作者簡介：王鵬飛（1964—），男，陜西商州人，正高級教師，陜西省教學能手，主要從事中學數(shù)學教育與研究工作.

[摘 要] 在對學生“錯誤觀”調查分析的基礎上，倡導關注“錯誤”對數(shù)學學習的影響，采取積極有效的策略引導學生形成科學的“錯誤觀”，這對數(shù)學學習中的“錯誤”問題進行本源治理具有十分重要的現(xiàn)實意義.

[關鍵詞] 錯誤；錯誤觀；教學對策

教學實踐業(yè)已表明，錯誤率的高低是影響學生數(shù)學學力高低的關鍵因素. 不出錯誤或少出錯誤一直是教師和學生的共同愿望，但數(shù)學學習過程中錯誤的出現(xiàn)卻難以避免. 犯錯誤并不可怕，重要的是如何客觀地認識和對待錯誤，這顯然是一個關乎“錯誤觀”的重要問題.[1]

從學者方面來看，普遍存在不重視錯誤的教益，眼高手低，一聽就懂，一看就會，一做就錯，經(jīng)常性地“看錯、想錯、算錯、寫錯和抄錯”. 部分學生屢錯不改、屢改屢錯的現(xiàn)象較為突出，怕錯、怨錯的不良心態(tài)也時常困擾著學生[1]. 因此，在數(shù)學教學中，采取有效策略引導學生形成科學的“錯誤觀”，對數(shù)學學習中的“錯誤”問題進行本源治理具有十分重要的現(xiàn)實意義.

[?] 關注學生的學習理念，樹立科學的“錯誤觀”

學習方式的轉變是新課程改革的重要理念，是提高學習質量的關鍵. 廣大教師不但要關注學生的全面發(fā)展，關注學生的長期發(fā)展，關注學生發(fā)展的需求，關注學生發(fā)展中的個人尊嚴，還應關注學生的學習理念，關注學生發(fā)展中的富有個性的學習，特別應關注“錯誤”對學生數(shù)學學習的影響，逐步培養(yǎng)學生科學的“錯誤觀”.

《學記》云：“教也者，長其善而救其失也.”這不只是對學生而言，也是對教師而言的. 因此，教師要廣泛宣傳數(shù)學學習中錯誤的價值，提高學生數(shù)學學習的價值觀. 要把握“長善救失，因材施教”的原則，把握以錯施教的有利時機，充分挖掘以錯啟智、以錯啟德、以錯啟美的功能，發(fā)揮錯誤的教育價值[8]. 積極引導學生辯證地認識數(shù)學學習中的錯誤的兩面性、客觀存在性、不可避免性和可轉化性，使學生正確地對待錯誤，并逐步認識到錯誤是正確的先導，錯誤為真理的孕育準備了豐富的養(yǎng)料，錯誤為真理的誕生提供了必要的刺激與激勵. 錯誤是真理發(fā)展的反推力，錯誤是探索真理的指示器. 笛卡爾說：“任何改正都是進步.”承認和修正自己的錯誤，那是站在真理方面與自己的錯誤做斗爭，也是堅持真理的一種表現(xiàn). 要做真理的主人，不要淪為錯誤的奴隸. 鼓勵學生善于發(fā)現(xiàn)錯誤，勇于承認錯誤，及時修正錯誤，有效地利用錯誤，積極預防錯誤，樹立科學的“錯誤觀”.[1]

同時，教師要倡導學生不但要重視數(shù)學學習過程中的正確結果，而且要關注其錯誤的教益；不但要發(fā)揮接受性學習的優(yōu)勢，而且要倡導更為主動、積極的個性化學習方式. 積極引導學生要有不迷信、不盲從的質疑精神，并有信心挑戰(zhàn)老師，“打倒”老師. 倡導學生做到“四敢”：敢想、敢說、敢問、敢笑；“四大”：大膽、大方、大聲、大度. 教師要堅信成功的教學是學生自己學會的，不是教師教的.

