張新全 鄧珍珍 代超群 (郵編：230601)

合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院

教 學(xué)參 考

用GeoGebra探究一類“果圓”問題的軌跡

張新全 鄧珍珍 代超群 (郵編：230601)

合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院

將一個繩套套在兩個定點上，拉緊并旋轉(zhuǎn)一周可得到一個橢圓，若將繩套套在多個定點上拉緊并旋轉(zhuǎn)，得到的軌跡是什么，有何規(guī)律？利用GeoGebra研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)三個定點組成一個邊長為2c的等邊三角形時，周長為2a+2c的繩套繞成的圖形由六段橢圓弧組成，其中三個橢圓弧的長軸為2a，三個橢圓弧的長軸為2a-2c，當(dāng)繩套繞n個定點旋轉(zhuǎn)時，繞成的圖形由2n段橢圓弧組成，進一步得出若干結(jié)論.當(dāng)某個定點變化時，軌跡也發(fā)生變化.當(dāng)繩套的長度變化時，軌跡也發(fā)生變化.

橢圓；GeoGebra；“果圓”；軌跡

1 研究背景

在小學(xué)和初中學(xué)習(xí)圓時，老師演示圓的軌跡形成過程，往往把一條線的一端固定在黑板上，另一端系在粉筆上，拉緊線后，粉筆在黑板上旋轉(zhuǎn)一周，即可畫出一個圓.在高中學(xué)習(xí)橢圓時，老師在演示橢圓形成過程時，也往往把一條線的兩端固定在黑板上，用粉筆把線拉緊，在黑板上旋轉(zhuǎn)一周，即可畫出一個橢圓.現(xiàn)在，我們可以用GeoGebra軟件，十分方便地在電腦上演示上述圓與橢圓的形成過程.受此啟發(fā)，我們把一條線換成一個封閉的線即繩套，然后套在一個固定點上，環(huán)繞旋轉(zhuǎn)一周就畫出一個圓，而把此封閉的曲線套在兩個固定點上，環(huán)繞旋轉(zhuǎn)一周就可畫出一個橢圓.進一步，如果用一根繩套繞三個固定點旋轉(zhuǎn)會得出什么結(jié)果，繞四個定點旋轉(zhuǎn)又會得到什么結(jié)果?一直到n個定點呢？借助GeoGebra軟件，我們可以畫出各種情況下的軌跡，當(dāng)n≥3時，軌跡不再是橢圓，而是一些橢圓弧組成的封閉曲線，這種曲線我們稱之為“果圓” .約定：繩套是指柔軟而無彈性的封閉細線.

2 研究思路和內(nèi)容

2.1 研究思路

由于一個定點和兩個定點的情況比較簡單，這里我們主要研究三個或三個以上定點的情形.先研究三個定點構(gòu)成一個等邊三角形的情形，將繩套套在等邊三角形上，環(huán)繞一周得出的軌跡及方程，然后借助GeoGebra，改變?nèi)切蔚男螤?，研究軌跡的變化規(guī)律.最后再將三角形拓展成凸四邊形，凸五邊形，凸n邊形的情形，再觀察軌跡的變化，得出結(jié)論.研究方法主要采用實驗法和論證法，其中實驗法是用GeoGebra軟件繪制各種情況下的軌跡.

2.2 研究過程

(1)三個定點構(gòu)成正三角形

設(shè)等邊三角形ABC的邊長為2c，繩套的周長為2a+2c，其中a>2c>0，將繩套旋轉(zhuǎn)后得到的軌跡分別為橢圓弧A1A2、A2C1、C1C2、C2B1、B1B2、B2A1，利用GeoGebra軟件畫出各段橢圓弧，如圖1.

圖1

同理，點A2為

橢圓弧A1A2的方程為

同理可得，點B1為

故橢圓弧B1C2的方程為

先將坐標原點D平移至正△ABC的中心O，再以O(shè)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)120°，經(jīng)過這兩次坐標變換，即可由橢圓弧A1A2的方程得到橢圓弧B1B2的方程，在此基礎(chǔ)上，再以O(shè)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)120°，即可由橢圓弧B1B2的方程得到橢圓弧C1C2的方程.(在此不再逐一推導(dǎo))

將坐標原點D平移至正△ABC的中心O，再以O(shè)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)120°，經(jīng)過這兩次坐標變換，即可由橢圓弧B1C2的方程得到橢圓弧A2C1的方程，在此基礎(chǔ)上，再以O(shè)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)120°，即可由橢圓弧B1B2的方程得到橢圓弧A1B2的方程.(在此不再逐一推導(dǎo))

(2)當(dāng)正△ABC中頂點A沿BC邊上的高AD方向運動時“果圓”的變化情況

圖2

如圖2，設(shè)AD的長度為h，當(dāng)h變化時，我們研究這六段弧的變化情況.

