郭成法

（壽寧縣大同小學(xué)，福建 壽寧 355500）

整體思維在混合運(yùn)算教學(xué)中的應(yīng)用
——由一道經(jīng)典問題解答引發(fā)的思考

郭成法

（壽寧縣大同小學(xué)，福建 壽寧 355500）

整體思維是把要解決的問題看作一個(gè)整體，從整體的角度去思考問題的一種思維方式。分析學(xué)生解決經(jīng)典問題的思維，不難看出學(xué)生整體思維的缺失，解決問題思維局限于局部，跳不出框架的限制。文章試從整體思維在混合運(yùn)算教學(xué)中的應(yīng)用，談?wù)勁囵B(yǎng)學(xué)生整體思維能力：整體觀察，巧運(yùn)算；巧判斷；巧綜合；巧添號(hào)；巧算24。

整體思維；混合運(yùn)算；巧運(yùn)算

案例：甲、乙兩人同時(shí)從相距100千米的兩地相對出發(fā)，甲帶的一只狗也同時(shí)出發(fā)，狗以每小時(shí)10千米的速度向乙奔去，遇到乙后立即返回，再向甲奔去，遇到甲后又奔向乙，……就這樣，狗不停地來回奔跑于甲、乙之間，直到甲、乙相遇，狗才停歇。如果甲每小時(shí)行6千米。乙每小時(shí)行4千米，請問：這只狗一共跑了多少千米？

這是一道經(jīng)典的行程中的相遇問題［1］，常被教師們引用做思維訓(xùn)練題，且被津津樂道。據(jù)說我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚小時(shí)候也曾做過這道題，自小就凸顯其與眾不同的抓住本質(zhì)思考問題的整體思維能力。

筆者所在學(xué)校每學(xué)年都有組織數(shù)學(xué)競賽，擬題時(shí)總喜歡把這道題作為壓軸題，試試有多少學(xué)生能透過情節(jié)的糾纏，抓住問題的本質(zhì)，脫穎而出?？v觀每屆五年級(jí)參賽學(xué)生的解答情況，大多數(shù)學(xué)生的思維都指向于考慮狗每次遇到乙或甲時(shí)所奔跑的距離，糾纏于這樣的細(xì)節(jié)上，使得問題變得繁難復(fù)雜而陷入思維的困境，無法走出思維的死胡同，自然就做錯(cuò)了?？上驳氖牵€有小部分學(xué)生能跳出這個(gè)思維的框架，從整體考慮狗所行的時(shí)間就是甲、乙相遇的時(shí)間，從而使復(fù)雜的問題簡單化，輕松獲解，讓人嘆服。先求得狗一共跑了100÷（6+4）=10（小時(shí)），再求狗一共行了 10×10=100（千米）。

這種從整體上考慮問題中數(shù)量關(guān)系的方法，擺脫了糾纏于局部細(xì)節(jié)的制約，跳出局部，從整體出發(fā)，眼界開闊，思路拓寬，有利于洞察問題中整體與局部的關(guān)系，這便是整體思維法，它是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。從學(xué)生的失誤看，他們?nèi)笔У恼沁@種整體思維的方法。整體思維的缺失會(huì)導(dǎo)致審題不清，計(jì)算失誤等不良的解題現(xiàn)象。因此，從思維的全面性來看，加強(qiáng)學(xué)生整體思維能力的培養(yǎng)是非常必要的，其關(guān)鍵在于教師要做個(gè)有心人，把整體思維能力的培養(yǎng)落實(shí)到課堂教學(xué)中，有計(jì)劃、有目的地加以實(shí)施。文章試從整體思維能力在混合運(yùn)算教學(xué)中的應(yīng)用，談?wù)劰P者培養(yǎng)學(xué)生整體思維能力的一些做法。

計(jì)算教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生整體觀察能力的有效載體［2］，尤其是混合運(yùn)算教學(xué)中的習(xí)題，可謂比比皆是，下面列舉數(shù)例分析之：

一、整體觀察，巧運(yùn)算

例1：用遞等式計(jì)算。

1.200-200÷20×5；

2.3.75-1.5-1.5-0.75；

3.830×25+750×83。

這是三步混合運(yùn)算式題，教學(xué)時(shí)先要引導(dǎo)學(xué)生從整體觀察算式的結(jié)構(gòu)，這道題含有幾種運(yùn)算符號(hào)，數(shù)與數(shù)之間有什么關(guān)系，能不能簡便運(yùn)算，運(yùn)用什么原理簡算；不能簡便運(yùn)算的要先算什么，再算什么？其中哪一步可以口算，哪一步要筆算？這樣先從整體上把握算法，避免了學(xué)生看一步算一步，顧此失彼的現(xiàn)象發(fā)生。以第3題830×25+750×83為例，整體觀察算式可知，這是屬于兩積之和的計(jì)算題，符合乘法分配律的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，雖然原式?jīng)]有出現(xiàn)共同乘數(shù)，仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)乘法算式的乘數(shù)830是第二個(gè)乘法算式的乘數(shù)83的10倍。有了這個(gè)倍數(shù)關(guān)系，就可以利用等積變數(shù)的原理，制造出共同乘數(shù)83或830，再運(yùn)用乘法分配律達(dá)到簡算之目的。有了這樣的整體觀察分析，思路明確，為簡便計(jì)算打開了綠色通道，避免了此題按順序計(jì)算的繁雜思路。根據(jù)能應(yīng)用乘法分配律簡便算的算式特點(diǎn)，先對原式進(jìn)行變形，調(diào)整出共同乘數(shù)83或830，即原式=83×250+750×83=83×（250+750）=83000或原式=830×25+75×830=830×（25+75）=83000。一道看似不能簡算的題，運(yùn)用整體思維，分析其數(shù)與數(shù)的關(guān)系，達(dá)到了巧算之目的。