[?] 實行開放創(chuàng)新教學，提高學生的創(chuàng)新能力

新課程改革方案特別強調要實行開放創(chuàng)新教學，主要表現(xiàn)為教育在時間、空間、內(nèi)容、方法等方面的進一步拓展：①在時間上表現(xiàn)為教學要從學生未來發(fā)展的需要出發(fā)，在傳授知識的同時，更要側重于學生科學思維方法的獲取和處理信息能力的培養(yǎng)，使學生在離開老師、離開學校以后仍具有獲取知識方法的技能. ②在空間上表現(xiàn)為教學應與社會、生活、實踐、工農(nóng)實際廣泛結合，要從教材內(nèi)向教材外延拓、鏈接，接受有益的信息，拓寬知識視野，增強學生的動手能力. ③在內(nèi)容上表現(xiàn)為通才教育，就是在教學中要加強學科之間的聯(lián)系和滲透，增強綜合性. ④在教學方法上要鼓勵學生不畏師、不惟師、不惟書、不盲從，要敢于大膽質疑.[2]

1. 培育民主的教學氛圍，鼓勵學生挑戰(zhàn)老師

作為教師，特別要關注的是如何適時恰當?shù)亟槿雽W生的活動，盡可能少地去打擾、干涉他們的思考和探索，并充分地為他們提供合作討論、發(fā)表意見的時間和機會，這是課堂教學中文化氛圍營造的一個重要標志. 如果教學只能是一個計劃、一種模式按部就班地進行，學生怎敢越雷池半步？

蘇霍姆林斯基告訴我們：“能夠把少年‘拴在你的思路上，引著他們通過一個個階梯走向知識，這是教育技巧的一個重要特征. ”在教學過程中，借助多種方式和手段創(chuàng)設師生互動的情境，充分展現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，突出學生的主體地位，增強教學的民主性和開放性. 不要把學生當作教學的奴隸，要“有意”讓學生給自己“找麻煩”“挑毛病”，向學生了解他們的喜好，不要顧忌“冷場”或擔心課堂局面可能無法控制. 面對“我不想聽”的挑戰(zhàn)，應首先想到這反映了一個學習者的主體地位不能得到保證時的反判，拒絕被當作一個客觀容器輸入. 孔子曰：“學起于思，思源于疑. ”在課堂教學中，教師要允許學生質疑，不要把學生發(fā)現(xiàn)并指出自己教學中的問題看作是一件尷尬的事，甚至應鼓勵他們敢于“異想天開”. 教師不僅不能求全責備，還應該鼓勵學生敢于突破陳規(guī)，擺脫原有知識范圍和思維定式的禁錮，把頭腦中已有的知識信息進行重組，從而產(chǎn)生創(chuàng)造性的新發(fā)現(xiàn)、新設想，以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力. 瑞士專家皮亞杰強調“教師的工作不是‘教給學生什么，而是努力構建學生的知識結構，并用種種方法來刺激學生的欲望. 這樣，學習對于學生來說，就是一個‘主動參與的過程了”. 要做到這一點，教師只有摒棄封閉的“填鴨式”教學，實行民主的開放式教學，正確處理好以教師為主導、以學生為主體這二者的關系，以各種形式調動、激活學生的思維，才能為全面提高學生的綜合素質創(chuàng)造出良好的條件.

懷特黑德曾說：“畏懼錯誤就是毀滅進步.” 處理錯誤的能力是學習能力的內(nèi)容之一，正確地對待錯誤是樹立創(chuàng)新意識和提高創(chuàng)新能力的保障. 隨著新課程的運行，教師要調整自己的角色，改變傳統(tǒng)的教育方式. 教師要由傳統(tǒng)意義上的知識的傳授者和學生的管理者轉變?yōu)閷W生發(fā)展的促進者和組織者；由簡單的教書匠轉變?yōu)閷嵺`的研究者或研究的實踐者；由教學活動的主角轉變?yōu)閷W生學習的指導者、參與者和促進者. 教師要努力做到“書”讓學生自己讀，“問”讓學生自己提，“果”讓學生自己摘，“情”讓學生自己抒，“話”讓學生自己說，“寫”讓學生自己評；要引領學生“實話實說”“焦點訪談”，在“誤”中“悟”，在“錯”中“磋”，最大限度地讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發(fā)展，在“合作”中增加，在“探究”中創(chuàng)新.