橢圓弧B1C2的長軸為：

橢圓弧B1B2的長軸為

橢圓弧C1C2的長軸為

綜上所述，當(dāng)A點沿AD方向向下運動時，橢圓弧B1B2、A2C1、C1C2、A1B2的長軸均增大，離心率均減小，橢圓弧均變圓，弧長均變短，橢圓弧A1A2的長軸、焦距、離心率均不變，弧長變長，橢圓弧B1C2的長軸變長、焦距不變，離心率變小，而弧長變長，當(dāng)A點移動到D點與B點C點在同一直線上時，橢圓弧B1B2、A2C1、C1C2、A1B2的弧長均變?yōu)?，A1A2弧與B1C2弧連成一個完整的橢圓.

(3)三個定點構(gòu)成任意三角形

當(dāng)三個定點構(gòu)成任意三角形時，將繩套套在三角形上，環(huán)繞一周得出的軌跡仍是由六段橢圓弧構(gòu)成的封閉曲線即“果圓”，利用GeoGebra畫出軌跡如圖3.

圖3

設(shè)△ABC的三邊長分別為BC=a,CA=b,AB=c,周長p=a+b+c,繩套的長為l,且l>p.

橢圓弧A1A2是以B、C為焦點，以l-a為長軸且夾在射線AA1與射線AA2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧B1C2是以B、C為焦點，以l-b-c為長軸且夾在射線AB1與射線AC2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧B1B2是以A、C為焦點，以l-b為長軸且夾在射線BB1與射線BB2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧A2C1是以A、C為焦點，以l-a-c為長軸且夾在射線BA2與射線BC1之間的那段橢圓弧.

橢圓弧C1C2是以A、B為焦點，以l-c為長軸且夾在射線CC1與射線CC2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧A1B2是以A、B為焦點，以l-a-b為長軸且夾在射線CA1與射線CB2之間的那段橢圓弧.

理論上，即便對于不共線的任意三點，如圖2的情形，我們?nèi)匀荒軌蚪⑸鲜隽螜E圓弧的方程，但是由于參數(shù)過多，建立起來的方程極其復(fù)雜，形式也不美觀，應(yīng)用價值不大，我們在此就不再給出它們的方程.用GeoGebra直接作出它們的軌跡，同樣是描述軌跡的一種重要方式，且直觀生動，易于推廣.

利用GeoGebra的動畫和動態(tài)的功能，當(dāng)A、B、C三點在平面上隨機移動時，就會發(fā)現(xiàn)“果圓”的形狀也在相應(yīng)改變；當(dāng)A、B、C三點不動、讓繩套的長度連續(xù)變化時，也會發(fā)現(xiàn)“果圓”的形狀同樣在相應(yīng)改變；當(dāng)A、B、C三點在平面上隨機移動、繩套的長度連續(xù)變化時，就會發(fā)現(xiàn)“果圓”的形狀也在相應(yīng)改變.

通過GeoGebra的動態(tài)演示，我們也會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)三點共線時，“果圓”變成一個完整的橢圓.

(4)四個點構(gòu)成凸四邊形

如圖4，如果四點A、B、C、D構(gòu)成凹四邊形時，繩套始終不能套到點D，這樣問題就轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的用繩套套三角形的問題，所以我們只研究四點構(gòu)成凸四邊形的情形.對于其他多邊形也是如此，凹進去的點總是套不到，所以我們只要研究凸多邊形即可.

圖4

對于任意四邊形的情形，問題變得更為復(fù)雜，經(jīng)反復(fù)實驗，我們發(fā)現(xiàn)其復(fù)雜性在于：對于有些四邊形，只能套住3個點或4個點兩種情形，而對于另外一些四邊形，卻能套住2個點、3個點或4個點三種情形.要想建立所套出軌跡的一般方程，幾乎是不可能的.但是用GeoGebra卻能十分方便地探究其軌跡，并且能夠作出任意給定四邊形所能套出的動態(tài)軌跡.

