明道，優(yōu)術(shù)

【摘要】從理解教材知識編排順序、理解學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、理解命題技術(shù)及變式教學(xué)的角度對數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行研究，指明中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)明研究數(shù)學(xué)之道，明數(shù)學(xué)教學(xué)之道，優(yōu)數(shù)學(xué)教學(xué)之術(shù)。

【關(guān)鍵詞】理解教材 理解學(xué)生 理解命題技術(shù) 變式教學(xué)

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）06-0255-02

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)做到“明道，優(yōu)術(shù)”。明道，即把握研究數(shù)學(xué)的規(guī)律，把握數(shù)學(xué)教學(xué)的規(guī)律。優(yōu)術(shù)，即優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的方法。

一、理解教材，明研究數(shù)學(xué)之道

教材是中學(xué)教師研究數(shù)學(xué)的素材。從教材對教學(xué)知識的編排順序中，能夠看出研究數(shù)學(xué)的方法。中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生理解教材，把握研究數(shù)學(xué)的規(guī)律，對學(xué)生的問題解決能力的提升大有裨益。

以初中平面幾何中三角形的教材編排為例，教材從線段、射線、直線、余角、補(bǔ)角、對頂角、平行、垂直講起，為后續(xù)研究三角形作鋪墊。構(gòu)成三角形的要素有：邊、角、三角形內(nèi)部、三角形外部。兩點(diǎn)之間線段最短公理是研究三角形三邊關(guān)系的理論基礎(chǔ)。在研究三角形的內(nèi)角和為π時(shí)，添設(shè)平行線，利用平行線的性質(zhì)是證明該問題的關(guān)鍵。理解三角形內(nèi)角和為π后，作一般化思考n邊形的內(nèi)角和。將n邊形割成（n-2）個(gè)三角形，得到其內(nèi)角和為（n-2）π，該教學(xué)過程體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想。三角形按角分，可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。觀察可知：一個(gè)三角形中最多有一個(gè)鈍角，其證明方法為反證法。由對內(nèi)角的研究，自然想到其外角，三角形的每一個(gè)外角都與其相應(yīng)的內(nèi)角互為補(bǔ)角。將內(nèi)角和看成整體，則外角和為nπ-（n-2）π=2π，運(yùn)算過程體現(xiàn)整體思想。在邊、角研究之后，任意取其中三個(gè)要素（AAA，SSA除外）便能確定一個(gè)三角形，可以從“SSS、SAS、ASA、AAS”角度判定?！癝SA”（邊邊角）組合在角為直角或鈍角時(shí)成立，角為直角時(shí)，判定定理描述為“HL”；角為鈍角時(shí)，作銳角所對邊上的高，通過AAS證明小直角三角形全等，進(jìn)而得高相等，再由HL證明大的直角三角形全等是證明鈍角三角形“SSA”成立的關(guān)鍵。確定了三角形后，考慮三角形的內(nèi)部因素：垂直平分線、內(nèi)角平分線、高線、中線。利用線段的軸對稱性可證垂直平分線的性質(zhì)，由HL可得垂直平分線的判定定理。類似地，利用角的對稱性可證角平分線的性質(zhì)，由HL可得角平分線的判定定理。由此，學(xué)生就能理解在此之前學(xué)習(xí)“軸對稱性質(zhì)”以及運(yùn)用邊、角要素判定三角形全等的必要性。理解三角形垂直平分線、內(nèi)角平分線的性質(zhì)與判定定理后，可證三角形三條垂直平分線交于一點(diǎn)、三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，分別為三角形外接圓圓心（外心）和內(nèi)切圓圓心（內(nèi)心），為后續(xù)圓的學(xué)習(xí)作鋪墊。