2. 進行“嘗試錯誤”教學，增強學生對錯誤的“免疫力”[3]

美國心理學家桑代克（E.L.Thorndike）的以“刺激反應聯(lián)結”和“試誤”為主要特色的學習理論認為，學習乃一試誤過程. “嘗試錯誤”教學法就是基于此思想而設計的. 它以提高錯誤的教育價值為宗旨，堅持“以錯攻錯、以錯施教、以反顯正”的原則，其基本模式和操作程序如下：

“嘗試錯誤”教學法的實質是，通過暴露學生學習過程中的錯誤，即為學生提供以“錯誤”為源泉的學習反應后刺激，使學生在重新嘗試錯誤中審視、體驗、反思所給予的“刺激”，引起“知錯、改錯、防錯”的良性反應，從而建立起科學穩(wěn)固的刺激反應聯(lián)結.不言而喻，“嘗試錯誤”不是鼓勵和誘導學生重蹈覆轍，而是力圖增強學生對錯誤的“免疫力”. 在操作上可分為局部嘗試和整體嘗試，應通過講解、辯論、競答、討論等多種形式，充分調動學生積極主動地自我嘗試、自我剖析、自我修正、自我反思.

（1）局部嘗試法：就是提供給學生的嘗試素材較單一，但嘗試錯誤分散、及時. 教學時，可通過以下策略設置必要的教學情境，因錯造勢，制造思維沖突，把錯誤間接地暴露給學生，供學生嘗試.

①設置“陷阱”，“誘使”學生得出錯誤；②重蹈學生的“歧路”，有意出現(xiàn)錯誤；③適時引入錯誤，引導學生獨立評析錯誤；④一題多錯，辨別、分析錯誤；⑤創(chuàng)設愉悅情境，寓錯于樂.

（2）整體嘗試法：就是提供給學生的嘗試素材較系統(tǒng)，或一個、幾個知識點的典型錯誤，或一個單元、一個章節(jié)的典型錯誤，面寬量大，綜合性強，嘗試時間集中.

①設計錯誤剖析課，在剖析中嘗試錯誤；②科學設計錯誤辨析題，在習練中嘗試錯誤；③加強診斷測試的總結，在講評中嘗試錯誤.[4]

[?] 充分暴露錯誤的思維過程，積極開展研究性學習

現(xiàn)代數(shù)學教學論認為，數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學. 數(shù)學教學中并存著三種邏輯過程，即教師的教學過程、知識的發(fā)生發(fā)展過程和學生的思維過程. 暴露思維過程，就是如何描述思維過程及其產(chǎn)生的原因[12]. 鑒此，教師要充分關注錯誤的思維過程，以“錯誤”為素材，積極開展研究性學習. 要遵循暴露思維過程的原則，充分暴露學生思維的薄弱環(huán)節(jié)，一方面有利于對癥下藥；另一方面能使學生痛切地、突破性地認識到錯誤之所在，有利于學生在自查自理、自診自治、自思自得中學會合理地調整思維方向，逐步不走或少走歧路. 通常有以下方法可供借鑒[5] ：

（1）點錯反思法：直接把錯誤暴露出來，告知學生思維過程有誤，要求學生在深刻省思中找出錯誤之所在.

（2）設置“陷阱”法：學生在“落入”和“走出”誤區(qū)的過程中嘗到了“陷阱”的滋味，吃塹長智，防御能力倍增.

（3）重蹈“歧路”法：教師可選準時機，有意按照學生的歧路適當出錯，看看學生能否發(fā)現(xiàn)，了解學生的警戒程度.

（4）感知對比法：把學生在解答過程中出現(xiàn)的兩種解法同時公布，進行分析、比較，以辨正誤.

（5）集約辨析法：有些錯誤比較頑固，糾正后還會再犯. 教學中，應融合多種差錯，集中暴露，組織學生積極參與辨析，挖掘致錯根源，降低再錯率.