下面圖5就是用給定長度繩套來套四邊形ABCD所得到的“果圓”，它是由8段橢圓弧組成.當(dāng)改變繩套的長度或四邊形的形狀時，“果圓”的形狀也在相應(yīng)地變動，請演示GeoGebra文件，感受這種動態(tài)變化過程.

注意 由于圖形中隱藏的點、線太多，在GeoGebra文件中調(diào)整繩套線長度或四邊形的形狀時務(wù)必微調(diào).

圖5

設(shè)四邊形ABCD的四邊長分別記為AB=a,BC=b,CD=c,DA=d. 其周長記為p=a+b+c+d,繩套的周長為l(l>p).下面對圖5中的8段橢圓弧予以說明.

同時約定：l>a+b+c+AE+DE且l>b+c+d+AF+BF,否則橢圓弧E1E2與F1F2就會落在有限區(qū)域△ADE和△ABF內(nèi).

橢圓弧E1E2是以B、C為焦點，以l-b為長軸且夾在射線EE1與射線EE2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧E2F1是以B、D為焦點，以l-b-c為長軸且夾在射線FF1與射線EE2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧F1F2是以C、D為焦點，以l-c為長軸且夾在射線FF1與射線FF2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧F2A1是以A、C為焦點，以l-c-d為長軸且夾在射線FF2與射線BA1之間的那段橢圓弧.

橢圓弧A1C1是以B、C為焦點，以l-c-d-a為長軸且夾在射線BA1與射線CC1之間的那段橢圓弧.

橢圓弧C1C2是以A、D為焦點，以l-a-d為長軸且夾在射線CC1與射線CC2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧C2A2是以C、D為焦點，以l-a-b-d為長軸且夾在射線CC2與射線DA2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧A2E1是以A、C為焦點，以l-a-b為長軸且夾在射線EE1與射線DA2之間的那段橢圓弧.

(5)n個點構(gòu)成凸n邊形

利用幾何畫板進行深入探究，我們得出以下一般結(jié)論：

在凸n邊形A1A2…An中，記A1A2=a1,A2A3=a2,A3A4=a3,…,AnA1=an，其周長為p，繩套的長度為l.

①用繩套套此n邊形，得到的軌跡是一個由2n段橢圓弧構(gòu)成的“果圓”；

②凸n邊形A1A2…An的n條邊所在直線把平面恰好劃分出2n個無限區(qū)域；

③當(dāng)l充分大(或l遠大于p)時，“果圓”的各段橢圓弧恰好落在上述2n個無限區(qū)域；

④若凸n邊形A1A2…An的n條邊所在直線沒有任何2條是平行的，且l充分大(或l遠大于p)，則“果圓”的各段橢圓弧恰好兩兩成對地落于對角形的無限區(qū)域內(nèi)(共n對)，這成對的橢圓弧具有相同的焦點但長軸長不同，其上的點套住的n邊形頂點數(shù)之和為n+2.(如，圖5中區(qū)域A1BFF2與區(qū)域A2DEE2就是位于對角形的一對無限區(qū)域，其他類似)

(6)空間推廣

在(5)中，把“n個點構(gòu)成凸n邊形”改為“n條平行線構(gòu)成凸n直棱柱面”，“繩套”改換成“帶面”，類似地，也可得到相應(yīng)的結(jié)論，此處不一一贅述.

約定：“帶面”就是柔軟而沒有彈性的圓柱面.“帶面”的周長大于凸n直棱柱面的周長，否則套不上去.

用“帶面”去套凸n直棱柱面得到的軌跡是由2n片橢圓弧面構(gòu)成的曲面，它也是柱面，我們不妨稱之為“果圓柱面”.

3 進一步研究的展望

本研究得出的結(jié)論主要利用GeoGebra實驗探究得到的，某些關(guān)鍵結(jié)論還缺少嚴格的演繹證明，這是我們后續(xù)要做的研究.

本研究提出的“果圓”與“果圓柱面”是否還有其他的一些深層次性質(zhì)，也是進一步研究的課題.

我們認為，“果圓”與“果圓柱面”在工業(yè)設(shè)計中肯定有用，比如產(chǎn)品可以設(shè)計成這種形狀等，它們在生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究中的其他用途，也值得我們?nèi)ヌ剿骱屯诰?

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合肥師范學(xué)院2016年重點課題(項目編號：2016JCJY07)，合肥師范學(xué)院2017年研究生創(chuàng)新基金項目(項目編號：2017YJS11)

2017-02-06)