研究一般三角形的性質(zhì)及判定后，考慮三角形在特殊情形下的性質(zhì)及判定，如等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)及判定。在研究等腰三角形的性質(zhì)后，便可將邊、角聯(lián)系起來，可證一般三角形的性質(zhì)“大邊對大角，大角對大邊”。直角三角形的性質(zhì)及判定，從“角”看，垂直、余角的概念及三角形內(nèi)角和定理可用于研究直角三角形角的關(guān)系；從“邊”看，主要研究勾股定理及其逆定理。其中勾股定理的證明，歐幾里得證法滲透轉(zhuǎn)化思想、加菲爾德證法蘊(yùn)含“算兩次”（富比尼原理）。勾股定理逆定理的證明可通過三角形全等、勾股定理來證明。勾股定理可以看作余弦定理的特例，為后續(xù)研究余弦定理，證明海倫公式埋下伏筆。

二、理解學(xué)生，明數(shù)學(xué)教學(xué)之道

學(xué)生喜歡趣味教學(xué)。在勾股定理證明時(shí)，除歐幾里得證法、加菲爾德證法外，還有其他證法，其中“劉徽割補(bǔ)術(shù)”能夠培養(yǎng)學(xué)生對我國數(shù)學(xué)史的興趣。

學(xué)生需要自主探究。在學(xué)完等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)及判定后，后續(xù)四邊形性質(zhì)及判定的學(xué)習(xí)可借助三角形的有關(guān)性質(zhì)、判定定理進(jìn)行探究；可讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究、討論，教師適當(dāng)引導(dǎo)、點(diǎn)撥即可。

三、理解命題，優(yōu)數(shù)學(xué)教學(xué)之術(shù)

教材是中考試題的發(fā)源地。大部分中考試題源自教材例題、習(xí)題的改編。文《例談試題打磨的九種方法》[1]論述了試題改編、打磨的技術(shù)，可用于優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)。譬如：教材例題對“三角形三條垂直平分線交于一點(diǎn)、三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)”給與了證明。中考復(fù)習(xí)時(shí)，教師可將命題推廣到三角形內(nèi)部類似要素中，設(shè)置變式題組。如：（1）求證：三角形三條高線交于一點(diǎn)；可過三角形三個(gè)頂點(diǎn)作對邊的平行線，并連接交點(diǎn)，在三角形外部組成一個(gè)大三角形，則三角形的高線為其外部大三角形的垂直平分線，而“三角形三條垂直平分線交于一點(diǎn)”教材中已給出證明，該法滲透化歸與轉(zhuǎn)化思想。在學(xué)生理解其數(shù)學(xué)思想、解題思路的基礎(chǔ)上，還可由兩個(gè)垂直想到四點(diǎn)共圓，連接兩條高與相應(yīng)底邊的垂足進(jìn)而求證，亦可通過塞瓦定理求證，拓寬學(xué)生的思維角度。（2）求證：三角形三條中線交于一點(diǎn)；可通過作一組平行線，利用三角形相似和中位線的判定與性質(zhì)定理證明另一組直線平行，判定平行四邊形，再利用其對角線互相平分的性質(zhì)得中點(diǎn)，證得三角形三條中線交于一點(diǎn)。還可通過面積法證明，鍛煉學(xué)生思維品質(zhì)。若問題（1）、（2）兩題用來給高中生鍛煉思維，均可通過坐標(biāo)法、向量法求解。若問題（2）用來給大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生練習(xí)，還可通過德薩格定理逆定理求解，由中位線的性質(zhì)知：兩個(gè)三點(diǎn)形對應(yīng)邊分別平行，即每一組對應(yīng)邊的交點(diǎn)均為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，從而均落在無窮遠(yuǎn)直線上，由德薩格定理逆定理得：對應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，即三角形三條中線交于一點(diǎn)。

如此，理解命題，學(xué)會一題多變地去研究問題、一題多解地去思考問題、一法多用地去歸結(jié)問題，數(shù)學(xué)教學(xué)必將事半功倍。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉蔣巍. 例談試題打磨的九種方法[J]. 文理導(dǎo)航（下旬），2016，No.252（12）：98.