．

分析 兩定點(diǎn)在定直線同側(cè)，求兩線段和的最小值，屬于基本模型一．

2．如圖2，MN是半徑為1的圓O的直徑，點(diǎn)A在圓O上，∠AMN=30°，B為弧AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動點(diǎn)，則PA+PB 的最小值為___．

分析 兩定點(diǎn)在定直線同側(cè)，求兩線段和的最小值，屬于基本模型一．

如圖3所示，A與A'關(guān)于MN對稱，連接A'B交MN于點(diǎn)P，則PA+PB=PA'+PB=A'B．

∵∠AMN=30°，B為弧AN的中點(diǎn)，∴∠BON=30°∠A'ON=∠AON=60°，∴∠A'OB=90°．由勾股定理可，得:

二、基本模型二 兩定點(diǎn)在定直線同側(cè)，求兩線段差的最大值

PA－PB =AB，此 時(shí)PA－PB的值最大，這類題在深圳中考出現(xiàn)的機(jī)率少一點(diǎn)．

三、基本模型三 兩定點(diǎn)在定直線兩側(cè)，求兩線段差的最大值

已知如圖4，A、B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使的值最大．

利用對稱性，把模型三轉(zhuǎn)換成模型二，過B點(diǎn)作關(guān)于直線 l的對稱點(diǎn) B'點(diǎn)，連接 AB'交直線 l于點(diǎn) P，則

例題分析 如圖6，梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC，且BE⊥CD于E，P是BE上一動點(diǎn)P，若BC=6， CE=2DE，則的最大值是 ．

分析 A、C兩點(diǎn)在直線BE的兩側(cè)，在直線BE上找一點(diǎn)P，使的值最大，與模型三相同，因此要先找期中一個點(diǎn)關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)，再把對稱點(diǎn)和另一個點(diǎn)連接起來與直線BE相交即可求出．

因?yàn)橐阎獥l件中BE⊥CD，所以考慮作C點(diǎn)關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)F，連接AF，則就是所求的．

變式 如圖8，拋物線y=x2－2x－3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，若直線PE為拋物線的對稱軸，拋物線與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)M、Q為直線PE上動點(diǎn)．

(1)在對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使三角形ADM的周長最小?若存在，求出這個最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)，若存在，請說明理由．

分析 (1)三角形ADM的周長=AD+DM+MA符合基本模型一，兩頂點(diǎn)在定直線同側(cè)，在直線上找一個點(diǎn)，使得到兩個定點(diǎn)的距離之和最小．即作D點(diǎn)關(guān)于PE的對稱點(diǎn)D1，連接AD1交PE于點(diǎn)M，三角形ADM的周長=AD+DM+MA =AD+AD1取值最?。?/p>

四、基本模型四

已知一個定點(diǎn)兩條定直線，在直線上找兩個點(diǎn)使得定點(diǎn)到兩動點(diǎn)的距離之和最?。?/p>

如圖9，已知∠A和這個角內(nèi)的已知點(diǎn)P，求作直線BC交∠A的兩邊于B、C，使△PBC的周長最小．

分析 分別作點(diǎn)P關(guān)于角兩邊的對稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2交角兩邊于B、C兩點(diǎn)，則△PBC的周長=PC+CB+BP =P2C+CB+BP1=P1P2．如果還存在另外兩點(diǎn)C1，B1，則△PB1C1周長=PC1+C1B1+B1P=P2C+C1B1+B1P1＞P1P2，所以△PBC周長的最小值為P1P2．

變式分析 如圖11，拋物線y =x2－2x－3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，直線l與拋物線交于點(diǎn)A、C，其中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，若直線PE為拋物線的對稱軸，拋物線與y軸交于點(diǎn)D，直線AC與y軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)M為直線PE上一動點(diǎn)，則在x軸上是否存在一點(diǎn)N，使四邊形DMNQ的周長最小?若存在，求出這個最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

分析 四邊形DMNQ的周長最小，因?yàn)镈Q是定值，所以要四邊形DMNQ的周長最小，則DM+MN+NQ+QD的值最小作Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Q1，D，C剛好關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接Q1C分別交x軸及對稱軸于點(diǎn)N、M，則NQ=NQ1，MD=MC，所以四邊形DMNQ的周長=DM+MN+NQ+QD=CM+MN+NQ1+QD=Q1C+QD取最小值．

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