（6）數(shù)學實驗法：如“實驗幾何”“數(shù)學建模”“數(shù)學實驗室”“數(shù)理綜合課”“數(shù)學活動課”等，通過數(shù)學實驗活動，有助于學生形成良好的數(shù)學經(jīng)驗和意識. 一方面是由于人們對數(shù)學本質的認識發(fā)生了變化；另一方面，依托迅速發(fā)展的計算機技術手段，使得數(shù)學實驗變得更易實施，研究性學習也更加豐富多彩.

當然，“數(shù)學實驗”更多的是思維實驗，這就要求打破常規(guī)，多增加問題的探索層次. 因此，我們的教學要盡可能地還原知識形成的本來面目，在提升問題探索價值方面多下功夫，這也是研究性學習的一個重要課題.[6]

此外，教師可有意識地“笨拙”一點，經(jīng)歷一番磨難之后再找到真經(jīng)，充分把自己在對某個問題的思考中走彎路以及將錯誤的過程毫不掩飾地暴露出來，向學生展示和恢復“研究”的本來面目；或結合數(shù)學史，暴露數(shù)學家挫折、失敗的思維過程，讓學生了解探索的艱辛和反復，體驗研究的氛圍和真諦；或讓學生把自己學習過程中的錯誤整理結集在一起，保留錯誤的思維過程，成為學生犯錯誤思維過程真實記錄的有效載體. 這種長時間的“暴露”能有力地提高學生對錯誤的警戒度.[5]

目前我們的課堂教學普遍存在著這樣三個問題：①學生的活動完全由教師調控和支配，教師可以隨時打斷學生的思考和討論，這樣的活動只是形式上的，是為知識的傳遞服務的，談不上民主，更體現(xiàn)不出主體意識. ②課堂上的提問也是完全在教師的主導之下，以低層次的推理性、記憶性問答為主，目的是檢查學生是否接受了. 而“學問學問，貴在會問”，我們的學生會經(jīng)常向你提問嗎？③課堂的例題講解或習題安排是以“小步、多練、勤反饋”為原則，也是在低層次上反反復復，學生所學到的除了模仿還有什么呢？缺乏個性和創(chuàng)意. 因此，在對錯誤的探究中，一定要堅持立足課堂，讓每一個學生都成為“錯誤”的研究者；體驗“錯誤”，讓每一個學生都成為實踐者；倡導合作，讓每一個學生都成為參與者；突破傳統(tǒng)，讓每一個學生都成為探索者. 學生在了解數(shù)學知識特別是錯誤的思維產(chǎn)生的過程中，體驗數(shù)學研究的過程和創(chuàng)造的激情，提高發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學問題的能力，發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)新精神.[7]

[?] 發(fā)揮錯誤的教育功能，提高“錯誤”的教育價值[8]

數(shù)學作為一種文化，在認識上至少應包括三方面的內(nèi)容：數(shù)學是一種知識體系，數(shù)學是一種研究活動，數(shù)學是具有人文功能的. 既然是一種知識體系，因此就有依托于科學知識之上的科學思想和信仰；既然是一種研究活動，就有貫穿于科學研究活動的科學精神和科學的審美能力；既然具有人文功能，因此就應具有與之相關的科學倫理準則. 從而將科學素質教育與人文素質教育很好地整合起來，使得數(shù)學教育也成為人文素質的教育，并使其內(nèi)化為人的人格、氣質、修養(yǎng)，成為人的相對穩(wěn)定的、也是終身的內(nèi)在的品質. 數(shù)學教育的價值體現(xiàn)在通過數(shù)學的思想和精神提升人的精神生活，培養(yǎng)既有健全的人格，又有創(chuàng)造、懂得生活的人，把傳遞人類文化的價值觀念和倫理道德規(guī)范與傳統(tǒng)數(shù)學知識有機地結合起來，以實現(xiàn)人文教育和數(shù)學教育的整合，這正是素質教育的價值取向，也是數(shù)學教育發(fā)展的必然.