二、整體觀察，巧判斷

例2：不計(jì)算，哪道算式的結(jié)果是最大的。

甲：600-84÷（28×3）

乙：600-84÷28×3

丙：（600-84÷28）×3

例3：不計(jì)算，哪道題的○里應(yīng)填“＜”。

甲：37×14-37×12○37×（14-12）

乙：89-120÷（60-30）○89-120÷60-30

丙：300÷（5×4）+21○300÷5×（4+21）

以上兩組題均要求不計(jì)算，直接根據(jù)算式進(jìn)行判斷，目的是培養(yǎng)學(xué)生的推理能力與數(shù)感。這樣的練習(xí)其實(shí)是培養(yǎng)學(xué)生整體思維的有效載體，因?yàn)樾枰龑?dǎo)學(xué)生從整體觀察算式，才能進(jìn)行分析判斷。如例2，不計(jì)算，哪道算式的結(jié)果是最大的，觀察3道題，每道題的四個(gè)數(shù)、運(yùn)算符號(hào)減、除、乘也一樣，不一樣的只是運(yùn)算順序。整體觀察比較分析可知：甲、乙兩題都是用600減去一個(gè)數(shù)的差，而丙題，是用600減去一個(gè)數(shù)的差再乘3，顯而易見結(jié)果是最大的。再如例3，不計(jì)算，哪道題的○里應(yīng)填“＜”。整體觀察，甲算式是運(yùn)用乘法分配律簡算，結(jié)果相等；乙算式左邊的被減數(shù)89減去的減數(shù)比右邊的被減數(shù)89減去的減數(shù)要小，結(jié)果大；丙算式左邊的被除數(shù)300除以的除數(shù)比右邊被除數(shù)300除以的除數(shù)大，結(jié)果小，所以丙算式的○里應(yīng)填“＜”。教學(xué)時(shí)，可以采用先整體觀察算式，引導(dǎo)學(xué)生猜想結(jié)果，并說出猜想的依據(jù)，再通過計(jì)算驗(yàn)證猜想結(jié)果。這樣的教學(xué)，不僅培養(yǎng)學(xué)生的整體觀察能力，同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生的估算能力與猜想驗(yàn)證能力。

三、整體觀察，巧綜合

例4：把下面每組的算式合并成一個(gè)綜合算式。

78÷39=2 25×2=50 500÷50=10

30-10=20 3×20=60 1200+60=1260

把分步式改寫成綜合式，需要從整體觀察三個(gè)算式，先確定從哪個(gè)算式入手，哪個(gè)數(shù)用算式換，哪里要添括號(hào)。以第1題為例，觀察三個(gè)算式，應(yīng)從算式500÷50=10入手分析，其中除數(shù)50是由25×2得來的，把除數(shù)50換成25×2，算式25×2中的2又是由算式78÷39得來的，把數(shù)2換成算式78÷39，這樣把數(shù)換成算式后是500÷25×78÷39；接著再從整體觀察運(yùn)算順序，根據(jù)分步式，78÷39處要添上小括號(hào)，25×78÷39處要添上中括號(hào)，于是，一道綜合算式500÷[25×（78÷39）]就完成了。

四、整體觀察，巧添號(hào)

例5：在○里填上運(yùn)算符號(hào)，使等式成立。

8○8○8○8○8=1 8○8○8○8○8=2 8○8○8○8○8=3 8○8○8○8○8=4 8○8○8○8○8=5

這道填運(yùn)算符號(hào)的問題，如果不從整體分析，而是一個(gè)一個(gè)去嘗試的話，比較費(fèi)時(shí)，也不是本組題的教學(xué)意圖。先整體觀察，每道題都是5個(gè)8，中間要添上4個(gè)運(yùn)算符號(hào)或括號(hào)，結(jié)果分別等于1、2、3、4、5。以第1小題為例，要使結(jié)果等于1，從最后往回想，因?yàn)?÷8=1，所以把余下的3個(gè)8結(jié)果變成0。這樣從整體的視角來分析判斷，就能比較快地找到解題的思路，從而有效達(dá)成目標(biāo)：（8-8）×8+8÷8=1。其他各題的思路，以此類推。

五、整體觀察，巧算24

例6：算24。

給出4個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)只能用1次，添上運(yùn)算符號(hào)，使結(jié)果為24。如，給出4個(gè)3：3、3、3、3算24。從整體分析判斷，由最后一個(gè)3往回想，24=27-3，把前面3個(gè)3的結(jié)果組成27，而3個(gè)3的積正好是27，于是問題得以解決：3×3×3-3=24。

總之，以上列舉的都是混合運(yùn)算單元教學(xué)的內(nèi)容，這些習(xí)題承載著培養(yǎng)學(xué)生整體思維能力的功能。這些功能不是自然而然就能得以發(fā)揮的，而是需要一線教師要有整體思維的理念和培養(yǎng)意識(shí)，教學(xué)時(shí)，才能自覺挖掘習(xí)題背后承載著培養(yǎng)學(xué)生整體思維能力的功效并加以實(shí)施。正如蘇霍姆林斯基所說的，“不會(huì)閱讀的孩子是潛在的差生”，［3］不會(huì)整體思維的學(xué)生，也是潛在的思維差生。

［1］徐文彬.數(shù)學(xué)“解決問題的策略”的理解、設(shè)計(jì)與教學(xué)［J］.課程·教材·教法，2009（1）.

［2］鄭毓信，多元表征理論與概念教學(xué)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（2-4）.

［3］〔蘇〕蘇霍姆林斯基.給教師的建議［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2004.

陳志華）