姜竹嶺

[摘 要] 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維是高中數(shù)學(xué)課堂的重要任務(wù)，本文結(jié)合數(shù)學(xué)思維的理論研究，從實(shí)踐的角度出發(fā)，提出了高中數(shù)學(xué)課堂滲透數(shù)學(xué)思維的教學(xué)策略.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思維；教學(xué)策略

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是高中數(shù)學(xué)課堂的重要任務(wù). 在教學(xué)實(shí)踐中，教師深刻體會數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵，并將其有效地融入課堂教學(xué)，這不僅有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的提升，也將促成他們思維品質(zhì)的提高.

[?] 數(shù)學(xué)思維的概念及其分類

1. 數(shù)學(xué)思維的概念

人的思維活動是人腦通過分析、對比、抽象、歸納、推理等方法，探求事物的本質(zhì)特點(diǎn)及其內(nèi)在關(guān)聯(lián)的心理活動.它是人腦所特有的一種高級認(rèn)識活動.

當(dāng)前數(shù)學(xué)教育理論界對數(shù)學(xué)思維尚未形成統(tǒng)一的概念，筆者在此列出具有代表性的三種觀點(diǎn). 葉立軍老師認(rèn)為，數(shù)學(xué)思維是人一般思維活動的一種，它是人腦理性認(rèn)知數(shù)學(xué)問題的過程，能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)以及數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系.王仲春老師在此基礎(chǔ)上對上述概念進(jìn)行了明確和細(xì)化，他指出廣義的數(shù)學(xué)思維是人腦理性認(rèn)識數(shù)學(xué)對象，其中也包括運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題的思維過程. 他特別指出，在實(shí)際問題的解決過程中，數(shù)學(xué)思維與知識都是非常關(guān)鍵的.張乃達(dá)老師又在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步作了細(xì)化說明，數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，經(jīng)過問題的發(fā)現(xiàn)、分析以及解決等過程，最終實(shí)現(xiàn)對現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系以及空間結(jié)構(gòu)的一般化認(rèn)知的思維過程.

綜合上述三種觀點(diǎn)，我們可以認(rèn)為數(shù)學(xué)思維屬于一般化的思維，是一種數(shù)學(xué)化的主體認(rèn)知客體的過程.

2. 數(shù)學(xué)思維的主要分類

一般來講，數(shù)學(xué)思維包括以下幾類：數(shù)學(xué)直覺思維、數(shù)學(xué)邏輯思維、數(shù)學(xué)形象思維.

①數(shù)學(xué)直覺思維. 所謂數(shù)學(xué)直覺思維，是個體在已有知識的前提下，在接觸數(shù)學(xué)問題的初期，進(jìn)行整體性觀察，并很快在頭腦中對問題形成非邏輯的判斷，這種認(rèn)識是直覺的，而不是經(jīng)過邏輯思維得到的，它對問題解決有著良好的指向性.事實(shí)上，很多數(shù)學(xué)問題的解決就是先通過直覺思維發(fā)現(xiàn)思路，再由邏輯思維徹底解決. 正如數(shù)學(xué)家波利亞所言：“你要成為一個數(shù)學(xué)家，首先就應(yīng)該是一個有著敏銳直覺的猜想家.”因此，在日常教學(xué)中，我們也提倡學(xué)生先通過直覺思維進(jìn)行猜想，再通過邏輯思維形成證明，由此實(shí)現(xiàn)問題的解決.

②數(shù)學(xué)邏輯思維. 所謂數(shù)學(xué)邏輯思維，是個體結(jié)合已有的概念、公理、定理等進(jìn)行一系列的推理和證明的思維過程，其中涉及大量的類比、分析、歸納、猜想、演繹等抽象思維方法，同時還要求以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言和規(guī)范的數(shù)學(xué)符號對相應(yīng)的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行表征. 數(shù)學(xué)邏輯思維的特性包括邏輯性和抽象性，這同時也是高中數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn). 一般來講，數(shù)學(xué)問題的解決最終是由邏輯思維來進(jìn)行實(shí)現(xiàn)的.