數(shù)學作為探索真理的事業(yè)，還造成一種文化的獨特的人格氣質. 在數(shù)學的探索過程中，數(shù)學家尊重事實、實事求是的求實的精神，勇于堅持真理、敢于懷疑、自我否定的批判精神，勇于創(chuàng)新，為真理而獻身的精神蘊含極其豐富的人文教育價值.[9]

1. 以錯啟智，發(fā)揮錯誤的智育價值

以錯啟智，是錯誤教育功能的核心. 對學生在數(shù)學學習中出現(xiàn)的多種多樣的差錯，教師應有足夠的教學對策，力求避免和消滅它，幫助學生在知錯、改錯、防錯中構筑起自己的知識體系.

（1）針對錯誤設置思維情境，有利于提高學生對錯誤的“免疫力”. ①以錯誤設置懸念，激發(fā)興趣；②以錯誤設置問題，適時質疑；③以錯誤設置矛盾，正誤比較；④以錯誤設置驚詫情境，促其反思；⑤以錯誤設置陷阱，嘗試錯誤.[10]

（2）以錯誤構造錯誤剖析課，有利于強化正效應、遏制負效應.

（3）以錯誤設計辨析題，有利于進行改錯的強化訓練.[4]

2. 以錯啟德，發(fā)揮錯誤的德育價值

以錯啟德，主要是借助錯誤這一思想教育的極好素材，對學生進行“錯誤觀”的形成教育、解題的心理素質教育，良好的學習習慣的養(yǎng)成教育，挫折教育等.

（1）利用錯誤，培養(yǎng)學生科學的“錯誤觀”，這是錯誤轉化整個過程的首要任務. 通過錯誤的有效利用，培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點，使學生辯證地認識“錯誤”：錯誤有使人倒霉的一面，也有使人取得教訓的一面；錯誤認識與正確認識是數(shù)學認知活動中的一對矛盾，它們在一定條件下可以相互轉化；對錯誤既要積極預防，力求做到“未雨綢繆”，又要敢于暴露錯誤、承認錯誤、及時改正，做好“亡羊補牢”的工作；既要創(chuàng)造條件避免和排除錯誤，又要化錯為利，提高對錯誤的“免疫力”.

（2）利用錯誤，提高學生的心理素質. 對學生在數(shù)學學習中表現(xiàn)出的惰性思維和低級的心理素質，要加強積極的歸因訓練，教育學生不能怨錯、怕錯，不然就會削弱知錯、改錯、防錯的意志和探索真理的本能；要不斷地提高學生的心理素質，使學生熱忱向錯誤挑戰(zhàn)，并有能力獨自走出誤區(qū).

（3）利用錯誤，培養(yǎng)學生的責任感、憂患意識和愛國主義精神；利用錯誤，培養(yǎng)學生嚴謹、周密和一絲不茍的學習習慣，培養(yǎng)學生勇于克服困難和善于克服困難，正直、誠實、不輕率盲從的道德品質；利用錯誤的社會學意義，對學生進行挫折教育.

3. 以錯啟美，發(fā)揮錯誤的美育價值

以錯啟美，就是根據(jù)審美教育的特征充分挖掘審美因素，使學生在對審美客體——錯誤的感知、理解、欣賞、評價（知錯、改錯、防錯）中產(chǎn)生美感，在以錯誤設置的審美情境中產(chǎn)生一種愉悅的、傾向性的體驗，自發(fā)產(chǎn)生求知渴望，輕松愉快地從感性向理性過渡，達到審美教育的目的. 在解題教學中，開展解題藝術的鑒賞活動激發(fā)數(shù)學美感. 以錯誤創(chuàng)設審美情境，激發(fā)數(shù)學美感：以錯質疑，激發(fā)數(shù)學美感；立疑設障，激發(fā)強烈美感；適時點撥，激發(fā)較強美感. 利用悖題，追求數(shù)學解題奇異美.

