看似無(wú)“圓”卻有“圓”
——輔助圓巧解直線型問(wèn)題

湖北省宜城城關(guān)中學(xué)(441400)) 李繼蕓 ●

看似無(wú)“圓”卻有“圓”
——輔助圓巧解直線型問(wèn)題

湖北省宜城城關(guān)中學(xué)(441400)) 李繼蕓 ●

近幾年的中考題中出現(xiàn)了一種純直線型幾何題，但是利用直線型知識(shí)解答此類問(wèn)題過(guò)于繁瑣，甚至無(wú)法找到解題的思路和途徑．遇這類問(wèn)題我們要另辟蹊徑，仔細(xì)分析題意，挖掘與圓的巧妙聯(lián)系輔助于圓，便可化繁為簡(jiǎn)，化難為易，從而“圓”滿地解決問(wèn)題．

一、利用圓的定義作輔助圓

例題1 如圖1，AB=AC=AD且∠CAD=76°，求∠CBD的度數(shù)．

解析 由AB=AC=AD，易聯(lián)想到圓的定義畫(huà)輔助圓，可知點(diǎn)B、C、D在以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上．從而依據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心的角的一半即可求解．

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)遇到有公共端點(diǎn)的幾個(gè)條線段等長(zhǎng)時(shí)，通?？筛鶕?jù)圓的定義，以公共端點(diǎn)為圓心，等長(zhǎng)的線段為半徑構(gòu)造輔助圓，利用圓的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題．

二、利用直徑所對(duì)的圓周角是直角構(gòu)造輔助圓

例題2 如圖2，△ABC中AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，求證:∠DME=2∠CAD．

解析 以點(diǎn)M為圓心，AM為半徑作⊙M，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證:AM=EM=DM =BM，所以A、E、D、B四點(diǎn)在⊙M上．利用同弧所對(duì)的圓周角(∠CAD)等于圓心角(∠DME)的一半即可求解．

例題3 拋物線y=ax2+bx－2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，0)B(4，0)交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P(m，n)在拋物線上，

(1)求拋物線解析式和頂點(diǎn)N的坐標(biāo);

(2)當(dāng)∠APB為鈍角時(shí)，求 m的取值范圍．

點(diǎn)評(píng) 遇到有公共斜邊的兩個(gè)直角三角形(直角可以在公共邊的同側(cè)或是異側(cè))的情況都可以利用直徑所對(duì)的圓周角是直角構(gòu)造輔助圓來(lái)解決問(wèn)題．

三、利用同(等)弧所對(duì)的圓周角等于其所對(duì)的圓心角的一半構(gòu)造輔助圓

例題4 在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(4，0)，B(－6，0)，點(diǎn)C是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA=45°時(shí)，點(diǎn)C 的坐標(biāo)是___．

解析 點(diǎn)C在y軸的正半軸上時(shí)，作△ABC的外接圓 O'．易得∠AOB=90°，則O'D=5，O'A=O'C

在Rt△O'FC中利用勾股定理可求出CF=7，因此得OC=12，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，12)．

再利用對(duì)稱性可求出當(dāng)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上時(shí)點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，－12)．

點(diǎn)評(píng) 作三角形的外接圓利用同弧所對(duì)的圓周角等于其所對(duì)的圓心角的一半，實(shí)現(xiàn)角的關(guān)系轉(zhuǎn)化，利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決直線型問(wèn)題可以起到事半功半的效果．

四、利用對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四點(diǎn)共圓構(gòu)造輔助圓

例題5 如圖矩形ABCD的對(duì)角線BD、AC相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC交AB于點(diǎn)E，若BC=4，△AOE的面積為6，則cos∠BOE =___．

解析 連接CE，由OE為線段AC的垂直平分線證得AE=CE．由OA=OB易證△AOE的面積等于△COE的面積，故得△ACE的面積為12．因?yàn)椋訟E=CE=6．

由∠COE+∠CBE=180°則可證點(diǎn)O、E、B、C四點(diǎn)共圓，因此可證∠BOE=∠BCE，所以

點(diǎn)評(píng) 求銳角三角函數(shù)值，通常需要將已知角轉(zhuǎn)化到直角三角形中．利用對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四點(diǎn)共圓構(gòu)造輔助圓，利用同弧所對(duì)的圓周角相等實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化是常用的方法之一．

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