③數(shù)學(xué)形象思維. 數(shù)學(xué)是一門抽象而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃囆g(shù)，但是形象思維在數(shù)學(xué)中同樣有著不可替代的作用.數(shù)學(xué)形象思維是結(jié)合個體對客觀事物表象所進(jìn)行的一種思維活動，其主要思維活動包括聯(lián)想、比較、觀察以及實(shí)驗(yàn)等. 例如，數(shù)學(xué)中的各類統(tǒng)計圖表、函數(shù)圖像、幾何圖像等，這些都是進(jìn)行數(shù)學(xué)形象思維的基礎(chǔ).

[?] 高中數(shù)學(xué)課堂滲透數(shù)學(xué)思維的教學(xué)策略

有效滲透數(shù)學(xué)思維實(shí)際上應(yīng)該是高中數(shù)學(xué)課堂的基本組成，同時也是學(xué)生數(shù)學(xué)能力提升的重要途徑，那么如何將數(shù)學(xué)思維的滲透教學(xué)與我們的高中課堂進(jìn)行整合呢？筆者認(rèn)為，可以從以下幾個方面著手.

1. 讓學(xué)生在實(shí)際操作中，促成他們對數(shù)學(xué)的思考

在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時，我們必須讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)并非是簡單的理性思辨. 因此，在課堂教學(xué)的過程中，我們提倡學(xué)生勤于動手，讓學(xué)生在實(shí)際操作中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，并深刻分析和處理數(shù)學(xué)問題，這樣將不僅能強(qiáng)化學(xué)生的實(shí)踐能力，同時也將提升學(xué)生的思維品質(zhì)，促成數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

例如，在向?qū)W生介紹“橢圓”時，教師預(yù)先讓學(xué)生準(zhǔn)備一根繩子，在教學(xué)過程中，教師讓學(xué)生將繩子兩端固定，將筆尖套在繩子上描出對應(yīng)的軌跡，由此讓學(xué)生觀察自己所畫的圖形，自我探索圖形的特點(diǎn)，由此總結(jié)規(guī)律和結(jié)論.在橢圓這一課的前段，學(xué)生積極地動手實(shí)踐能夠有效地吸引其注意力，同時激活他們的思維：所畫軌跡有何特點(diǎn)？它所對應(yīng)的解析方程如何書寫？這樣將有利于學(xué)生掌握本課所授內(nèi)容，同時他們的思維機(jī)制也將被充分激活.

教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作時，應(yīng)注意以下問題：①給學(xué)生操作機(jī)會的同時，更要為學(xué)生提供廣闊的思維空間，讓學(xué)生在手腦結(jié)合的過程中積極進(jìn)行思考；②在學(xué)生進(jìn)行操作時，教師要充分給予學(xué)生耐心與鼓勵，即使學(xué)生的操作發(fā)生錯誤，也不能打擊學(xué)生的熱情；③動手操作應(yīng)該適度，即當(dāng)學(xué)生的感性認(rèn)知達(dá)到一定程度時要積極將學(xué)生的認(rèn)識向抽象思維轉(zhuǎn)化，鍛煉學(xué)生抽象思維的能力.

2. 鼓勵學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行合作學(xué)習(xí)

新課程強(qiáng)調(diào)學(xué)生以合作學(xué)習(xí)的方式來相互啟發(fā)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問題的解決.但是，我們卻不能因此而弱化了思維獨(dú)立意識的培養(yǎng)，合作學(xué)習(xí)的進(jìn)行不能助長學(xué)生的依賴心理，所以，在高中數(shù)學(xué)課堂引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)必須是學(xué)生有效地進(jìn)行獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上的合作學(xué)習(xí)，由此不僅將深度訓(xùn)練學(xué)生的思維，而且獨(dú)立思維也將促成學(xué)生合作學(xué)習(xí)的高效進(jìn)行.

數(shù)學(xué)課上，教師可以通過設(shè)置一些具有探索意義的問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考與合作學(xué)習(xí). 例如，提出問題，計算下列幾個算式：“1+3=？，1+3+5=？，1+3+5+7=？”結(jié)合算式，你能從中得到什么規(guī)律嗎？在教學(xué)過程中，教師要鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考，先仔細(xì)運(yùn)算，再發(fā)揮直覺思維勇于猜想.學(xué)生通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)結(jié)果依次為4，9，16，并且積極探索相關(guān)規(guī)律. 當(dāng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思考陷入僵局時，教師再提議學(xué)生以合作學(xué)習(xí)的方式來相互啟發(fā)，通過討論，他們很快就會認(rèn)識到算式結(jié)果還能通過以下形式進(jìn)行表述：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42. 教師趁熱打鐵，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出：1+3+5+…+17=92，1+3+5+…+19=102. 在此基礎(chǔ)上學(xué)生形成猜想：1+3+5+…+（2n-1）=n2. 教師再啟發(fā)學(xué)生通過歸納證明形成結(jié)論.