[?] 加強錯誤的評價、診斷與治療，對錯誤進行綜合治理

1. 做好錯誤的科學診斷

在數(shù)學學習過程中，學生在整體或局部上掌握不夠扎實的知識或技能——“缺陷”，涉及知識、技能和各個方面，一般歸因于遺忘，理解偏差，知識的復雜性、靈活性、隱蔽性，定式思維引起的負遷移等，致使學生在后繼學習中表現(xiàn)出不易提取、難以分辨等弱點. 因此，必須集中“缺陷”及時診斷，制定相應“補償”教學，實施矯正訓練. 教學實踐表明，利用精心編制的診斷測試題反饋學生錯誤信息，診斷教與學效果，總結經(jīng)驗，可以強化正確、修正錯誤、找出差距，確定主攻方向，自我完善知識結構，最大限度地減少失誤. 診斷性測試題的編制主要依據(jù)教師平時積累的教學經(jīng)驗、作業(yè)與試卷批改記錄和學生交談情況的“錯誤”信息匯總.[2]

（1）編制診斷測試題的原則.

診斷性測試題是以檢查學生存在的問題為目的、檢查過程著眼未來的檢測. 診斷要準確可靠，有利于學生持續(xù)學習，編制診斷測試題必須堅持三條原則：

①針對性. 教師必須充分了解學生，針對學生學習中容易出錯的問題設計題目，命題者必須能診斷出學生解決問題的缺陷，使得對學生任何一種錯誤的出現(xiàn)教師都能做出正確的分析.

②典型性. 問題的內(nèi)容要有典型性，要巧設陷阱，不露破綻，切中要害.

③迷惑性. 診斷題要有一定的迷惑性，把錯因相似的問題置于同一命題的情境中.

（2）診斷的三個層次

要根據(jù)學生學習過程中不同的錯誤類型，把握診斷的層次性.

①知識診斷. 學生在解決數(shù)學問題時常見的錯誤主要是對知識掌握得不牢固、不全面、不透徹，有的僅從字面上理解概念、公式與定理，遇到具體問題便感到束手無策；有的理解概念不全面，當考查熟悉的方面時得心應手，考查不熟悉的方面時則無從下手，只能盲目作答，靠僥幸取勝；有的對數(shù)學、公式、定理僅停留在教材中介紹的幾個實例上，淺嘗輒止，未能抓住本質做提煉升華，應用已學過的知識解決變式問題時便困難重重；有的注意了知識的共性，卻忽視了知識的特殊性，甚至丟開了知識的適用范圍和條件，時常誤入教師設計的陷阱中. 中學數(shù)學知識方面存在的問題集中表現(xiàn)在以下諸方面：概念含糊，是非混淆；基礎不牢，聯(lián)系不上；挖掘不深，知識貧乏；理解不透，顧此失彼；綜合能力弱，適應能力差；盲用規(guī)律，胡亂遷移；知識零亂，缺乏歸納等. 所以診斷試題必須有利于知識的鞏固和開拓，有利于學生的自我調節(jié)和完善自身的知識結構.

②思維診斷. 正確的思維方法是駕馭知識的法寶. 就思維而言，學生在解決問題時常出現(xiàn)的問題有：考慮不周，掛一漏十；考慮不深，誤入歧途；思維紊亂，表達疏漏；判斷不準，推理不嚴；雙基薄弱，不會分析；思維不活，缺乏機智；思辨不清，誤入圈套；撇開條件，游離題外；忽視學科特點，思維障礙重重；辯證觀不強，方法機械片面等. 所以診斷試題還必須有利于思維能力的培養(yǎng)，并使錯誤的思維方法得以糾正.

③心理診斷.任何錯誤都是有原因的，學生學習過程除知識性、策略性失誤外，還有心理性失誤. 比如有的看題不深入，審題不清楚，被表面現(xiàn)象所迷惑，表現(xiàn)出粗心大意、盲目沖動，一看就偏，抓不住要害；有的受舊知識、老方法的影響，產(chǎn)生負遷移；有的易被題中的氣氛效應所左右；有的心理定式嚴重；有的過分自信；有的焦慮太重，期望過高，心理壓力過大，表現(xiàn)出怯場心理. 凡此種種，都是心理不健全的表現(xiàn). 因此，診斷題還必須有利于根治學生中的不良心理狀況，在訓練中不斷加以“醫(yī)治”.

2. 重視對錯誤的科學評價

對學生學習過程所犯錯誤不能簡單地以“對”或“錯”論之，而應既重視錯誤的最后結果，又不忽視犯錯誤的過程；既重視對錯誤評價的數(shù)量描述，又不忽視對錯誤過程的品質刻畫；既重視對錯誤的靜態(tài)管理，又不忽視對錯誤的動態(tài)調控. 這就要求教師在對錯誤的評價過程中，堅持評價錯誤的兩個指標“品質標志——錯誤觀”與“數(shù)量標志——錯誤率和再錯率”并重，“動態(tài)”與“靜態(tài)”評價相結合，建立科學的評價體系.

品質標志——錯誤觀，主要評價學生對錯誤的認識和看法是否科學；數(shù)量標志——錯誤率和再錯率，錯誤率主要評價在某個知識塊（點）上出錯的多少及錯誤的程度，再錯率主要評價在已錯點上再次犯錯的多少. 在具體操作上，可建立學生個體的錯誤量化曲線圖，某個群體、某個知識塊（點）隨時間變化的錯誤數(shù)量標準分布管理圖，直觀反映學生某個時期在某個知識塊（點）上的錯誤的變化，有利于師生雙方對錯誤的有效監(jiān)管.

此外，教師要以培養(yǎng)學生科學的錯誤觀、構建穩(wěn)固的知識體系，減少錯誤率，提高“免疫力”為目標，在以下方面加以改革.

①改變傳統(tǒng)提問方式，以“誰不能回答這個問題”“誰做錯了，請舉手”等反常規(guī)提問方式勇敢地暴露錯誤，引起學生重視錯誤，并喚起學生正視錯誤的勇氣和信心；對回答錯誤或不完整的學生要熱情地鼓勵其“敢于回答問題的勇氣可嘉，再想想”或“讓我們一起聽聽其他同學的意見，好嗎？”使學生感到犯錯誤不會被指責、唾棄，而是老師給予的尊重和重視，這種評價能極大地激發(fā)學生知錯、改錯的自覺性.[3]

②改革作業(yè)評價語言，給學生成功的空間. 傳統(tǒng)的作業(yè)批改正確的打“√”，錯誤的打“×”，不能激發(fā)學生對錯誤的警覺，不利于培養(yǎng)學生自我檢查、自我評價的能力；不能具體地指出錯誤出現(xiàn)的地方和原因，不利于學生準確迅速地找到錯誤并改正. 可以自行界定一些符號語言（如“√”表示正確，“--”表示答案不具體、不完整、不確切；“～～”表示走了彎路；像眼睛一樣的符號“☉”表示不仔細；“？”表示有問題，等等）. 對以上符號不能表達的內(nèi)容可寫上具體有指導性、鼓勵性的批語. 這種評價有利于強化學生認真細心、一絲不茍的觀念，為他們提供再次成功的機會.[11]

另外，對同一個問題的解答如果兩名學生都是錯誤的，要具體說明在關鍵步驟的第幾步出現(xiàn)錯誤，正確步驟占本題整個步驟的比重，從而描述其錯誤的不同程度，有利于從量上刻畫同一錯誤的錯誤程度的差異.

③評價方式上，應采取學生自評、學生互評、師生合評、教師點評等多種形式，使對錯誤的評價多元化、多樣化.

④評價時機上，堅持即時評價與延時評價相結合，短期評價與長期評價相結合. 如建立錯誤集錦本保留錯誤，作為長期評價的素材等.

⑤評價原則上，突出錯誤評價的主體性（以學生評價為主）、差異性（不同學生、不同類型錯誤區(qū)別對待）.

3. 提供有效的防錯策略

對錯誤，一要積極預防，教學中，教師要根據(jù)經(jīng)驗做好預測差錯的工作，并采取得力措施加強易錯、易混知識點的教學，努力做到未雨綢繆，防患于未然；二要善于利用，知錯、改錯實質是預防學生再錯、有效利用錯誤的重要手段，通過剖析、修正錯誤，研究差錯發(fā)生的特點與規(guī)律，掌握預防策略，這是化錯為利的根本宗旨.[12]