3. 將開放性問題引入教學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂上，教師過多地為學(xué)生呈現(xiàn)封閉性的問題，雖然也能訓(xùn)練學(xué)生的思維，但是卻限制了學(xué)生想象的空間，束縛了他們思維創(chuàng)造性的發(fā)展.新課程理念指引下的高中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該將開放性問題引入教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生掙脫束縛，拓展想象的空間. 相比于封閉性問題，發(fā)散性問題有以下幾點(diǎn)優(yōu)勢：①開放性問題答案不唯一，有助于學(xué)生打破定式思維，有效發(fā)揮想象，多角度思考問題，實(shí)現(xiàn)問題的解決；②開放性問題的條件或存在多余，或有所欠缺，要求學(xué)生積極地對信息進(jìn)行篩選和處理，這將幫助學(xué)生在問題分析中訓(xùn)練信息處理能力；③開放性問題的解決往往是學(xué)生通過直覺思維來打開思路，再通過邏輯思維來形成結(jié)論，因此開發(fā)性問題引入課堂，可以多維度地發(fā)展學(xué)生的思維.

例如，在學(xué)生對“圓錐曲線”進(jìn)行復(fù)習(xí)時，教師提出問題：現(xiàn)有一條二次曲線經(jīng)過了點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（0，5），請寫出該二次曲線的函數(shù)方程（至少寫出六個）.本題并沒有限定二次曲線的類型，也正是因?yàn)闂l件的缺失，導(dǎo)致了答案的不唯一. 學(xué)生在處理這一問題時，就要用敏銳的目光進(jìn)行分類討論：如果是圓，結(jié)果如何；如果是拋物線，結(jié)果如何；如果是橢圓，結(jié)果如何；如果是雙曲線，結(jié)果如何.當(dāng)學(xué)生有條理地實(shí)現(xiàn)問題解決之后，他們對圓錐曲線也將形成更加系統(tǒng)化的認(rèn)識，當(dāng)然這一過程也將促成學(xué)生思維的飛躍.

4. 鼓勵學(xué)生進(jìn)行“一題多解”，推進(jìn)學(xué)生思維的深刻性

數(shù)學(xué)問題有著這樣的特點(diǎn)，從不同的角度切入問題的思考，可能會形成不同的解決方法. 實(shí)際教學(xué)中教師要鼓勵學(xué)生不要滿足于單一的問題解決思路，而應(yīng)該多方位地進(jìn)行問題剖析，進(jìn)而探尋問題的多元化解決，推進(jìn)思維的深刻性.

例如，有如下習(xí)題：已知橢圓方程為+=1，現(xiàn)在構(gòu)建橢圓的弦，使得弦被點(diǎn)M（2，1）平分，求解這條弦所處直線的方程.

解法一：設(shè)所求直線方程為y-1=k（x-2），代入橢圓方程并進(jìn)行整理，可得（4k2+1）x2-8（2k2-k）x+4（2k-1）2-16=0，

當(dāng)Δ=64（2k2-k）2-4（4k2+1）[4（2k-1）2-16]>0時，再設(shè)定橢圓與直線的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1和x2作為方程的根，因此有x1+x2=.

并且點(diǎn)M還是AB的中點(diǎn)，所以==2，故解得k=-，滿足Δ>0.

則直線方程為x+2y-4=0.

解法二：假設(shè)橢圓與直線的一個交點(diǎn)為A（x，y）.

由于中點(diǎn)已經(jīng)確定，即M（2，1），則另一交點(diǎn)可以表示為B（4-x，2-y）.

因?yàn)閮蓚€交點(diǎn)都在橢圓上，所以都滿足橢圓方程，有x2+4y2=16，（4-x）2+4（2-y）2=16.

兩方程相減，可以得出x+2y-4=0.

上述問題的解法并不限于以上兩種，教師在實(shí)際教學(xué)中要鼓勵學(xué)生積極拓展思路，多方位探求解法，從而訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性.