一般地，排除錯誤不能就錯改錯，不計其余，而在于透過錯誤的表象，發(fā)現(xiàn)錯誤的實質和導因. 要從實質上糾正錯誤，從導因上消除隱患，而錯誤的具體表現(xiàn)則應盡可能地讓學生自己來糾正. 同時，要通過對錯誤的剖析和糾正，力求轉化“失誤者”的心態(tài)，逐步消除學生不良的思維習慣，加強積極的歸因訓練，提高知錯、改錯、防錯的心理素質，使學生獲得成功的勇氣和信心，熱忱向錯誤挑戰(zhàn)，并有能力獨自走出誤區(qū). 教師應使學生切記：知之愈深，正之愈易. 要把知錯的希望留給學生，使他們在自知中明，知錯中改，改錯中防.[12]

（1）加強檢驗環(huán)節(jié)，提高解題的正確率[13]

著名數(shù)學教育家·波利亞在他的“四步解題法”的“實現(xiàn)計劃”和“回顧”兩步中都強調要“檢驗每一步驟”，并指出：“如果學生在實行其計劃的過程中檢驗每一步驟就可以避免許多錯誤. 如果學生不去重新檢查或重新考慮已完成的解答，則可能失去某些最好的效果.”教學中，“教師必須堅持讓學生檢查每一步驟”，要引導、鼓勵學生根據(jù)自己的知識范圍、題目特點、時間許可度，有目的地選擇和尋找更切合實際的檢驗方法，讓“學生應當真正地相信每一步驟的正確性”. 檢驗的常用方法有：代入法；另解法；賦值法；圖示法；邏輯分析法；反例法；估值法；比較法；常識法；量綱法；綜合法.

（2）講究改錯策略，提高修正錯誤的能力[14]

改錯要遵循適時性原則、分類性原則、差異性原則、自主性原則，講究改錯策略，并從中總結經(jīng)驗教訓，積極預防.

①對錯誤預設所造成的永久性失敗，可考慮以下策略：為了提高學生對事物深刻的洞察力和總體把握感，加深對數(shù)學基本概念的理解，積累豐富的解題經(jīng)驗，教師可引導學生進行病題診治. 對數(shù)學問題中存在的一系列或明或暗的異常征兆，要善于捕捉、收集和綜合分析，找出病題的癥結，修正題目預設，進行新的探索，以取得新預設下的成功. 在多方診治病題中，要堅持保留原題風貌的原則，采取簡單易行的方法，重新構建問題內(nèi)部各因素之間的“正相關”，解決其內(nèi)部矛盾，求得妙手回春之效.

②對正確預設下的暫時性失敗，可考慮以下策略：因解題思路錯誤造成的暫失敗，可“另辟蹊徑”，即放棄原來的思路，選擇新的思路，沿著新的思路進行新的探索，以取得新思路下的成功. 正確思路下出現(xiàn)的暫失敗，可“掃清障礙，繼續(xù)前進”，即從解題細節(jié)上一步步地查找和排除錯誤，不斷完善解題過程，直到最后取得成功.

（3）加強歸因訓練，提高心理適應的能力[3]

學生的年齡特征、性別和數(shù)學認知能力的差異，常造成錯誤歸因上的差異：積極歸因型或消極歸因型. 歸因類型會直接影響學業(yè)成績. 心理研究表明，失敗更能使女性產(chǎn)生羞愧. 在學校中，羞愧能引起學生的畏縮，當他們犯錯誤時，女生比男生更傾向于責備自己. 可見，男、女生對錯誤的感受性存在明顯差異，這就要求教師在學生錯誤轉化過程中，對男生與女生，好、中、差不同層次的學生所犯錯誤要因人而異，全面照顧，為學生提供參與、討論、展現(xiàn)思維過程的空間和機會，鼓勵學生大膽暴露錯誤的思維過程，通過學生的心理調適，加強積極的歸因訓練，提高錯誤轉化能力和創(chuàng)新能力.

參考文獻：

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[11] 王鵬飛. “嘗試錯誤”教學法初探[J]. 中學數(shù)學教學參考，1998（7）：9-11

[12] 王鵬飛. 暴露思維過程的意義與原則[J]. 中師數(shù)學，1998（10）：11-14

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[14] 王鵬飛. 數(shù)學教學中學生“錯誤觀”的調查與分析[J]. 西部素質教育，2016（3）：7-9